M1 MEEF PR´EPARATION`A L`´ECRIT DU CAPES DE MATH

M1 MEEF
PR´ EPARATION ` A L’´ ECRIT DU CAPES
DE MATH´ EMATIQUES
ANALYSE
Matthieu Fradelizi
Universit´e Paris-Est Marne-la-Vall´ee 2015-16

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Table des mati`eres
1 Les ensembles N,Qet R5
1.1 Propri´et´e fondamentale de Netr´ecurrence........................... 5
1.2 Propri´et´e de la borne sup´erieure et nombre r´eels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Suites num´eriques 13
2.1 Programme ............................................ 13
2.2 G´en´eralit´es ............................................ 13
2.3 Suiter´ecurrentelin´eaire ..................................... 18
2.4 Suite d´efinie par une relation de r´ecurrence un+1 =f(un) .................. 18
2.5 Vitessedeconvergence...................................... 22
3 S´eries num´eriques et s´eries enti`eres 25
3.1 G´en´eralit´es ............................................ 25
3.2 S´eries`atermespositifs...................................... 26
3.3 S´eries `a termes quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4 S´eriesenti`eres........................................... 28
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4TABLE DES MATI` ERES

Chapitre 1
Les ensembles N,Qet R
Les ensembles de nombres : entiers naturels (N) et relatifs (Z), rationnels (Q), d´ecimaux (D), r´eels (R)
ou complexes (C) sont suppos´es connus. On va simplement rappeler les propri´et´es fondamentales v´erifi´ees
par Net R.
1.1 Propri´et´e fondamentale de Net r´ecurrence
On introduit d’abord la notion d’ordre.
D´efinition. Soit Eun ensemble. Une relation d’ordre sur E, not´ee ≤, est une relation binaire qui v´erifie
les propri´et´es suivantes :
- r´eflexivit´e : pour tout x∈E,x≤x
- antisym´etrie : pour tous x, y ∈E,x≤yet y≤ximplique x=y.
- transitivit´e : pour tous x, y, z ∈E,x≤yet y≤zimplique x≤z.
L’ordre est dit total si deux ´el´ements de Esont toujours comparables : quelques soient x, y ∈E,x≤y
ou y≤x.
Exemples : L’ordre naturel sur N,D,Q,Rest total. Soit Aest un ensemble, l’ensemble des fonctions de
Adans Rest muni de l’ordre :
f≤gsi, pour tout x∈A, f(x)≤g(x).
Exercice 1. Montrer que l’inclusion sur l’ensemble P(E) des parties d’un ensemble Equi poss`ede au
moins deux ´el´ements n’est pas un ordre total. Montrer de mˆeme que l’ordre sur les fonctions r´eelles n’est
pas total.
D´efinition. Soit (E, ≤)un ensemble ordonn´e. On dit qu’un ´el´ement mde Eest un plus petit ´el´ement
de E, si pour tout x∈E,m≤x.
On d´efinit de mˆeme la notion de plus grand ´el´ement et on v´erifie l’unicit´e de celui-ci.
Exercice 2. Montrer que si un ensemble ordonn´e a un plus petit ´el´ement, il est unique.
Exercice 3. Montrer qu’un ensemble fini totalement ordonn´e non vide Tadmet un plus petit et un plus
grand ´el´ement.
Propri´et´e fondamentale de N.Toute partie non vide de Nadmet un plus petit ´el´ement.
On dit que Nest bien ordonn´e ou que ≤est un bon ordre sur N. De plus Nv´erifie aussi la propri´et´e
suivante : ”Toute partie non vide major´ee de Nadmet un plus grand ´el´ement”.
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