Chapitre I Groupes : révisions et compléments

Chapitre I
Groupes : révisions et compléments
Ce chapitre est divisé en six paragraphes : définitions de base, sous-groupes, sous-groupe engendré,
morphismes de groupes, classes suivant un sous-groupe, sous-groupe distingué.
1 Définitions de base
Définition. Un groupe G, est un ensemble Gmuni d’une loi interne (ou loi de composition interne), c’est-
à-dire une application G G G
x,y x y possédant les propriétés suivantes :
(i) la loi est associative :
x,y,z G,x y z x y z .
(ii) il existe un élément e G, appelé élément neutre de G, tel que :
g G,g e e g g.
(iii) pour tout élément g G, il existe g G, appelé symétrique de g, et noté g1, tel que :
g g g g e.
Théorème 1 (Propriétés élémentaires).Soit G,un groupe.
(a) G ∅.
(b) L’élément neutre de G est unique.
(c) Si g G, alors son symétrique est unique.
(d) e 1e.
(e) (règles de simplification) Pour tous x,y,z G,
z x z y x y
x z y z x y.
(f) Pour tout x G, x 11x.
(g) (symétrique d’un produit) Pour tous x,y G, x y 1y1x1.
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CHAPITRE I. GROUPES : RÉVISIONS ET COMPLÉMENTS 2
Démonstration.
(a) Car d’après (ii), « il existe un élément e G. . . ».
(b) Soient e,e G des éléments neutres.
eélément neutre e e e e e
eélément neutre e e e e e, d’où e e .
(c) Soient g,g G des symétriques de g. Alors :
g g e, donc
g g g g e, alors
g g g g par (i) et (ii), d’où
e g g car gest le symétrique de g, d’où g g .
(d) découle du fait que e e e et l’unicité du symétrique.
(e) Si z x z y, alors z1z x z 1z y , donc z1z x z 1z y, d’où e x e y, et
x y. Il en est de même pour x z y z.
(f) Comme x1x x x 1e,xest le symétrique de x1.
(g) On vérifie aisément que x y y 1x1y1x1x y e. Le résultat découle de l’unicité
du symétrique.
Définition. Un groupe G, est dit commutatif (ou abélien) si la loi est commutative, c’est-à-dire :
pour tous x,y G, on a x y y x.
Exemples.
(i) , , , , , , , sont des groupes commutatifs, d’élément neutre 0. Le symétrique de x
est x.
(ii) 0 , , 0 , , 0 , sont des groupes commutatifs, d’élément neutre 1. Le symétrique
de xest 1 x.
(iii) Soit n. Si k, on note ksa classe de congruence modulo n. L’ensemble des classes de
congruence de modulo n, noté n(ou n) est un groupe commutatif pour la loi définie par
k l k l.
(iv) Soit A, , or . Alors l’ensemble des polynômes à coefficients dans A, noté A X , est un groupe
pour l’addition des polynômes. L’élément neutre est le polynôme nul, le symétrique du polynôme
P X aiXiA X est P X aiXi.
(v) Soient net K, ou . Soit GL n,Kl’ensemble des matrices carrées de type n,nin-
versibles, c’est-à-dire de déterminant non nul. Alors muni du produit matriciel, GL n,K, est un
groupe, appelé groupe linéaire. En effet :
–M,NGL n,K MN GL n,K(loi interne) (car dét M 0, dét N 0dét MN 0).
– Le produit matriciel est associatif.
– L’élément neutre est la matrice identité In
1 0
0...0
0 1
.

CHAPITRE I. GROUPES : RÉVISIONS ET COMPLÉMENTS 3
– Le symétrique d’une matrice Mest son inverse matriciel M1qui existe car dét M0.
Pour n2, GL n,Kest non commutatif : par exemple dans GL 2, , prenons M1 1
0 1 et
N2 1
0 1 . Alors MN 2 2 0 1 NM 2 3 0 1 .
Notation.
• Dorénavant, lorsqu’on étudiera les propriétés d’un groupe général :
– on écrira souvent Gau lieu de G, .
– l’élément x y sera noté plus simplement xy, et sera appelé le produit de x par y (attention à l’ordre :
dans un groupe non commutatif, xy yx en général). L’élément neutre se note eou 1, et le symétrique
de g G se note g1, et sera appelé aussi l’inverse de g.
• Si g G et n, on écrira :
g0e
gng g
nfois
si n1
gngn1si n0.
Nous adopterons cette notation multiplicative pour énoncer et démontrer des propriétés générales des
groupes.
• Toutefois, si un groupe est commutatif, on a la possibilité d’utiliser une notation additive. Dans ce cas, la
loi se note , g h s’appelle le somme de get h, l’élément neutre se note 0, et l’inverse de gse note g(et
s’appelle aussi l’opposé de g). De plus, si n, on écrit :
nx x x
nfois
Définition. Un groupe Gest dit fini s’il n’a qu’un nombre fini d’éléments. Dans ce cas, le cardinal de G
s’appelle l’ordre du groupe G, et se note |G|(ou #G).
2 Sous-groupes
Définition. Un sous-groupe d’un groupe G, est une partie Hde Gqui forme un groupe pour la même
opération .
Proposition 2 (Propriétés élémentaires des sous-groupes).Soit G un groupe.
(a) G et e sont des sous-groupes de G.
(b) Si H est un sous-groupe de G, alors :
(i) l’élément neutre de H coïncide avec celui de G.
(ii) l’inverse d’un élément de H coïncide avec l’élément inverse dans G.

CHAPITRE I. GROUPES : RÉVISIONS ET COMPLÉMENTS 4
Démonstration. Laissée en exercice.
Définition. On appelle sous-groupe propre tout sous-groupe de Gdistinct de Get de e.
Les deux résultats suivants donnent des critères pratiques que l’on utilise pour montrer qu’une partie
donnée d’un groupe est (ou n’est pas) un sous-groupe.
Proposition 3 (Condition nécessaire et suffisante pour être un sous-groupe).Soit H une partie d’un
groupe G,. Alors H est un sous-groupe de G si et seulement si :
(a) H ∅(en général on montre que e H).
(b) H est stable pour : cela signifie que pour tous x,y H, on a x y H.
(c) H est stable par passage à l’inverse : cela signifie que pour tout x H, on a x 1H.
Démonstration.
: découle du fait que Hest un groupe muni de la loi induite .
: On montre que Hvérifie la définition de groupe. Le (b) implique que la loi de groupe de Ginduit une
loi interne sur H. L’associativité découle de celle de la loi dans G. Enfin, d’après le (a), il existe x H.
D’après le (c), x1H, d’où x x 1e H par le (b).
Des conditions (b) et (c) de la Proposition 3, on peut en faire une seule :
Corollaire 4 (Une autre condition nécessaire et suffisante pour être un sous-groupe).Soit H une partie
d’un groupe G,. Alors H et un sous-groupe de G si et seulement si H ∅et x,y H,xy 1H.
Démonstration. Il suffit de démontrer que les conditions (b) et (c) de la Proposition 3 sont équivalentes à :
x,y H,xy 1H.
: soient x,y H. D’après le (c), y1H, et d’après le (b), x y 1H.
: si x H, alors x x 1H, d’où e H. Comme e,x H, on a x1e x 1H, d’où le (c). Si x,y H,
alors y1H, donc x y x y 1 1 H.
Remarques.
(a) Lorsqu’on se sert de ces deux critères, on n’oubliera pas de vérifier que Hest bien une partie de G!
(b) Pour un groupe G, noté additivement, la condition du Corollaire 4 s’écrit H∅et x,y H,
x y H.
Exemples.
(i) Pour tout n,n na a est un sous-groupe de , .
(ii) est un sous-groupe de , .

CHAPITRE I. GROUPES : RÉVISIONS ET COMPLÉMENTS 5
(iii) Soient n,Uz|z|1 , , et Unz zn1 , . Géométriquement, Uest le
cercle unité dans le plan complexe, et Unest l’ensemble des racines nièmes de l’unité. Alors Uet Un
sont des sous-groupes de , , et Unest un sous-groupe de U, .
Proposition 5 (Une intersection quelconque de sous-groupes est un sous-groupe).Soient G,un
groupe et Hii I une famille (finie ou infinie) de sous-groupes de G. Alors i I Hiest un sous-groupe de
G.
Démonstration. Posons Hi I Hi. On applique le Corollaire 4. Comme e Hipour tout i I, on a que
e H, d’ou H∅. Soient x,y H. Alors, pour tout i I,x,y Hi, donc xy 1Hipar le Corollaire 4, d’où
xy 1H.
Remarque. En général, la réunion de sous-groupes n’est pas un sous-groupe. Par exemple, 2 et 3 sont
des sous-groupes de , . Mais 2 3 n’est pas stable pour la loi de car 2 3 5 2 3 (5 n’est
ni divisible par 2, ni par 3). Donc 2 3 n’est pas un sous-groupe de .
Proposition 6 (caractérisation des sous-groupes de ).Les sous-groupes de ,sont de la forme n .
Démonstration. On a déjà vu que pour tout n,nest un sous-groupe de , . Réciproquement, soit
Hun sous-groupe de . Montrons qu’il existe ntel que H n .
Si H0 , alors H0 . Supposons donc que H0 . Alors il existe x H,x0 ; x H implique
x H. On en déduit que H∅. La partie x H x 0 est donc une partie non vide de , et par
conséquent il admet un plus petit élément n0. Puisque Hest un sous-groupe de , on a que n H.
Réciproquement, soit x H. On effectue la division euclidienne de xpar n. Il existe alors q,r, 0 r n
tels que x nq r. Or, n H, donc nq H, d’où r x nq H. Puisque 0 r n, il vient de la
minimalité de nque r0, d’où x nq n , et H n . Par double inclusion, il suit que H n .
3 Sous-groupe engendré, groupe monogène
Définition. Soient G, un groupe et Sune partie de G. On note S(ou gr S) l’intersection de tous les
sous-groupes de Gcontenant S. D’après la Proposition 5, c’est un sous-groupe de G, appelé le sous-groupe
de G engendré par S.
Remarques.
(a) Pour la relation d’ordre d’inclusion, sur G,Sest le plus petit sous-groupe de Gcontenant S, c’est-à-
dire si H G et Hcontient S, alors S H.
(b) Par convention, si S∅, alors S e .
(c) Si S x est un singleton, on écrit alors x(au lieu de x). On a que
x xrr. . . , x2,x1,e,x,x2, . . . . (1)
Ceci étant, xest un sous-groupe commutatif de G, appelé sous-groupe engendré par x.