ESSAIA Année universitaire 2016/2017

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Série d'exercices de dynamique d'un point matériel
Exercice n°1:
Un corps de masse 3.2 kg se déplace vers l'ouest à la vitesse de 6m/s. Un autre corps différent,
de masse 1.6 kg, se déplace vers le nord à la vitesse de 5.0 m/s. Les deux corps entrent en
interaction. Au bout de 2 s le premier corps se déplace dans la direction N 30° E à la vitesse de
3.0 m/s. Dessinez:
a- La quantité de mouvement totale des deux particules avant et après que les 2 s se
soient écoulées.
b- Le changement de quantité de mouvement de chaque particule, ainsi que les forces
d'interaction.
c- Le changement de vitesse de vitesse de chaque particule.
d- La grandeur et la direction de la vitesse du deuxième corps.
Exercice n° 2:
Une explosion fait éclater un rocher en trois morceaux. Deux morceaux s'éloignent à angle
droit l'un de l'autre, l'un de 1 kg part à la vitesse de 12 m/s et l'autre de 2 kg part à la vitesse de
8m/s. Le troisième morceau s'en va à 40 m/s.
-Tracez un diagramme montrant la direction dans laquelle il se déplace.
- Quelle est sa masse ?
Exercice n° 3 :
Constat d'accident de la route. Après la collision les deux véhicules restent emboutis l'un dans
l'autre et la trace des roues sur le sol indique une trajectoire à 45 ° des deux routes. Un témoin
affirme que le camion roulait très vite (au moins du 80 km/h). Peut-on croire ce témoin?
Exercice n° 4:
Une balle de fusil de 10 g qui filait à 850 m/s est arrêtée par un sac de sable dans lequel elle
s'est enfoncée de 20 cm.
a- Quelle est la force, supposée constante, qui s'est exercée sur la balle?
b- Combien de temps a-t-il fallu à la balle pour s'immobiliser?
Exercice n° 5:
Un mobile de masse 10 kg, animé d'une vitesse initiale de 3 m/s , subit la force variable
figurée ci- contre, de t= 0 à t= 0.01 s . La force a même direction que la vitesse initiale. Calculez la
vitesse finale du mobile lorsque:
a- La force a même sens que la vitesse initiale.
b- La force a un sens opposé à la vitesse initiale.
Exercice n° 6:
a)Montrez que la vitesse qu'il faut donner à un projectile pour le mettre en orbite autour de la
𝐌
terre au niveau du sol est: vS = √𝐠𝐑 𝐓 = √𝐆 R , RT = Rayon de la terre.
T
b)Le rayon de l'orbite de la lune est 60 fois plus grand que le rayon de la terre. Combien de
fois l'accélération d'un corps qui tombe sur la terre est-elle plus grande que l'accélération de la lune?
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Exercice n° 7:
Deux particules de masse m chacune sont soumises
uniquement à leur attraction gravitationnelle. Soit F la force
agissant sur la première. Quelle est la force agissant sur la
deuxième et quelles sont leurs accélérations?
Pour les cas (a), (b) et (c), calculez en fonction de F et de m
les forces agissant sur les deux parties du système en interaction et
déterminez leurs accélérations.
⃗
F
d
d
d
1024m
d
Exercice n° 8:
Un objet de 2 kg, lancé sur un plancher horizontal avec une vitesse de 10m/s, s'arrête en 5s.
Dessinez les forces agissantes en respectant leur modules et leurs orientations.
Exercice n° 9:
Un pendule est accroché au plafond du wagon d'un train animé d'un mouvement
uniformément accéléré, d'accélération a= 1 m/s.
Dessinez le pendule et calculez l'angle qu'il fait avec la verticale.
On brûle la ficelle du pendule lorsque le train atteint la vitesse v = 10 m/s. Déterminez la
trajectoire de la masse pour un observateur au sol.
Exercice n° 10:
La figure ci-contre représente un pendule conique constitué d'une masse
m = 12 kg accrochée à un fil de longueur L = 1,16 m. La masse tourne
circulairement dans un plan horizontal avec une vitesse angulaire w = 30 rad/s.
Calculez la tension de la corde et l'angle qu'elle fait avec la
verticale.
O
α
L
m
Exercice n° 11:
Un homme de 90 kg est dans un ascenseur. Déterminez la force que le plancher exerce sur lui
lorsque successivement:
a- L'ascenseur part du rez de chaussée avec une accélération de 3 m/s² .
b-Poursuit sa montée à vitesse constante.
c-Atteint le premier étage avec la même accélération |a⃗| qu'au départ, pour s'y arrêter.
d- Repart du premier étage vers le bas.
e- Descend à vitesse constante.
f- Puis rejoint le rez de chaussée
Si la masse de l'ascenseur est de 500 kg, quelle est la tension du câble dans les différentes
phases envisagées?
Exercice n° 12:
Les chariots de la figure ont respectivement des masses de 10 kg 15 kg et 20 kg . Une force de
T1
T2
traction F produit une accélération de 1 m/ s² .
C
B
A
Trouvez les valeur des tensions dans chacun des câbles.
⃗F
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Exercice n° 13:
Déterminer l'accélération avec la quelle se déplacent les corps
des figures (a) et (b) ainsi que les tensions des fils. Supposez que les
corps glissent sans frottement.
Résoudre d'abord le problème général puis appliquer au cas:
m1= 200 g ; m2 = 180 g ; α =30° ; β = 60°
Exercice n° 14 :
Un camion de 5t remorque un chariot de 10 t le long d'une route
inclinée de 30° par rapport à l'horizontale.
Calculez l'accélération et la tension dans la tige de remorquage
dans les cas suivants:
a- Le convoi se déplace à vitesse constante.
b- Le moteur tombe en panne et les freins lâchent.
m1
m2
(a)
α
m1
m2
β
α
(b)
m
M
Exercice n° 15:
Un objet de masse 800 g se trouve sur un plan incliné de 30° par rapport à l'horizontale. Le
coefficient de frottement de glissement entre les surfaces en contact est de 0,30 .
Quelle force doit-on lui appliquer pour qu'il se déplace à vitesse constante : a- vers le haut;
b- vers le bas.
Mêmes questions lorsque l'accélération est de 0.10 m/s² .
Exercice n° 16:
Un bloc de masse 3 kg est placé sur un autre bloc de masse 5 kg. On suppose qu'il n'y a pas
de frottement entre le bloc inférieur et la surface horizontale sur laquelle il repose. Les coefficients
de frottement statique et de glisse t entre les deux blocs sont respectivement 0,2 et 0,1.
a- Quelle force maximum ⃗⃗F peut-on appliquer au bloc B pour que le système se
déplace sans que le bloc A ne glisse par rapport au bloc B? Quelle est alors l'accélération
du système?
b- Quelles sont les accélérations des blocs A et B si la force appliquée est égale à 23 N ?
Exercice n° 17:
Représentez en fonction du temps la vitesse d'un corps qui tombe dans un fluide visqueux
lorsque la vitesse initiale n'est pas nulle ( la force de frottement est égale à -kv
⃗).
Considérez les deux cas ou v0 est plus grand et plus petit que mg/k.
Qu'arrive-t-il si v0 = mg/k ?
Exercice n° 18:
Une particule de masse 500 g se déplace d'un mouvement sinusoidal. Sa période est 0.1 s et
l'amplitude de son mouvement est de 10 cm .
Calculez l'accélération et la force lorsque la particule occupe , par rapport à sa position
d'équilibre les positions suivantes: x= 0 cm; x= 5cm ; x= 10 cm .
⃗⃗ . Dépendent-ils du sens de déplacement?
Représentez a⃗⃗ et F
Exercice n° 19:
Les constantes élastiques des deux ressorts de la figure sont k1 et k2.
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Calculez dans chacun des cas (a) et (b) la période d'oscillation de la
masse M .
Quelle est dans chacun des cas la constante k d'un ressort
équivalent au montage?
k2
k1
2
(a)
k1
k2
2
(b)
Exercice n° 20:
La figure (a) représente un ressort à vide .La figure (b) , une masse
M en équilibre accrochée à l'extrémité du ressort. On tire sur la masse M
vers le bas d'une longueur D puis on l'abandonne ( figure (c) ).
Déterminez la période d'oscillation de même que l'équation du
mouvement.
k
lo
(a)
M
D
(b)
Exercice n° 21:
Une comète , venant de l'espace interplanétaire, rentre dans le
champ d'attraction de la terre puis s'en éloigne .
Si ⃗⃗⃗
v0 est sa vitesse dans la position M0 ( a0 sur la figure ) ,
calculez sa vitesse v1 en M1 lorsqu'elle sera à la distance d1 la plus proche
M1
de la terre.
M
(c)
⃗⃗⃗
v0
MO
ao
d1
Exercice résolu: Etude du mouvement d'un pendule
O
𝜏
a- Par application de la relation fondamentale de la dynamique
Les forces agissant sur la masse m sont : Son poids mg et la tension T du
⃗⃗⃗ + mg
fil. La R.F.D donne: T
⃗ = ma⃗⃗ .
v2
l
et -mgsinϴ = mat = ml
d2 θ
d'où l'équation:
dt2
d2 θ
dt2
+
l
⃗⃗⃗
T
un
⃗⃗⃗⃗
Projetons cette équation sur les axes ⃗⃗⃗
ut et ⃗⃗⃗⃗
un en tenant compte de
l'expression des composantes intrinsèques de l'accélération:
T- mgcosϴ = m
ϴ
gsinϴ
𝑙
= 0.
ut
⃗⃗⃗
mg
⃗
Dans le cas des petites oscillations sinϴ≈ϴ et l'équation différentielle qui régit le mouvement
devient:
d2 θ
dt2
+
g
𝑙
ϴ = 0 qui admet pour solution: ϴ(t) = ϴo cos(wt+ϕ) w2 =
g
𝑙
; ϴo et ϕ étant deux
constantes qui peuvent être calculées à partir des conditions initiales.
La période du pendule, qui correspond au temps mis par le pendule pour effectuer une
l
oscillation complète aller et retour, est: T = 2π √ .La période est indépendante de la masse du
g
pendule.
b- Par le théorème du moment cinétique
Le théorème du moment cinétique nous donne :
d ⃗L
dt
= τ . Calculons le moment τ des forces
agissant sur la masse m par rapport au point O à un instant t:
τ = ⃗⃗⃗⃗⃗
OA X ( ⃗T + mg
⃗ ) = (-lu
⃗⃗⃗⃗n ) X (-mgsinϴu
⃗⃗⃗t ) = lmgsinϴ.u
⃗⃗⃗⃗n X ⃗⃗⃗
ut .
Calculons le moment cinétique à cet instant:
d ⃗L
d2 θ
dϴ
dϴ
⃗L = ⃗⃗⃗⃗⃗
OA X mv
⃗ = (-lu
⃗⃗⃗⃗n ) X (m dt ⃗⃗⃗
ut ) = ml2 dt ⃗⃗⃗
ut X ⃗⃗⃗⃗
un d'où:
= ml2 2 u⃗⃗⃗t X ⃗⃗⃗⃗
un .
dt
dt
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Le théorème du moment cinétique donne : ml2
d2 θ
dt2
+
gsinϴ
𝑙
d2 θ
dt2
ut X ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
un = lmgsinϴ.u
⃗⃗⃗⃗n X ⃗⃗⃗
ut soit :
= 0. Nous retrouvons la même équation que par la première méthode.
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