M1 MEEF PR´EPARATION`A L`´ECRIT DU CAPES DE MATH

M1 MEEF
PRÉPARATION À L’ÉCRIT DU CAPES
DE MATHÉMATIQUES
ANALYSE
Matthieu Fradelizi
Université Paris-Est Marne-la-Vallée 2015-16
2
Table des matières
1 Les ensembles N, Q et R
1.1 Propriété fondamentale de N et récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Propriété de la borne supérieure et nombre réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
7
2 Suites numériques
2.1 Programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Suite récurrente linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Suite définie par une relation de récurrence un+1 = f (un )
2.5 Vitesse de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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13
13
18
18
22
3 Séries numériques et séries entières
3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . .
3.2 Séries à termes positifs . . . . . . .
3.3 Séries à termes quelconques . . . .
3.4 Séries entières . . . . . . . . . . . .
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TABLE DES MATIÈRES
Chapitre 1
Les ensembles N, Q et R
Les ensembles de nombres : entiers naturels (N) et relatifs (Z), rationnels (Q), décimaux (D), réels (R)
ou complexes (C) sont supposés connus. On va simplement rappeler les propriétés fondamentales vérifiées
par N et R.
1.1
Propriété fondamentale de N et récurrence
On introduit d’abord la notion d’ordre.
Définition. Soit E un ensemble. Une relation d’ordre sur E, notée ≤ , est une relation binaire qui vérifie
les propriétés suivantes :
- réflexivité : pour tout x ∈ E, x ≤ x
- antisymétrie : pour tous x, y ∈ E, x ≤ y et y ≤ x implique x = y.
- transitivité : pour tous x, y, z ∈ E, x ≤ y et y ≤ z implique x ≤ z.
L’ordre est dit total si deux éléments de E sont toujours comparables : quelques soient x, y ∈ E, x ≤ y
ou y ≤ x.
Exemples : L’ordre naturel sur N, D, Q, R est total. Soit A est un ensemble, l’ensemble des fonctions de
A dans R est muni de l’ordre :
f ≤ g si, pour tout x ∈ A, f (x) ≤ g(x).
Exercice 1. Montrer que l’inclusion sur l’ensemble P(E) des parties d’un ensemble E qui possède au
moins deux éléments n’est pas un ordre total. Montrer de même que l’ordre sur les fonctions réelles n’est
pas total.
Définition. Soit (E, ≤) un ensemble ordonné. On dit qu’un élément m de E est un plus petit élément
de E, si pour tout x ∈ E, m ≤ x.
On définit de même la notion de plus grand élément et on vérifie l’unicité de celui-ci.
Exercice 2. Montrer que si un ensemble ordonné a un plus petit élément, il est unique.
Exercice 3. Montrer qu’un ensemble fini totalement ordonné non vide T admet un plus petit et un plus
grand élément.
Propriété fondamentale de N. Toute partie non vide de N admet un plus petit élément.
On dit que N est bien ordonné ou que ≤ est un bon ordre sur N. De plus N vérifie aussi la propriété
suivante : ”Toute partie non vide majorée de N admet un plus grand élément”.
5
6
CHAPITRE 1. LES ENSEMBLES N, Q ET R
Exercice 4. On définit inductivement une suite un par u0 = u1 = 1 et un = 2un−1 + un−2 pour tout
n ≥ 2. En utilisant un raisonnement par l’absurde et la propriété fondamentale de N, montrer que tous
les termes de la suite sont impairs.
Théorème de la récurrence. Pour tout entier naturel n, soit P (n) une relation portant sur l’entier
n. Si P (0) est vraie et si pour tout n ∈ N, l’implication P (n) ⇒ P (n + 1) est vraie, alors P (n) est vraie
pour tout entier naturel n.
Dans une démonstration par récurrence, l’assertion P (n) est appelée l’hypothèse de récurrence.
Exercice 5. Démontrer le théorème de la récurrence.
Une variante utile (et équivalente) de ce théorème consiste à prendre pour hypothèse de récurrence, la
conjonction des relations P (0), P (1), . . . , P (n). Cette variante est parfois appelée récurrence forte.
Théorème de la récurrence (bis). Pour tout entier naturel n, soit P (n) une relation portant sur
l’entier n. Si P (0) est vraie et si pour tout n ∈ N, l’implication
P (0), P (1), . . . , P (n) ⇒ P (n + 1)
est vraie, alors P (n) est vraie pour tout entier naturel n.
Exercice 6. Montrer que tout entier naturel supérieur ou égal à 2 possède un diviseur premier.
Exercice 7. Essayons de montrer par récurrence que tous les entiers sont pairs. Pour tout entier n ≥ 0,
considérons la relation P (n) : tous les entiers k ≤ n sont pairs. La relation P (0) est vraie. Soit n un
entier, supposons P (n) vraie, alors n + 1 est la somme de deux entiers pairs, car d’après l’hypothèse de
récurrence, les entiers n et 1 sont pairs. L’implication P (n) ⇒ P (n + 1) est donc vraie. Trouver l’erreur.
Exercice 8. Montrer par récurrence que pour tout entier n ≥ 1,
n
X
k=1
k=
n
X
n(n + 1)
,
2
n
X
k=1
(2k − 1) = n2 ,
k=1
k=1
3
k =
n
X
n(n + 1)
2
2
,
k2 =
n(n + 1)(2n + 1)
,
6
n
X
1
1
= 1 − n.
2k
2
k=1
Exercice 9. On considère une propriété P (n) portant sur l’entier n ≥ 0. Quelle est la négation de
l’assertion : la propriété P (n) est vraie à partir d’un certain rang ?
Exercice 10. Soit P (n) une propriété portant sur l’entier n ≥ 0. On suppose qu’elle est vraie pour une
infinité d’entiers n et que P (0) est vraie. On suppose en outre que pour tout entier n > 0, P (n) =⇒ P (n−1)
(anti-récurrence). Montrer que P (n) est vraie pour tout entier n ≥ 0.
Exercice 11. On définit la suite de Fibonacci (Fn )n∈N par F0 = 0, F1 = 1 et Fn+2 = Fn+1 + Fn , pour
tout entier naturel n. Montrer que pour tout entier n, le nombre de Fibonacci Fn est pair si et seulement
si n est multiple de 3.
Théorème de la construction par récurrence. Soient E un ensemble, a ∈ E et f une application
de E dans E. Il existe une unique suite (un )n∈IN de E vérifiant
u0
=a
un+1 = f (un ) pour tout entier n.
1.2. PROPRIÉTÉ DE LA BORNE SUPÉRIEURE ET NOMBRE RÉELS
7
À propos du raisonnement :
En général, la démonstration d’une implication
(∀x ∈ E)(P (x) ⇒ Q(x))
commence par : soit “x ∈ E” (x est alors “fixé”, sans d’autre particularité d’appartenir à E) et non par
“∀x ∈ E”. On dit parfois, soit x un élément quelconque (ou arbitraire) de E. On montre que si P (x) est
vraie alors Q(x) est vraie (raisonnement direct) ou bien l’on procède par contraposition, on montre que si
nonQ(x) est vraie alors nonP (x) est vraie (raisonnement par contraposée). Le raisonnement par l’absurde
consiste à supposer P (x) vraie et Q(x) fausse, on aboutit à une contradiction.
Si au contraire, on veut montrer que la proposition (∀x ∈ E)(P (x) ⇒ Q(x)) est fausse, on doit montrer
qu’il existe un élément x de E tel que P (x) et nonQ(x) sont vérifiées ; on cherche alors un contre-exemple.
Définition. Soit ` ∈ R, on dit qu’une suite de réels (un ) tend vers ` ( ou converge vers `) quand n tend
vers l’infini, si quel que soit le nombre réel ε > 0, il existe un entier N ∈ N, tel que pour tout entier
n ≥ N , on ait |un − `| < ε. On dit qu’une suite réelle est divergente si elle est n’est pas convergente.
Exercice 12. Ecrire mathématiquement : ”la suite (un )n diverge”. Montrer que la suite ((−1)n )n≥1
diverge.
1.2
Propriété de la borne supérieure et nombre réels
Exercice 13. Un exercice simple et si important. Que dire d’un nombre réel x qui vérifie |x| ≤ ε quel
que soit le nombre ε > 0 ? Donner une démonstration élémentaire ; par l’absurde, par contraposition. On
suppose l’inégalité a < b + ε vérifiée pour tout ε > 0, peut-on en déduire que a < b ? Reprendre l’exercice
avec en outre l’hypothèse ε ∈ D. Il ne s’agit plus alors d’un problème “formel”, pourquoi ?
Définition. Soient (E, ≤) un ensemble ordonné et A une partie de E. On dit qu’un élément M ∈ E est
un majorant de A, si pour tout x ∈ A, x ≤ M .
On définit de même la notion de minorant. On dit qu’une partie A d’un ensemble E est majorée,
respectivement minorée, si elle admet un majorant, respectivement un minorant. Une partie à la fois
minorée et majorée est dite bornée.
Définition. Soient (E, ≤) un ensemble ordonné et A une partie de E. Si l’ensemble des majorants de A
dans E admet un plus petit élément M , on dit que M est la borne supérieure de A dans E et on note
M = sup A.
Borne supérieure dans R. Soit A une partie de R. Un élément a ∈ R est la borne supérieure de A et
l’on note a = sup A, si et seulement si :
1) pour tout x ∈ A, x ≤ a (a est un majorant)
2) pour tout ε > 0, il existe x ∈ A tel que x > a − ε.
Inégalité stricte ou inégalité large ? Il est parfois utile dans l’étude de limite ou de borne supérieure,
de savoir si par exemple dans la propriété 2) qui précède, il suffit d’avoir l’inégalité large x ≥ a − ε pour
conclure de même, que a est la borne supérieure. Expliquer pourquoi cela est possible et donner d’autres
exemples.
Montrer l’inégalité inf A ≥ α, c’est montrer que pour tout x ∈ A, on a x ≥ α. Par contre, pour montrer
que inf A > α, il ne suffit pas de montrer que x > α quel que soit x ∈ A ; si A = {1/n; n ∈ N∗ }, alors
x > 0 quel que soit x ∈ A, mais inf A = 0. Pour montrer que inf A > α, on montre qu’il existe un nombre
β > α tel que x ≥ β quel que soit x ∈ A, ou ce qui revient au même, on montre qu’il existe un nombre
8
CHAPITRE 1. LES ENSEMBLES N, Q ET R
ε > 0 tel que x ≥ α + ε quel que soit x ∈ A. Seules les inégalités larges se conservent par passage à la
limite.
L’ensemble des réels, contrairement à l’ensemble Q des nombres rationnels, est “sans lacunes” du point
de vue de l’ordre. Cette propriété de complétude pour l’ordre est un axiome ou un théorème, cela dépend
de la construction de R.
Théorème. Toute partie non vide et majorée de R admet une borne supérieure.
On dit que R possède la propriété de la borne supérieure.
√
Exercice 14. Montrer que 2 est irrationnel. En déduire que Q ne possède pas la propriété de la borne
supérieure.
Exercice 15. A quelle condition la racine carrée d’un entier naturel n est-elle rationnelle ?
Exercice 16. Soit a la borne supérieure d’une partie A de R. Montrer que si a ∈
/ A, alors pour tout
ε > 0, l’intervalle [a − ε, a] contient une infinité de points de A.
Exercice 17. Soit A une partie non vide de R. Si A est majorée montrer qu’il existe une suite de points
de A qui converge vers sup A. Si A n’est pas majorée montrer qu’il existe une suite de points de A qui
converge vers +∞.
Le théorème suivant est une propriété de R équivalente à la propriété de la borne supérieure. Il est
parfois appelé ”théorème de la limite monotone”.
Théorème. Toute suite croissante majorée converge.
Exercice 18. Démontrer le théorème ci-dessus. Que peut-on dire si la suite n’est pas majorée ?
Exercice 19. Un principe de localisation. Soit A et B deux parties non vides et majorées de R et soit
C = A ∪ B. Montrer que C admet une borne supérieure et que sup C = max(sup A, sup B). En déduire
que si B contient un majorant de A, alors sup C = sup B. On a localisé la borne supérieure. Montrer en
outre que si B admet un plus grand élément, alors c’est aussi le plus grand élément de C.
Exercice 20. Soit (un ) une suite réelle qui tend vers 0 et telle que u0 > 0. Montrer que l’ensemble
{un ; n ∈ N} a un plus grand élément.
Exercice 21. Soit (un ) une suite réelle qui tend vers +∞. Montrer que {un ; n ∈ N} a un plus petit
élément.
Exercice 22. Théorème des valeurs intermédiaires. Soient [a, b] un intervalle de R et f : [a, b] → R
une fonction continue. On suppose que f (a) ≤ f (b). Soit k ∈ R tel que f (a) ≤ k ≤ f (b). On veut montrer
qu’il existe c ∈ [a, b] tel que f (c) = k. On définit l’ensemble E par
E = {x ∈ [a, b]; f (x) ≤ k}.
Montrer que E admet une borne supérieure notée c. Montrer que c ∈ E. Montrer que, pour tout entier
n ∈ N∗ , f (c + n1 ) > k. Conclure.
En déduire que pour tout intervalle I de R et toute fonction continue f : I → R, l’image directe f (I) de
I par f est un intervalle.
Exercice 23. Montrer qu’une fonction croissante de [0, 1] dans [0, 1] admet un point fixe (on pourra
montrer que l’ensemble
A = {x ∈ [0, 1] ; f (x) ≥ x}
admet une borne supérieure a, puis que a ∈ A, ensuite que f (a) ∈ A. En utilisant que a est un majorant
de A on pourra en conclure que f (a) = a). En est-il de même pour une fonction décroissante ?
1.2. PROPRIÉTÉ DE LA BORNE SUPÉRIEURE ET NOMBRE RÉELS
9
“Une quantité b si grande soit-elle peut toujours être comparée à une quantité a si petite soit-elle, en
ce sens que l’on peut la recouvrir par un nombre fini de quantités a”. Cette propriété géométrique est
essentielle pour la “mesure des grandeurs” ; c’est l’axiome d’Archimède (ici bien entendu les grandeurs
sont positives et a est non nul).
Proposition (R est archimédien). Quels que soient les nombres réels a et b tels que a > 0, il existe
un entier naturel n tel que b < na.
Quel que soit ε > 0, quel que soit le réel x, il existe un unique entier relatif p tel que
pε ≤ x < (p + 1)ε.
En effet soit n un entier tel que |x| ≤ nε, l’ensemble A = {k ∈ Z ; kε ≤ x} est non vide puisque −n ∈ A,
en outre A est majoré par n. Il admet donc un plus grand élément p qui vérifie bien pε ≤ x < (p + 1)ε.
Maintenant, si q est un autre entier vérifiant les mêmes inégalités, alors qε ≤ x < (p + 1)ε implique
q < p + 1 ou q ≤ p. Par symétrie, on a aussi p ≤ q, d’où l’unicité de p.
En prenant ε = 1, on voit qu’il existe un unique entier p ∈ Z tel que
p ≤ x < (p + 1).
Cet entier est par définition, la partie entière de x, on le notera [x] ou bxc.
Définition (densité). Une partie de R est dense dans R si elle rencontre tout intervalle ouvert non
vide.
Exercice 24. Montrer qu’une partie A de R est dense dans R si et seulement si pour tout réel x il existe
une suite (an ) d’éléments de A qui converge vers x.
Théorème. Les ensembles des nombres décimaux, rationnels et irrationnels sont tous denses dans R.
Exercice 25. Démontrer le théorème précédent. Indication : soit x un réel quelconque. Pour tout entier
pn
naturel n, on définit pn = [10n x] et xn = 10
n . Montrer que (xn ) converge vers x. En déduire que
les nombres décimaux et rationnels sont denses dans R. Modifier la construction pour montrer que les
nombres irrationnels sont denses dans R.
Approximation et développement décimal
n
x]
−n
Soit x un nombre réel, le nombre xn = [10
10n défini ci-dessus est l’approximation décimale de x à 10
près par défaut. Par définition de la partie entière, pour tout entier naturel n, on a
xn ≤ x < xn +
1
.
10n
Si on pose d0 = [x], la partie entière de x, et pour tout entier n, dn+1 = [10n+1 x] − 10 × [10n x]. On a donc
0 ≤ dn+1 < 10, pour tout entier n ≥ 0. Par construction, pour tout entier n ≥ 0,
n
xn+1 = xn +
X dk
dn+1
et xn = d0 +
·
n+1
10
10k
k=1
−n
Par définition, xn est l’approximation décimale de x à 10 près par défaut. On prendra garde que la suite
(xn ) des approximations décimales par défaut du nombre −1/3 est de la forme −1 + 0, 66 · · · 666 et non
pas −0, 33 · · · 333. Pour tout réel positif x, la suite (dn ) définit le développement décimal propre du réel x.
Supposons qu’à partir d’un entier N , dn = 9 pour tout entier n ≥ N , autrement dit que la suite (dn )
soit stationnaire à 9. Alors pour tout entier n ≥ N ,
xn − xN =
n
X
k=N +1
9 × 10−k = 10−N − 10−n .
10
CHAPITRE 1. LES ENSEMBLES N, Q ET R
En faisant tendre n vers +∞, on obtient x − xN = 10−N , ce qui contredit l’inégalité xN ≤ x < xN + 10−N .
La suite d’entiers (dn ) vérifie donc

d0 ∈ Z
 •
••
0 ≤ dn < 10, pour tout entier n ≥ 1

• • • pour tout entier N , il existe un entier n ≥ N tel que dn 6= 9
La série
P
dk 10−k converge et l’on a
x = d0 +
X dk
10k
k≥1
et lorsque x ≥ 0,
x = d0 , d1 d2 . . . dn . . .
Inversement, la donnée d’une suite (dn ) qui vérifie les trois propriétés plus haut, permet de définir les
suites (un ) et (vn ) :
n
X
dk
et vn = un + 10−n .
un = d0 +
10k
k=1
−n−1
On a vn − vn+1 = −dn+1 10
+ 10 − 10−n−1 = (9 − dn+1 )10−n−1 . On en déduit que la suite (vn )
est décroissante. Il est facile de conclure que les deux suites sont adjacentes. Soit x leur limite commune.
D’après la relation vn − vn+1 = (9 − dn+1 )10−n−1 et la propriété (• • •) de la suite (dn ), la suite (vn ) n’est
pas stationnaire. On a donc un ≤ x < vn pour tout entier n. Les nombres 10n un et 10n vn sont des entiers
successifs. Par suite 10n un = [10n x] et (un ) est l’approximation décimale par défaut de x.
La relation
−n
X 9
=1
10k
k≥1
met en évidence deux écritures décimales illimitées. Soit (dn ) une suite qui vérifie les propriétés (•) et
(••) (on oublie un instant la troisième). On pose
x = d0 +
X dk
·
10k
k≥1
Si la suite (dn ) est stationnaire à 9, alors x est de la forme
x=y+
X 9
10k
k≥N
P
avec y ∈ D et N ≥ 1 un entier. Or k≥N 109k = 10−(N −1) . Par suite, x est un nombre décimal. Un nombre
décimal non nul a donc deux écritures de la forme
X dk
x = d0 +
10k
k≥1
avec (dn ) une suite qui vérifie les propriétés (•) et (••). Enfin les nombres décimaux sont les seuls à
posséder ces deux écritures. On dit que le développement décimal avec une suite (dn ) stationnaire à 9 est
impropre. Dans la construction précédente, la propriété (• • •) écarte un éventuel développement impropre
du type 0, 999 . . .
Ecriture décimale
L’écriture décimale d’un entier x > 0, à l’aide des chiffres c0 , c1 , . . . de la base {0, 1, . . . , 9} s’obtient
par division euclidienne suivant la relation
xn = 10xn+1 + cn , x0 = x tant que xn > 0.
1.2. PROPRIÉTÉ DE LA BORNE SUPÉRIEURE ET NOMBRE RÉELS
11
Puisque ces nombres décroissent strictement, il y a un nombre fini m de chiffres et
x = 10m cm + · · · + 10c1 + c0 .
La construction des nombres décimaux est à rattacher à la mesure des grandeurs (division de l’unité par
10). Les nombres rationnels construits, les décimaux sont les nombres rationnels x tels que 10n x ∈ Z pour
un entier n ∈ N. On pourra rechercher les éléments inversibles. Soit x = pq , p et q ≥ 1 des entiers premiers
entre eux. A quelle condition x est-il décimal ?
Le calcul de l’approximation décimale par défaut d’un nombre rationnel x = pq , p ∈ N, q ∈ N∗ s’obtient
de la même manière. On prend d’abord la partie entière d0 de x ; la division euclidienne donne p = qd0 +r1 .
Ensuite, on définit par récurrence les restes (rn ) et les décimales (dn )n≥1 à l’aide de la division euclidienne :
10rn = qdn + rn+1
dn ∈ {0, 1, . . . , 9}.
On montre par récurrence que
x = d0 +
dn
rn+1
d2
d1
·
+ 2 + ··· + n +
10 10
10
q × 10n
On étudiera la périodicité du développement. On pourra reprendre l’ensemble de cette étude dans une
autre base d’écriture.
Définition (cardinal, fini, dénombrable). Soit n ≥ 1 un entier, on dit qu’un ensemble E est
- de cardinal n, s’il est en bijection avec [[1; n]]
- fini s’il est de cardinal n, pour un entier naturel n ∈ N
- dénombrable s’il est en bijection avec N.
Exercice 26. Les parties infinies de N sont dénombrables. Z et Q sont dénombrables.
Théorème. L’ensemble des réels n’est pas dénombrable
Démonstration : Soit ϕ une application de N dans R. Ecrivons le développement décimal propre de ϕ(n) :
X
ϕ(n) = d(0,n) +
d(k,n) 10−k .
k≥1
P
Pour tout entier k ≥ 0, on pose ak = 0 si d(k,k) 6= 0 et ak = 1 sinon. Soit x = a0 + k≥1 ak 10−k , c’est un
développement décimal propre et pour tout entier n, ϕ(n) 6= x ; on en conclut que ϕ n’est pas surjective
et donc que R n’est pas dénombrable.
Exercice 27. Inégalité triangulaire : montrer que pour tous x, y ∈ R, |x| − |y| ≤ |x + y| ≤ |x| + |y|. Quel
est le cas d’égalité dans l’inégalité triangulaire sur R ? Faire la même étude dans l’espace euclidien Rn .
12
CHAPITRE 1. LES ENSEMBLES N, Q ET R
Chapitre 2
Suites numériques
2.1
Programme
Théorèmes à savoir démontrer et utiliser :
Programme de Terminal S.
- Ecrire un algorithme pour déterminer à partir de quel rang les termes d’une suite qui tend vers +∞ sont
supérieurs à un réel A donné.
- Si une suite est croissante et converge vers l alors elle est majorée par l.
- Si un ≤ vn à partir d’un certain rang et un tend vers +∞ alors vn tend vers +∞.
- Opérations sur les limites.
- Si une suite est croissante et non majorée alors elle tend vers +∞.
- Exemples de suites arithmético-géométriques.
- Applications du théorème de la limite monotone.
Programme de MPSI et MP.
- Une suite convergente est bornée.
- Opérations sur les limites.
- Théorème des gendarmes (admis en TS).
- Théorème de la limite monotone : toute suite monotone possède une limite (admis en TS).
- Théorème des suites adjacentes.
- Suite extraite. Si une suite tend vers une limite alors toutes ses suites extraites possèdent la même limite.
- Théorème de Bolzano-Weierstrass : de toute suite réelle bornée on peut extraire une suite convergente.
- Suite arithmétique, géométrique, suite arithmético-géométrique.
- Suite récurrente linéaire homogène d’ordre 2 à coefficients constants.
- Exemples de suites définies par une relation de récurrence un+1 = f (un ).
2.2
Généralités
Définitions à connaı̂tre. Suite majorée, minorée, bornée, stationnaire, monotone, strictement monotone.
Exercice 28. Une suite (un )n∈N de nombres réels ou complexes est bornée si et seulement si (|un |)n∈N
est majorée.
ExerciceP
29. Bornitude des séries trigonométriques Soit θ ∈]0, 2π[ fixé. On définit
Pn la suite (Sn )n∈N
n
par Sn = k=0 sin(kθ). Soit (Cn )n∈N la suite de nombres complexes définis par Cn = k=0 eikθ . Calculer
Cn . Montrer que
n+1
θ
inθ sin
2
2
.
Cn = e
θ
sin 2
13
14
CHAPITRE 2. SUITES NUMÉRIQUES
En déduire que la suite (Cn )n∈N est bornée. En conclure que la suite (Sn )n∈N est bornée.
Théorème (rappel). Toute suite croissante majorée converge.
Notation. On note R = R ∪ {+∞} ∪ {−∞} la droite achevée.
Définition. Soit (un )n∈N une suite de réels et l ∈ R. On dit que la suite (un ) tend vers l quand n tend
vers +∞ et on le note un → l ou limn→+∞ un = l si
- pour l ∈ R : pour tout ε > 0, il existe N ∈ N, tel que pour tout entier n ≥ N on a |un − l| ≤ ε.
- pour l = +∞ : pour tout A ∈ R, il existe N ∈ N, tel que pour tout entier n ≥ N on a un ≥ A.
- pour l = −∞ : pour tout A ∈ R, il existe N ∈ N, tel que pour tout entier n ≥ N on a un ≤ A.
Exercice 30. Unicité de la limite.
Définition. On dit qu’une suite (un )n∈N de réels est convergente ou converge s’il existe l ∈ R tel que
(un ) tend vers l. Dans le cas contraire, on dit que la suite (un ) est divergente ou diverge.
Noter qu’il y a deux types de suites divergentes.
Exercice 31. Donner des exemples des deux types de suites divergentes.
Définition (suites arithmétique, géométrique et arithmético-géométrique). Soit (un )n∈N une
suite de réels. On dit que (un )n∈N est une suite :
- arithmétique s’il existe un réel q tel que pour tout entier naturel n, on a un+1 = un + q.
- géométrique s’il existe un réel q tel que pour tout entier naturel n, on a un+1 = qun .
- arithmético-géométrique s’il existe deux réels a et b tels que pour tout n ∈ N, on a un+1 = aun + b.
Le réel q ci-dessus est appelé la raison de la suite.
Exercice 32. Soit (un )n∈N une suite arithmético-géométrique de réels tels que pour tout n ∈ N, on a
b
, pour tout entier
un+1 = aun + b. Montrer que si a 6= 1 alors la suite (vn )n∈N définie par vn = un − 1−a
naturel n, est géométrique de raison a. En déduire une expression de un en fonction de u0 et de n.
Théorème. Toute suite convergente est bornée.
Opérations sur les limites. Soient (un ) et (vn ) deux suites de réels convergeant vers des réels l1 et l2 .
- combinaison linéaire : pour tous a, b ∈ R la suite (aun + bvn )n∈N converge vers al1 + bl2 .
- produit : la suite (un vn )n∈N converge vers l1 l2 .
- quotient : si un 6= 0 pour tout entier n et l1 6= 0 alors la suite (1/un )n∈N converge vers 1/l1 .
Exercice 33. Conjectures. Pour chacune des propositions suivantes, dites si elle est vraie ou fausse.
Démontrez la si elle est vraie, donnez un contre-exemple si elle est fausse.
1. Si (u2n )n∈N converge, alors (un )n∈N converge.
2. Si (|un |)n∈N tend vers 0, alors (un )n∈N tend vers 0.
3. Si ((cos un )n∈N tend vers 1, alors (sin un )n∈N converge.
4. Si une suite (un )n∈N vérifie limn→+∞ (un+1 − un ) = 0, alors elle converge.
5. Si une suite est monotone et positive, alors elle converge.
6. Si (un )n∈N est strictement positive et tend vers 0, alors (un )n∈N décroit à partir d’un certain rang.
2.2. GÉNÉRALITÉS
15
Exercice 34. Divergence des suites trigonométriques. On suppose que (sin(n))n∈N converge. Exprimer sin(n + 1) en fonction de sin(n), cos(n), sin(1) et cos(1). En déduire que cos(n) converge. Exprimer
de la même façon cos(n + 1). En conclure que les suites (sin(n))n∈N et (cos(n))n∈N divergent.
Exercice 35. Montrer que le produit d’une suite bornée et d’une suite de limite nulle admet une limite
et la déterminer.
Exercice 36. Si une suite (un ) converge vers l > 0 montrer que un > 0 à partir d’un certain rang.
Exercice 37. Utilisation de la définition : convergence au sens de Césaro. Soit (un )n∈N une
suite réelle. On définit la suite (Sn )n∈N par
Sn =
u0 + · · · + un
.
n+1
1. Démontrer, en utilisant la définition de la convergence, que si (un )n∈N tend vers 0, alors la suite
(Sn )n∈N tend aussi vers 0.
2. En déduire que si la suite (un )n∈N converge, la suite (Sn )n∈N converge vers le même réel. On dit
que la suite converge en moyenne ou au sens de Césaro pour qualifier ce second fait.
3. Réciproquement, si une suite converge en moyenne, converge-t-elle nécessairement ?
Théorème de convergence par encadrement aussi dit théorème des gendarmes. Soient (un ),
(vn ) et (wn ) trois suites de réels telles que un ≤ vn ≤ wn , pour tout entier naturel n et lim(un ) =
lim(wn ) = l ∈ R. Alors la suite (vn ) converge et lim vn = l.
Théorèmes de divergence par minoration ou majoration. Soient (un ) et (vn ) deux suites de réels
telles que un ≤ vn , pour tout entier naturel n. Si un tend vers +∞ alors vn tend vers +∞. Si vn tend
vers −∞ alors un tend vers −∞.
Exercice 38. Les suites suivantes sont-elles monotones ? convergentes ?
2
n
(n!)2
1
(−1)n
1
n
;
;
; n+
; (−1) +
.
2n n∈N
(2n)! n∈N
n + (−1)n n≥2
n
n n≥1
n≥1
Exercice 39. Déterminer la limite des suites suivantes, lorsque cette limite existe :
n n+1
p
1
1
n!
2
+ 3n+1
n
n n
2
;
1
+
;
n
+
n
−
n
;
;
(2
+
3
)
;
2n + 3n
n
nn n≥1
n∈N
n≥1
n∈N
n≥1
1
n sin(n)
ln(n)
n(−1)n
n sin(n)
n sin
;
;
;
;
.
n
n2 + 1 n∈N
2 + sin(n) n≥1
n + 1 n∈N
n + 1 n∈N
n≥1
Exercice 40. A l’aide d’un encadrement adéquat, montrer que la suite (un )n∈N , définie pour tout n ∈ N∗
par
n
X
1
√
un =
n+ k
k=1
converge et préciser sa limite.
Exercice 41. Soit (un )n∈N une suite réelle positive telle que
un+1
lim
= λ,
n→+∞ un
avec λ ∈ [0, 1[. Montrer qu’il existe ε > 0 et n0 ∈ N tels que λ + ε < 1 et un ≤ (λ + ε)n−n0 un0 , ∀n ≥ n0 .
En déduire que limn→+∞ un = 0.
α
n
Application : Déterminer les limites des suites nan n∈N , an! n∈N et nn!n n∈N où α > 0 et a > 1.
16
CHAPITRE 2. SUITES NUMÉRIQUES
Définition (suites adjacentes). On dit que deux suites de réels sont adjacentes si l’une est croissante,
l’autre est décroissante et la différence tend vers 0.
Théorème des suites adjacentes. Si deux suites de réels (un ) et (vn ) sont adjacentes alors elles
convergent vers la même limite. De plus, si (un ) est croissante et (vn ) est décroissante et si l’on note l
leur limite commune alors on a un ≤ l ≤ vn , pour tout entier naturel n. Pour tout ε > 0, dès que l’entier
naturel n vérifie vn − un ≤ ε, alors un approche l à ε près par défaut et vn approche l à ε près par excès.
Exercice 42. Approximation de e. On définit deux suites (un )n∈N∗ et (vn )n∈N∗ pour tout n ∈ N∗ par
un =
n
X
1
k!
k=0
vn = u n +
1
.
n × n!
Montrer que les suites (un )n∈N et (vn )n∈N sont adjacentes. On note e leur limite commune. Montrer que,
pour tout n ∈ N , on a
n
n
X
X
n!
n!
< n × n!e < 1 + n
.
n
k!
k!
k=0
k=0
En déduire, en raisonnant par l’absurde, que e est un nombre irrationnel. Donner une méthode pour
approcher e à 10−10 près par défaut et par excès.
Exercice 43. Nombres harmoniques
et approximation de γ. On définit la suite (Hn )n≥1 des
Pn
nombres harmoniques par Hn = k=1 k1 , pour n ≥ 1. On définit également les suites (un )n≥1 et (vn )n≥1
par un = Hn−1 − ln(n) et vn = Hn − ln(n), pour tout entier n ≥ 1.
1. Montrer que
x
1+x
≤ ln(1 + x) ≤ x pour tout réel x > −1. En déduire que pour tout entier n ≥ 1
1
1
1
≤ ln 1 +
≤ .
n+1
n
n
2. Montrer que les suites (un )n≥1 et (vn )n≥1 sont adjacentes. On note γ leur limite commune.
3. Montrer que Hn ∼ ln(n). A partir de quel entier n, la suite vn donne-t-elle une approximation de
γ à 10−10 près ?
Définition (suite extraite). Soit (un )n∈N une suite de réels et ϕ : N → N une fonction strictement
croissante. La suite (uϕ(n) )n∈N est appelée suite extraite (ou sous-suite) de la suite (un ).
Exercice 44. Si une suite possède une limite, montrer que toutes ses suites extraites possèdent la même
limite. En déduire que la suite (un ) définie par un = sin(nπ/2) diverge.
Exercice 45. Soit (un )n∈N une suite réelle dont les suites extraites d’ordre pair et impair convergent.
La suite converge-t-elle nécessairement ? Même question si (u2n )n∈N , (u2n+1 )n∈N et (u3n )n∈N convergent.
Exercice 46. Montrer qu’une suite monotone, dont une suite extraite converge, converge vers la même
limite.
Exercice 47. Lemme des pics. Le but de l’exercice est de montrer que de toute suite réelle on peut
extraire une sous-suite monotone. Soit (xn ) une suite réelle. Soit E = {n ∈ N; xn > xp , ∀p > n}.
1. Si E est infini, montrer qu’on peut extraire de (xn )n une sous-suite décroissante (strictement).
2. Si E est fini montrer qu’il existe N ∈ N tel que pour tout n ≥ N , il existe p > n tel que xp ≥ xn .
En déduire une construction par récurrence d’une sous-suite croissante.
2.2. GÉNÉRALITÉS
17
Theorème de Bolzano-Weierstrass. De toute suite réelle bornée on peut extraire une sous-suite
convergente.
Exercice 48. Démonstration par le lemme des pics. Démontrer le théorème de Bolzano-Weierstrass
en utilisant le lemme des pics.
Exercice 49. Démonstration par dichotomie. Soit (un ) une suite bornée de réels. On construit par
récurrence deux suites réelles (an )n∈N et (bn )n∈N de façon à ce que, pour tout entier naturel n, an ≤ bn ,
n
l’intervalle [an , bn ] contient une infinité de termes de la suite (xn ) et bn+1 − an+1 = bn −a
. Posons
2
a0 +b0
a0 = inf n un , b0 = supn un et c0 = 2 . Pour tout entier naturel n, si an et bn sont construits, on pose
n
. Comme [an , bn ] = [an , cn ] ∪ [cn , bn ], l’un des intervalles [an , cn ], [cn , bn ] contient une infinité
cn = an +b
2
de termes de la suite (xn ).
- si [an , cn ], contient une infinité de termes de la suite (xn ) alors on pose an+1 = an et bn+1 = cn
- si [cn , bn ], contient une infinité de termes de la suite (xn ) alors on pose an+1 = cn et bn+1 = bn .
Montrer que an+1 ≤ bn+1 , [an+1 , bn+1 ] contient une infinité de termes de la suite (xn ) et bn+1 − an+1 =
bn −an
. En déduire que les suites (an ) et (bn ) sont adjacentes. Pour tout entier n, on pose In = {k ∈ N; xk ∈
2
[an , bn ]}. Montrer que pour tout entier n, l’ensemble In est infini. On construit une fonction ϕ : N → N
par récurrence. On pose ϕ(0) = min I0 = 0 et pour tout entier n ≥ 1, ϕ(n) = min{k ∈ In ; k > ϕ(n − 1)}.
Montrer que ϕ est strictement croissante et que pour tout entier n, an ≤ xϕ(n) ≤ bn . En déduire que la
suite (xϕ(n) ) converge.
Exercice 50. Démonstration par limite supérieure. Soit (un ) une suite bornée de réels. Pour tout
entier n, soit En = {uk ; k ≥ n}.
1. Montrer que pour tout entier n, l’ensemble En est non vide et majoré, on pose
vn = sup En = sup uk .
k≥n
2. Montrer que (vn ) est décroissante. En déduire que (vn ) converge. On note l sa limite.
3. Montrer que pour tout entier n, il existe k ≥ n tel que vn −
1
n
≤ un ≤ vn .
4. En conclure une construction par récurrence d’une sous-suite de un qui converge vers l.
Exercice 51. Moyenne arithmético-géométrique Soit (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites définies par
0 < u0 < v0 et les relations :
√
un + vn
un+1 = un vn vn+1 =
.
2
1. Montrer que un ≤ vn , ∀n ∈ N puis étudier la monotonie de (un )n∈N et (vn )n∈N .
2. En déduire que (un )n∈N et (vn )n∈N convergent et admettent la même limite.
Exercice 52. Négligeabilités successives. Soient (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites réelles de limite +∞,
telles que un = o(vn ) à l’infini. Montrer qu’il existe une suite (wn )n∈N de limite +∞ telle que un = o(wn )
et wn = o(vn ).
Exercice 53. Conjectures sur les équivalents. Pour chacune des propositions suivantes, dites si elle
est vraie ou fausse. Démontrez la, si elle est vraie, donnez un contre-exemple, si elle est fausse. On rappelle
que vers signifie que : avec .
1. Si (un )n∈N et (vn )n∈N convergent vers la même limite, alors un ∼ vn .
2. Si un ∼ vn alors limn→+∞ un − vn = 0.
3. Si (un )n∈N a une limite, finie ou infinie, et si un ∼ vn alors (vn )n∈N a la même limite.
4. Si un ∼ vn et si (un )n∈N décroit et tend vers 0, alors (vn )n∈N décroit aussi, au moins à partir d’un
certain rang.
18
CHAPITRE 2. SUITES NUMÉRIQUES
Exercice 54. Equivalents et opérations. Soient (un )n∈N et (vn )n∈N sont deux suites de réels vérifiant
un ∼ vn .
1. A-t-on eun ∼ evn ? Même question si on suppose en outre que (un )n∈N et (vn )n∈N sont bornées.
2. Si l’on suppose que pour tout entier n ∈ N, un > 0 et vn > 0 a-t-on ln(un ) ∼ ln(vn ) ? Même
question si (un )n∈N et (vn )n∈N sont à valeurs dans ]0, a[, a < 1, ou dans ]a, +∞[, a > 1.
2.3
Suite récurrente linéaire homogène d’ordre 2 à coefficients
constants
Définition (Suite récurrente linéaire homogène d’ordre 2 à coefficients constants). On dit
qu’une suite (un )n∈N de réels est une suite récurrente linéaire homogène d’ordre 2 à coefficients constants
s’il existe deux réels a et b tels que pour tout entier n,
un+2 = aun+1 + bun .
L’équation r2 = ar + b est appelée équation caractéristique de la suite, le polynôme X 2 − aX − b est
appelé polynôme caractéristique de la suite.
Exercice 55. Suite de Fibonacci. On définit la suite de Fibonacci (Fn )n∈N par F0 = 0, F1 = 1 et
Fn+2 = Fn+1 + Fn , pour tout entier naturel n. Calculer l’équation caractéristique de la suite et déterminer
ses racines.
Théorème de caractérisation des suites récurrentes linéaires homogènes d’ordre 2 à coefficients constants. Soient a et b deux réels et (un ) une suite récurrente linéaire homogène d’ordre
2 vérifiant un+2 = aun+1 + bun pour tout entier naturel n. Soit ∆ le discriminant du polynôme caractéristique P .
- Si ∆ > 0 alors le polynôme caractéristique admet deux racines réelles distinctes r1 et r2 et il existe
λ, µ ∈ R tels que un = λr1n + µr2n , pour tout entier naturel n.
- Si ∆ < 0 alors P admet deux racines complexes conjuguées r1 = ρeiθ et r2 = ρe−iθ , avec ρ ∈ R∗+ et
θ ∈ [0, 2π[ et il existe λ, µ ∈ R tels que un = ρn (λ cos(nθ) + µ sin(nθ)), pour tout entier naturel n.
- Si ∆ = 0 alors le polynôme caractéristique admet une racine réelle double r et il existe λ, µ ∈ R tels
que un = (λ + µn)rn , pour tout entier naturel n.
Exercice 56. Démonstration du théorème. On note E l’ensemble des suites (un )n∈N vérifiant un+2 =
aun+1 + bun pour tout entier naturel n. Montrer que c’est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel
des suites réelles RN . Montrer que l’application f : E → R2 définie par f ((un )n∈N ) = (u0 , u1 ) est un
isomorphisme d’espace vectoriel. En déduire que E est de dimension 2. Montrer que si r est une racine
du polynôme caractéristique P alors la suite géométrique (rn )n∈N appartient à E. Conclure.
Exercice 57. Suite de Fibonacci 2. Déterminer le terme général de la suite de Fibonacci.
Exercice 58. Déterminer le terme général d’une suite (un ) vérifiant un+2 = 2un+1 − un , pour tout entier
n.
Exercice 59. Déterminer le terme général d’une suite (un ) vérifiant un+2 = −un , pour tout entier n.
2.4
Suite définie par une relation de récurrence un+1 = f (un )
Définition (Suite définie par une relation de récurrence un+1 = f (un )). Soit I un intervalle de
R et f : I → I. La suite (un )n∈N définie par u0 ∈ I et un+1 = f (un ), pour tout entier naturel n est bien
définie.
2.4. SUITE DÉFINIE PAR UNE RELATION DE RÉCURRENCE UN +1 = F (UN )
19
Notez bien que l’hypothèse f : I → I signifie que l’intervalle I est stable par f , c’est à dire que
f (I) ⊂ I. C’est ce qui permet d’affirmer que la suite est bien définie. Si l’intervalle de définition de f
n’est pas stable, alors on ne peut pas définir la suite, par exemple, si l’on pose f : R∗+ → R définie par
f (x) = ln(x) alors il n’existe pas de suite (un ) vérifiant un+1 = f (un ), pour tout entier naturel n.
Théorème (limite éventuelle). Soit I un intervalle de R et f : I → I une application continue. Soit
(un )n∈N définie par u0 ∈ I et un+1 = f (un ), pour tout entier naturel n. Si la suite (un ) converge vers
une limite l ∈ I alors nécessairement f (l) = l.
Remarque : Si l’intervalle I est fermé, il est inutile de supposer à priori que la limite l appartient à I.
C’est un théorème facile mais très intéressant. Il suffit de démontrer que la suite converge (par exemple
en montrant qu’elle est croissante et majorée) et ce théorème permet d’identifier la limite.
Définition (Point attractif, répulsif ). Soit f : I → I. On considère la suite (un )n∈N définie par
u0 ∈ I et un+1 = f (un ), pour tout entier naturel n. On dit qu’un point fixe ` de f est :
- attractif, s’il existe un voisinage V de `, tel que quelle que soit la valeur initiale u0 ∈ V ∩ I, la suite
converge vers `.
- répulsif, s’il existe un voisinage V de `, tel que quelle que soit la valeur initiale u0 ∈ V ∩ I, u0 6= `, il
existe un entier N tel que le terme uN de la suite (un ) des itérés de valeur initiale u0 , vérifie uN ∈
/ V.
Attention : la suite des itérés peut converger vers un point fixe répulsif, en étant stationnaire.
Théorème du point fixe dans R. Soit I un intervalle fermé et f : I −→ I une fonction k-Lipschitzienne
avec 0 < k < 1. Alors f admet un unique point fixe ` ∈ I. De plus, pour tout a ∈ I, la suite des itérés
définie par
u0 = a et un+1 = f (un ) pour tout entier n ≥ 0
converge vers ` et pour tout entier n ≥ 1,
|un − `| ≤ k n |u0 − `|.
Remarque. Si f est dérivable sur I et s’il existe 0 < k < 1 tel que |f 0 (x)| ≤ k pour tout x dans I
alors par l’inégalité des accroissements finis, f est k-lipschitzienne sur I.
Remarque. On notera l’importance de l’hypothèse I fermé. Dans le cas contraire, f peut ne pas avoir
de point fixe.
Définition. On dit qu’un point fixe ` de f : I → I est superattractif, si f 0 (`) = 0.
Soit ` un point fixe de f tel que |f 0 (`)| > 1. Soient J un intervalle ouvert contenant ` et a ∈ J ∩ I.
On suppose que |f 0 (x)| ≥ K > 1 pour tout x ∈ J ∩ I. Soit (un ) la suite récurrente associée à f de valeur
initiale a. On suppose que a 6= `. “Combien de temps, les itérés peuvent-ils rester” dans J ∩ I ? En déduire
que ` est répulsif.
Proposition. Soit ` un point fixe de f .
— si |f 0 (`)| < 1, alors ` est un point fixe attractif
— si |f 0 (`)| > 1, alors ` est un point fixe répulsif.
On verra plus loin différents types de comportement lorsque |f 0 (`)| = 1.
Théorème (f croissante). Soit I un intervalle de R et f : I → I croissante. Alors la suite (un )n∈N
définie par u0 ∈ I et un+1 = f (un ), pour tout entier naturel n, est monotone.
- Si u0 ≤ u1 alors (un ) est croissante.
- Si u0 ≥ u1 alors (un ) est décroissante.
La représentation graphique est en escalier.
20
CHAPITRE 2. SUITES NUMÉRIQUES
Exercice 60. Approximation d’une racine carrée : méthode de Héron.
Soit a > 0, on considère la fonction f définie sur I = R∗+ , par
f (x) =
1
a
x + , x ∈ I.
2
x
Montrer que I est stable par f . En déduire que pour tout u0 ∈ I, on définit une suite par récurrence par
la donnée de la valeur initiale u0 et la relation de récurrence
un+1 =
1
a un +
.
2
un
Il s’agit de la méthode de Héron. On a
f 0 (x) =
x2 − a
.
2x2
√
Montrer que la suite √
(un )n≥1 est décroissante et minorée par a. En déduire qu’elle converge. Montrer
qu’elle converge vers a. On en déduit la représentation graphique ci-jointe.
3.5
3
2.5
2
1.5
1
a
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
Figure 2.1 – Méthode de Héron : a = 3
Montrer que pour tout entier n
√
√
un+1 − a un − a 2
√ =
√
.
un+1 + a
un + a
En déduire que pour tout entier n ≥ 1,
√
√
n
un − a u0 − a 2
√ =
√
.
un + a
u0 + a
Si u0 >
√
a > v0 > 0, pour un certain réel v0 , montrer que
u − v 2n
0
0
.
u0 + v0
√
0
Soit K = uu00 −v
a. Mais on a aussi une indication sur
+v0 < 1, on retrouve le fait que la suite converge vers
la vitesse de convergence, pour tout entier n ≥ 1,
√
n
0 < un − a < 2u0 K 2 .
0 < un −
√
a < 2u0
2.4. SUITE DÉFINIE PAR UNE RELATION DE RÉCURRENCE UN +1 = F (UN )
21
√
Soit par exemple à calculer une valeur approchée de 3. On peut prendre v0 = 1 et u0 = 2, on a alors
1 2n
√
.
0 < un − 3 < 4
3
√
Calculer une valeur approchée de 3 à 10−8 près. Ecrire un programme sur calculatrice.
Exercice 61. Soit f : R+ → R définie par f (x) = x2 pour tout x ∈ R+ . Montrer que la suite (un )n∈N
définie par u0 ∈ R+ et un+1 = f (un ), pour tout entier naturel n est bien définie et monotone. Déterminer
sa monotonie en fonction de u0 . Puis déterminer sa limite en fonction de u0 . Représenter graphiquement
les termes de la suite.
Théorème (f décroissante). Soit I un intervalle de R, f : I → I décroissante et (un )n∈N définie
par u0 ∈ I et un+1 = f (un ), pour tout entier naturel n. Alors les suites (u2n )n∈N et (u2n+1 )n∈N sont
monotones de monotonies opposées.
- Si u0 ≤ u2 alors (u2n ) est croissante et (u2n+1 )n∈N est décroissante.
- Si u0 ≥ u2 alors(u2n ) est décroissante et (u2n+1 )n∈N est croissante.
Si f est continue et que l’une des suites extraites converge vers l ∈ I alors l’autre converge vers f (l). La
représentation graphique est en colimaçon.
Exercice 62. Etudier la suite récurrente (un ) définie par u0 ∈ R et la relation de récurrence un+1 = cos un
pour tout entier n ≥ 0. Montrer que u2 ∈ [0, 1]. Montrer que f ([0, 1]) ⊂ [0, 1]. Montrer que f est
décroissante sur [0, 1], continue et possède un unique point fixe ` ∈]0, 1[. Montrer que (u2n ) et (u2n+1 )
convergent vers l. En déduire que (un ) converge vers l. On a une représentation graphique en colimaçon.
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Figure 2.2 – un+1 = cos(un )
Exercice 63. Soit (un ) la suite définie par la donnée initiale u0 ∈ [0, 1] et la relation de récurrence
un+1 = (1 − un )2 .
Soit f la fonction définie sur I = [0, 1] par f (x) = (1 − x)2 , x ∈ [0, 1]. Montrer que f est décroissante de
I dans I.
1. Calculer f (0) et f (1). En déduire que 0 et 1 sont des points fixes
√ de f ◦ f . Déterminer les points
fixes de f . Montrer que f possède un unique point fixe ` = (3 − 5)/2 dans I.
2. Montrer que f ([0, `]) ⊂ [`, 1] et f ([`, 1]) ⊂ [0, `]. En déduire que [0, `] et [`, 1] sont des intervalles
stables pour f ◦ f . Trouver les points fixes de f ◦ f . Etudier le signe de f ◦ f (x) − x.
3. Si u0 ∈ [0, `[ montrer que (u2n ) est décroissante. Montrer qu’elle converge vers 0. En déduire que
(u2n+1 ) est croissante et converge vers 1.
4. Si u0 ∈]`, 1], montrer que (u2n ) est croissante. Montrer qu’elle converge vers 1. En déduire que
(u2n ) est décroissante et converge vers 0.
22
CHAPITRE 2. SUITES NUMÉRIQUES
1
1
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
φ
φ°φ
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Figure 2.3 – un+1 = (1 − un )2 . A gauche la suite (un ), à droite les suites (u2n ) et (u2n+1 )
Méthode de Newton. Soient a et b deux réels et f : [a, b] → R une fonctions de classe C 2 . On suppose
que f (a) < 0, f (b) > 0, f 0 (x) > 0 et f 00 (x) > 0 pour tout x ∈ [a, b].
1. Montrer que f s’annule en un unique point de [a, b] que l’on note c.
2. Soit d l’abscisse du point d’intersection de la tangente au graphe de f en b avec l’axe des abscisses.
Montrer que c < d < b.
n)
3. Soit (xn )n∈N la suite définie par x0 = b et xn+1 = xn − ff0(x
(xn ) . Montrer que la suite est bien définie
et qu’elle converge vers c.
2.5
Vitesse de convergence
Définition. Soient (un ) et (vn ) deux suites rélles convergeant vers un nombre réel `. On dit que la suite
(un ) converge plus vite que la suite (vn ) si (un − `) = o(vn − `).
Définitions de l’ordre de convergence. Soit (un ) une suite qui converge vers un nombre réel `. On
suppose que un − ` ne s’annule pas. Soit p ≥ 1, on dit que la convergence de la suite est d’ordre p, si
|un+1 − `|
|un − `|p
a une limite λ strictement positive.
La suite (un ) est souvent associée à une méthode numérique qui la définit par un procédé d’approximations successives ; on parle alors de méthode d’ordre p.
— Si p = 1, on parle de méthode d’ordre 1 ou de vitesse de convergence linéaire.
— Si p = 2, on parle de méthode d’ordre 2 ou de vitesse de convergence quadratique.
— Les méthodes d’ordre p > 1 sont dites superlinéaires.
— Si
|un+1 − `|
=0
lim
n
|un − `|
on parle de convergence rapide.
— Si
|un+1 − `|
lim
=1
n
|un − `|
on parle de convergence lente.
2.5. VITESSE DE CONVERGENCE
23
Soit (un ) une suite qui converge vers un nombre réel `. On pose
en = |un − `| et xn = − log10 en .
La suite (xn ) est une mesure du nombre de décimales exactes de l’approximation au rang n. Si la conver−`|
gence est d’ordre p et limn→∞ |u|un+1
p = λ > 0, alors xn+1 ' pxn − log10 λ. Autrement dit, pour n grand,
n −`|
en négligeant le terme en λ, un+1 a p fois plus de décimales exactes que un .
Exercice 64. Exemples. Etudier les vitesses de convergence des suites
un =
(n + 1)2
,
n2 + 1
vn = 1 + 2−n ,
2
wn = 1 + 2−n .
On classe ici, trois types de vitesse de convergence et les types d’erreur associée.
1. On suppose que
lim
n
|un+1 − `|
= λ et 0 < λ < 1.
|un − `|
— La méthode est d’ordre 1, sans être rapide, elle ne fait pas partie des convergences lentes. Pour
tout entier n ≥ 0, on pose
en = |un − `|.
Soit K tel que λ < K < 1. Il existe un entier m tel que
montre par récurrence que
en+m ≤ em K n
en+1
en
≤ K pour tout entier n ≥ m. On
pour tout entier n ≥ 0.
Autrement dit, à partir d’un certain rang, l’erreur est de nature géométrique de raison K < 1.
2. On suppose qu’il existe p > 1 tel que
lim
n
|un+1 − `|
= λ > 0.
|un − `|p
— La méthode est d’ordre p, elle est superlinéaire. Soit L tel que λ < L. Il existe un entier m tel
que en+1
≤ L pour tout entier n ≥ m. Il est commode d’écrire cette inégalité sous la forme
ep
n
Cen+1 ≤ (Cen )p avec C = L1/(p−1) . Il est en effet facile de conjecturer puis de démontrer par
récurrence que
1
pn
pour tout entier n ≥ 0.
en+m ≤ (Cem )
C
Autrement dit, l’erreur est de nature supergéométrique. Si la suite converge, (Cem ) tend vers 0
avec m. On peut donc choisir m de sorte que K = Cem < 1. On a alors K < 1 et
en+m ≤
1 pn
K
C
pour tout entier n ≥ 0.
On note que la valeur de λ importe peu dans ce cas.
3. Dans le cas d’une convergence lente,
lim
n
|un+1 − `|
= 1.
|un − `|
— C’est le cas par exemple, lorsque
en ∼
pour une certaine valeur de C et α > 0.
C
nα
24
CHAPITRE 2. SUITES NUMÉRIQUES
Remarque : On montrera que si la limite
lim
n
|un+1 − `|
=λ
|un − `|
existe et si la suite (un ) converge vers `, alors λ ≤ 1.
Exercice 65. Exemples. On va montrer que la convergence vers e de la suite un = 1 +
rapide tandis que celle de vn = (1 + n1 )n est lente.
1
1
1
+ · · · n!
est
1
1. Montrer que pour tout entier n on a un ≤ un+1 ≤ e ≤ un + n.n!
. En déduire que un − e ∼
conclure que la convergence est rapide.
2. En faisant un développement limité, montrer que |vn − e| ∼
est lente.
e
2n .
1
n.n! .
En
En conclure que la convergence
Chapitre 3
Séries numériques et séries entières
3.1
Généralités
Dans tout le chapitre les suites sont à valeurs R ou C.
Définition. Soit (un ) une suite de nombres
Pnréels ou complexes.POn appelle série de terme général un la
suite des sommes partielles
(S
)
où
S
=
un .
n
n
k=0 uk . On la note
P
- on dit que la série
un converge si la suitePdes sommes partielles converge.
Dans ce cas, la limite de la
P+∞
+∞
série est appelée somme
de
la
série
et
notée
u
.
On
note
alors
R
=
n
n=0 n
k=n+1 uk la suite des restes.
P
- on dit que la série
un diverge si la suite des sommes partielles diverge.
Exercice
66. Soit z ∈ C fixé et un (z) = z n , pour
Pn
Pn n∈ N. Calculer en fonction de z la somme partielle
u
(z).
A
quelle
condition
sur
z
∈
C
la
série
z converge-t-elle ?
k=1 k
P
Proposition. Si la série
un converge alors la suite
P (un ) tend vers 0.
Si la suite (un ) ne converge pas vers 0 alors la série
un diverge. On dit qu’elle diverge grossièrement.
Exercice 67. Déterminer la nature des séries
X 2n2 + 1
X
1
,
,
n2 + 2n + 3
n(n + 1)
Exercice 68. Montrer que la série
Proposition. Soient
convergente.
P
un et
P
X
ln(1 +
1
).
n
P
(un+1 − un ) converge si et seulement si la suite (un ) converge.
vn des séries convergentes et λ, µ ∈ C. Alors la série
Exercice 69. Montrer la convergence de la série
X
2−n +
1
n(n + 1)
P
(λun + µvn ) est
.
Théorème de comparaison série-intégrale. Si f : R+ → R+ est une fonction continue par morceaux
R +∞
P
et décroissante alors la série
f (n) et l’intégrale généralisée 1 f (t)dt sont de même nature. De plus,
R +∞
- si elles sont convergentes alors Rn ∼ n f (t)dt.
Rn
- si elles ont divergentes alors Sn ∼ 1 f (t)dt.
Exercice 70. Démontrer le théorème.
25
26
CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES ET SÉRIES ENTIÈRES
Exercice 71. Séries de Riemann et de Bertrand
P 1
Pn 1
1. A quelle condition sur α ∈ R la série
k=1 k .
nα converge-t-elle ? Donner un équivalent de
P+∞ 1
Donner un équivalent de k=n k3 .
P
1
2. A quelle condition sur α, β ∈ R la série
converge-t-elle ?
nα ln(n)β
Exercice 72. En utilisant que
Pn
1
k=1 k
= ln(n) + γ + o(1), montrer que
P (−1)n
n
converge et que
+∞
X
(−1)n
= − ln(2).
n
n=1
3.2
Séries à termes positifs
Les séries à termes positifs sont particulières car la suite des sommes partielles est alors croissante. Il
suffit donc de montrer que la suite des sommes partielles (Sn ) est bornée (par une constante indépendante
de n) pour en conclure que la série converge. En pratique, on utilise les théorèmes de comparaison suivants.
P
P
Proposition.
Soient P
un et
vn des séries vérifiant
n ≤ vn , pour tout entier naturel n. Alors
P
P+∞ 0 ≤ uP
+∞
- si P vn converge alorsP un converge et l’on a n=0 un ≤ n=0 vn .
- si
un diverge alors
un diverge.
P
P
Proposition.
Soient
un et
vn desPséries vérifiant un ≥ 0, pour tout entier naturel n et un ∼ vn .
P
Alors
un converge si et seulement si
vn converge.
Exercice 73. Déterminer la nature des séries
X 1
X
2n + 5
,
,
1 + 2n
n(n + 1)(n + 12)
X 1 + ln(n)
,
n2 + cos(n)
X
ne−n ,
X
e−
√
n
.
Exercice 74. Formule de Stirling. On définit les suites
√
nn e−n n
un+1
un =
et vn = ln
.
n!
un
en fonction de n. En déduire un équivalent de vn à l’infini.
1. Exprimer uun+1
n
P
P
2. En déduire que
vn converge. On note S = n≥1 vn la somme de la série.
3. Montrer que la suite (ln(un ))n converge et déterminer sa limite. En déduire qu’il existe une
constante c > 0 telle que
n n √
n! ∼ c
n.
e
Critère de d’Alembert.
Soit (un ) une suite de nombre réels positifs telle que
P
- si l < 1 alors P un converge.
- si l > 1 alors
un diverge.
un+1
un
1
→ l.
Critère de Cauchy.
Soit (un ) une suite de nombre réels positifs telle que (un ) n → l.
P
- si l < 1 alors P un converge.
- si l > 1 alors
un diverge.
Exercice 75. Déterminer, suivant la valeur de x ∈ R+ , la nature des séries
X (n!)2
X xn
X xn
X
,
,
,
nxn .
2
(2n)!
n!
n
3.3. SÉRIES À TERMES QUELCONQUES
3.3
27
Séries à termes quelconques
Théorème. Soit (un ) une suite deP
nombre réels ou complexes. Si la série
P
un converge. On dit que la série
un converge absolument.
Exercice 76. Montrer que
P sin(n)
n2
P
|un | converge alors la série
converge.
Corollaire. Soit (un ) une suite
Pde nombre complexes
P et (vn ) une suite d’éléments de R+ tels que
|un | ≤ vn , pour tout entier n. Si
vn converge alors
un est absolument convergente donc convergente.
Corollaire. Soit (un ) une suite de nombre complexes. Si
P
série
un converge absolument.
|un+1 |
|un |
1
→ l ou |un | n → l avec l < 1 alors la
Exercice 77. Déterminer, suivant la valeur de z ∈ C, la nature des séries
X zn
X zn
X
,
,
nz n .
2
n!
n
Critère de convergence desPséries alternées. Soit (un ) une suite décroissante de nombres réels qui
converge vers 0. Alors la série P
(−1)n un converge.
+∞
De plus la suite des restes Rn = k=n+1 (−1)k uk est du signe de son premier terme et vérifie |Rn | ≤ un+1 .
Exercice 78. Démonstration du critère. Montrer que les suites (S2n ) et (S2n+1 ) sont adjacentes.
Exercice 79. Déterminer, suivant la valeur de x ∈ R, la nature des séries
X xn
X xn
√ .
,
n
n
P+∞ (−1)n
On a vu dans un exercice précédent que n=1 n = − ln(2). A partir de quel indice n est-on sûr que
la somme partielle de la série approche − ln(2) à 10−3 près ?
Critère d’Abel. Soit (un ) une suite décroissante de nombres réels qui converge vers 0 etP
soit (vn ) une
n
suite de nombres complexes
dont
les
sommes
partielles
sont
bornées
(il
existe
C
>
0
tel
que
|
k=0 vk | ≤ C
P
pour tout n). Alors
un vn converge.
Exercice 80. Démonstration du critère. Soit Vn =
entier N
N
X
n=1
un vn =
N
X
n=1
Montrer que la série
un (Vn − Vn−1 ) =
N
X
n=1
un Vn −
N
−1
X
Pn
k=0
vk , pour n ∈ N. Montrer que pour tout
un+1 Vn = uN VN − u1 V0 +
n=0
N
−1
X
(un − un+1 )Vn .
n=1
P
(un − un+1 )Vn converge. Conclure.
Exercice 81. Déterminer, suivant la valeur de z ∈ C, la nature des séries
X zn
X zn
√ .
,
n
n
Produit de Cauchy de séries numériques.
Soient (an ) et (bP
n ) deux suites de nombres complexes
Pn
absolument convergentes. Soit cn = k=0 ak bn−k . Alors la série c
n , appeléeproduit de Cauchy des
P
P
P+∞
P+∞
P+∞
séries
an et
bn , est convergente et l’on a n=0 cn =
n=0 an
n=0 bn .
28
3.4
CHAPITRE 3. SÉRIES NUMÉRIQUES ET SÉRIES ENTIÈRES
Séries entières
cette partie la suite (an ) est une suite de nombres complexes. On appelle série entière la série
P Dans
an z n , où z ∈ C.
Lemme d’Abel. Soit z0P
∈ C∗ . Si la suite (an z0n ) est bornée alors, pour tout nombre complexe z tel que
|z| < |z0 |, la série entière
an z n est absolument convergente.
Exercice 82. Démontrer le lemme d’Abel.
Définition (rayon de convergence). On appelle rayon de convergence de la série entière
nombre
n
o
X
R = sup r > 0;
an rn converge .
P
an z n le
P
Exercice 83. Soit
an z n une série entière de rayon de convergence R. Montrer que si 0 ≤ r < R alors
n
la suite (an r ) tend vers 0 et si r > R alors la suite (|an |rn ) n’est pas bornée.
P
Théorème. Soit
an z n une série P
entière de rayon de convergence R. Alors
- pour tout |z| < R, la série entière P an z n converge absolument.
- pour tout |z| > R, la série entière
an z n diverge grossièrement.
P
Théorème. Soit
an z n une série entière de rayon de convergence R. Alors la série entière converge
normalement sur tout disque fermé de rayon r < R.
P
P
Exercice 84. Montrer que les séries entières
an z n et
nan z n ont même rayon de convergence. En
P
P
P
n+1
déduire que les séries entières
an z n ,
nan z n−1 et
an zn+1 ont même rayon de convergence.
Rappel.
Une série entière
est de classe C ∞ à l’intérieur de son disque de convergence. Et si f (z) =
P+∞
P+∞
n
0
n−1
a même rayon de convergence que f .
n=0 an z alors f (z) =
n=1 nan z
P
P
Produit de Cauchy de séries entières. P
Soient
an z n et
bn z n deux séries
qui convergent
Pentières
n
sur un disque de rayon R > 0.P
Soit cn = Pk=0 ak bn−k . Alors la série entière
cn z n , appelée produit
n
n
de Cauchy des séries entières
P an z et bn z , est convergente sur le disque de rayon R et l’on a
P+∞
P
+∞
+∞
n
n
n
.
n=0 cn z =
n=0 an z
n=0 bn z
Règle de d’Alembert. Si
|an+1 |
|an |
→ l alors le rayon de la série entière
P
an z n est R = 1l .
Exercice 85. Déterminer les rayons de convergence des séries entières suivantes :
X zn
n!
,
X zn
n2
,
X
n!z n ,
X
log(n)z n .
Exercice 86. Après avoir donné leur rayon de convergence, déterminer la somme des séries entières
suivantes :
!
+∞ X
n
X
X
X
X zn
X zn
X
1
n
2 n
2n
nz ,
n z ,
z ,
,
,
zn.
n+2
2n + 1
k
n=1
k=1