Analyse Complexe à plusieurs variables - IMJ-PRG

Analyse Complexe à plusieurs
variables
Le Théorème de Hartogs
Rubén Martos Prieto Dossier de synthèse réalisé sous la di-
rection de M. Dinh Tien-Cuong dans
le cadre de l’UE Travaux d’Étude et de
Recherche (T.E.R.) en Master 1.
Université Pierre et Marie Curie (Paris)
Année académique 2012-2013

Table des matières
Introduction 1
1 Fonctions holomorphes 3
1.1 Propriétés Élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Applications Holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Les problèmes de Cousin 18
2.1 Cohomologie de Dolbeault . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Les théorèmes de Cousin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3 Le théorème de Hartogs 36
3.1 Fonctions harmoniques et sous-harmoniques . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Théorème de Hartogs (sur l’holomorphie séparée) . . . . . . . . . . 48
3.3 Théorème (d’extension) de Hartogs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4 Variétés de Stein 55
Bibliographie 59
i

Résumé
Dans le présent dossier, on réalise une introduction à l’étude des fonc-
tions holomorphes à plusieurs variables avec le but principal de démontrer
le classique Théorème (d’extension) de Hartogs.
Après de donner les définitions et propriétés générales de la théorie de
fonctions holomorphes à plusieurs variables, on poursuit par donner l’outil
clé dans la démonstration du théorème à savoir : le Lemme de Dolbeault-
Grothendieck, qui assure la solution de l’équation ∂pour les polydisques de
Cn. Ensuite, en ayant la solution de cette équation, on traite les problèmes
(additifs et multiplicatifs) de Cousin pour les polydisques ; analogues aux
problèmes de Mittag-Leffler et Weierstrass, respectivement dans le cas d’une
variable complexe. Une autre application de l’existence d’une telle solution
est le Théorème (d’extension) de Hartogs.
On réalise de même un étude générale des fonctions harmoniques et sous-
harmoniques pour justifier que l’holomorphie d’une fonction complexe à n
variables est équivalente à l’holomorphie de la fonction par rapport à chaque
variable séparément.
Finalement, on inclut une introduction sur les domaines d’holomorphie
dans Cncomme illustration de la signification du théorème de Hartogs et
sur les variétés de Stein comme généralisation de ces domaines.
ii

Introduction
Au long du siècle XIX célèbres mathématiciens comme Euler, Gauss, Riemann,
Cauchy ou Weierstrass sont les principales fondateurs d’un des domaines les plus
classiques et remarquables des mathématiques, à savoir l’Analyse Complexe.
À partir du découvrement du corps des nombres complexes comme une exten-
sion naturelle des nombres réels, on trouve un nouveau corps dont on construit un
analyse mathématique analogue à celui qui se réalisait sur Rmais qui offre une
série de résultats en contraste avec ce que l’on pouvait espérer de l’analyse réel.
Ainsi, l’analyse complexe représente, en un principe, une abstraction de l’analyse
réel en perdant de l’intuition géométrique bien que l’on gagne en profondeur dans
les résultats, fruit de l’origine algébrique du corps C.
Si la théorie d’une variable complexe nous donne déjà des résultats étonnants,
il ne pouvait pas être autrement dans le cas de plusieurs variables complexes. Ici
on perd complètement toute intuition possible et, en fait, il apparaît des nouveaux
phénomènes qui sont en contraste même avec ce que l’on pouvait espérer de la
théorie analytique d’une variable complexe ; raison pour laquelle le développement
formel de l’analyse complexe à plusieurs variables dut attendre considérablement
par rapport à l’apparition de l’analyse complexe à une variable.
En 1897, Hurwitz 1démontre que toute fonction holomorphe dans C2\{0}peut
être étendue comme fonction holomorphe à tout C2. Dans sa thèse en 1906, Har-
togs 2décrit de façon plus générale en que consiste ce phénomène. À partir de ce
point, la théorie commence à se developper avec les travaux de mathématiciens
comme Behnke 3, Stein 4ou Thullen 5
Ainsi, la première propriété observée parmi les fonctions holomorphes à plu-
sieurs variables (et qui les distingue essentiellement de celles d’une variable) est
la prolongation analytique. Dans le plan complexe C, tout domaine est le do-
maine maximal d’holomorphie pour une certaine fonction tandis que le théorème
de Hartogs affirme que en Cn(avec n > 1) ceci n’arrive plus toujours, puisque
1. Adolf Hurwitz (1859-1919) fut un mathématicien allemand né à Hildesheim et dont le
domaine de recherche comprenait les surfaces de Riemann avec lesquelles il démontra différents
résultats sur les courbes algébriques.
2. Friedrich Moritz Hartogs (1874-1943) fut un mathématicien allemand dont le domaine de
recherche comprenait la théorie des ensembles et la théorie des fonctions à plusieurs variables
complexes.
3. Heinrich Behnke (1898-1979) fut un mathématicien allemand né à Münster dont le do-
maine de recherche comprenait principalement l’analyse complexe en collaborant avec Cartan et
Thullen.
4. Karl Stein (1913-2000) fut un mathématicien allemand né à Hamm dont le domaine de
recherche comprenait l’analyse complexe et la cryptographie.
5. Peter Thullen (1907-1996) fut un mathématicien allemand né à Trier dont le domaine de
recherche comprenait l’analyse complexe à plusieurs variables.
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le phénomène qu’il observe est que toute fonction holomorphe peut se prolonger
à un domaine strictement plus grand lorsque cette fonction est définie dans le
complémentaire d’un compact.
De ce phénomène on déduit déjà différentes particularités de la théorie de
plusieurs variables complexes par rapport à celle d’une variable. Notamment, on
observe que la classification et définition des singularités d’une fonction complexe
de n(avec n > 1) variables n’est pas tellement claire comme pour le cas d’une va-
riable. Dans ce sens, la théorie de faisceaux est appliquée pour donner une “bonne”
définition de fonction méromorphe de sorte que l’on peut généraliser les problèmes
de Mittag-Leffler et Weierstrass avec les appelés problèmes additif et multiplicatif
de Cousin. Par ailleurs, une fois que les domaines d’holomorphie de Cnont étés
caractérisés, une autre question ouverte serait celle de trouver le domaine d’holo-
morphie maximal d’une fonction en connaissant son domaine de définition et à ce
point, de même que dans une variable, il faut donner un nouveau pas d’abstraction
et quitter Cnpour se placer dans une variété complexe en apparaissant les appelées
variétés de Stein.
Les problèmes de Cousin et les variétés de Stein sont des sujets assez liés entre
eux. En Cles problèmes de Mittag-Leffler et Weierstrass sont toujours résolubles
et en vertu du Théorème de Behnke-Stein, la même conclusion est vraie pour
une surface de Riemann ouverte. En Cn, la résolution des problèmes de Cousin
n’est pas tellement simple et, en particulier, la solution du problème multiplicatif
dépend fortement de la nature topologique du domaine en question. La théorie
développée par Oka 6et Cartan 7(entre 1930 et 1960) permet de démontrer que
le problème additif est toujours résoluble pour tout domaine d’holomorphie et,
de plus, pour toute variété de Stein ; en imposant une condition topologique en
addition à la variété, le problème multiplicatif est résoluble aussi. Dans ce sens, les
variétés de Stein représentent le milieu naturel de l’étude de la théorie des fonctions
analytiques à plusieurs variables (car elles ont “suffisantes fonctions holomorphes”).
6. Kiyoshi Oka (1901-1978) fut un mathématicien japonais né à Osaka dont le domaine de
recherche comprenait principalement en l’analyse complexe à plusieurs variables.
7. Henri Cartan (1904-2008) fut un mathématicien français né à Nancy dont le domaine de
recherche comprenait la topologie algébrique.
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