Chapitre I Groupes : révisions et compléments

Chapitre I
Groupes : révisions et compléments
Ce chapitre est divisé en six paragraphes : définitions de base, sous-groupes, sous-groupe engendré,
morphismes de groupes, classes suivant un sous-groupe, sous-groupe distingué.
1 Définitions de base
Définition. Un groupe G,
G
à-dire une application
est un ensemble G muni d’une loi interne (ou loi de composition interne), c’estG
G
possédant les propriétés suivantes :
x, y
x y
(i) la loi est associative :
x, y, z
(ii) il existe un élément e
G, x y
y z .
x
G, appelé élément neutre de G, tel que :
g
(iii) pour tout élément g
z
G, il existe g
G, g e
e g
g.
G, appelé symétrique de g, et noté g
g g
Théorème 1 (Propriétés élémentaires). Soit G,
g
g
e.
un groupe.
∅.
(a) G
(b) L’élément neutre de G est unique.
(c) Si g
(d) e
1
G, alors son symétrique est unique.
e.
(e) (règles de simplification) Pour tous x, y, z
(f) Pour tout x
G, x
1
1
G,
z x
z y
x
y
x z
y z
x
y.
x.
(g) (symétrique d’un produit) Pour tous x, y
G, x y
1
1
y
1
x
1.
1,
tel que :
CHAPITRE I. GROUPES : RÉVISIONS ET COMPLÉMENTS
2
Démonstration.
(a) Car d’après (ii), « il existe un élément e
(b) Soient e, e
G. . . ».
G des éléments neutres.
(c) Soient g , g
e élément neutre
e e
e
e
e
e élément neutre
e e
e
e
e, d’où e
G des symétriques de g. Alors :
e, donc
g g
g
g
(d) découle du fait que e e
e, alors
g g
g
g
g par (i) et (ii), d’où
g
g car g est le symétrique de g, d’où g
e g
1
x
1
x x
e, x est le symétrique de x
(g) On vérifie aisément que x y
du symétrique.
Définition. Un groupe G,
g .
e et l’unicité du symétrique.
(e) Si z x z y, alors z 1 z x
z 1 z y , donc z
x y. Il en est de même pour x z y z.
(f) Comme x
e.
y
1
x
1
y
1
1
z
x
z
1
z
y, d’où e x
e y, et
1.
1
x
e. Le résultat découle de l’unicité
x y
est dit commutatif (ou abélien) si la loi est commutative, c’est-à-dire :
pour tous x, y
G, on a x y
y x.
Exemples.
(i)
, ,
est x.
,
(ii)
0 , ,
de x est 1 x.
,
,
0 ,
,
,
,
sont des groupes commutatifs, d’élément neutre 0. Le symétrique de x
0 ,
sont des groupes commutatifs, d’élément neutre 1. Le symétrique
(iii) Soit n
. Si k
, on note k sa classe de congruence modulo n. L’ensemble des classes de
congruence de modulo n, noté
n (ou n ) est un groupe commutatif pour la loi définie par
k l k l.
(iv) Soit A
, , or . Alors l’ensemble des polynômes à coefficients dans A, noté A X , est un groupe
pour l’addition des polynômes. L’élément neutre est le polynôme nul, le symétrique du polynôme
P X
ai X i A X est P X
ai X i .
(v) Soient n
et K
, ou . Soit GL n, K l’ensemble des matrices carrées de type n, n inversibles, c’est-à-dire de déterminant non nul. Alors muni du produit matriciel, GL n, K , est un
groupe, appelé groupe linéaire. En effet :
– M, N
GL n, K
MN
GL n, K (loi interne) (car dét M
– Le produit matriciel est associatif.
– L’élément neutre est la matrice identité In
1
0
0
..
0
.
0
1
.
0, dét N
0
dét MN
0).
CHAPITRE I. GROUPES : RÉVISIONS ET COMPLÉMENTS
3
– Le symétrique d’une matrice M est son inverse matriciel M
Pour n
qui existe car dét M
2, GL n, K est non commutatif : par exemple dans GL 2,
2 1
. Alors MN
0 1
N
1
2 2
0 1
, prenons M
0.
1 1
0 1
et
2 3
.
0 1
NM
Notation.
• Dorénavant, lorsqu’on étudiera les propriétés d’un groupe général :
– on écrira souvent G au lieu de G,
.
– l’élément x y sera noté plus simplement xy, et sera appelé le produit de x par y (attention à l’ordre :
dans un groupe non commutatif, xy yx en général). L’élément neutre se note e ou 1, et le symétrique
de g G se note g 1 , et sera appelé aussi l’inverse de g.
• Si g
G et n
, on écrira :
g0
g
n
g
n
e
g si n
g
1
n fois
g
n
1
si n
0.
Nous adopterons cette notation multiplicative pour énoncer et démontrer des propriétés générales des
groupes.
• Toutefois, si un groupe est commutatif, on a la possibilité d’utiliser une notation additive. Dans ce cas, la
loi se note , g h s’appelle le somme de g et h, l’élément neutre se note 0, et l’inverse de g se note g (et
s’appelle aussi l’opposé de g). De plus, si n
, on écrit :
nx
x
x
n fois
Définition. Un groupe G est dit fini s’il n’a qu’un nombre fini d’éléments. Dans ce cas, le cardinal de G
s’appelle l’ordre du groupe G, et se note | G | (ou #G).
2
Sous-groupes
Définition. Un sous-groupe d’un groupe G,
opération .
est une partie H de G qui forme un groupe pour la même
Proposition 2 (Propriétés élémentaires des sous-groupes). Soit G un groupe.
(a) G et e sont des sous-groupes de G.
(b) Si H est un sous-groupe de G, alors :
(i) l’élément neutre de H coïncide avec celui de G.
(ii) l’inverse d’un élément de H coïncide avec l’élément inverse dans G.
CHAPITRE I. GROUPES : RÉVISIONS ET COMPLÉMENTS
4
Démonstration. Laissée en exercice.
Définition. On appelle sous-groupe propre tout sous-groupe de G distinct de G et de e .
Les deux résultats suivants donnent des critères pratiques que l’on utilise pour montrer qu’une partie
donnée d’un groupe est (ou n’est pas) un sous-groupe.
Proposition 3 (Condition nécessaire et suffisante pour être un sous-groupe). Soit H une partie d’un
groupe G, . Alors H est un sous-groupe de G si et seulement si :
∅ (en général on montre que e
(a) H
H).
(b) H est stable pour : cela signifie que pour tous x, y
H, on a x y
H.
(c) H est stable par passage à l’inverse : cela signifie que pour tout x
H, on a x
1
H.
Démonstration.
: découle du fait que H est un groupe muni de la loi induite .
: On montre que H vérifie la définition de groupe. Le (b) implique que la loi de groupe de G induit une
loi interne sur H. L’associativité découle de celle de la loi dans G. Enfin, d’après le (a), il existe x H.
D’après le (c), x 1 H, d’où x x 1 e H par le (b).
Des conditions (b) et (c) de la Proposition 3, on peut en faire une seule :
Corollaire 4 (Une autre condition nécessaire et suffisante pour être un sous-groupe). Soit H une partie
d’un groupe G, . Alors H et un sous-groupe de G si et seulement si H ∅ et x, y H, xy 1 H.
Démonstration. Il suffit de démontrer que les conditions (b) et (c) de la Proposition 3 sont équivalentes à :
x, y
: soient x, y
H. D’après le (c), y
1
: si x H, alors x x 1 H, d’où e
alors y 1 H, donc x y x y
H, xy
1
H.
H, et d’après le (b), x y
H. Comme e, x
1 1
H.
H, on a x
1
H.
1
e x
1
H, d’où le (c). Si x, y
H,
Remarques.
(a) Lorsqu’on se sert de ces deux critères, on n’oubliera pas de vérifier que H est bien une partie de G !
(b) Pour un groupe G,
x y H.
noté additivement, la condition du Corollaire 4 s’écrit H
Exemples.
(i) Pour tout n
(ii)
,n
na
est un sous-groupe de
est un sous-groupe de
a
, .
,
.
∅ et x, y
H,
CHAPITRE I. GROUPES : RÉVISIONS ET COMPLÉMENTS
5
(iii) Soient n
, U
z
|z| 1 , , et Un
z
zn 1 , . Géométriquement, U est le
cercle unité dans le plan complexe, et Un est l’ensemble des racines nièmes de l’unité. Alors U et Un
sont des sous-groupes de
, , et Un est un sous-groupe de U, .
Proposition 5 (Une intersection quelconque de sous-groupes est un sous-groupe). Soient G, un
groupe et Hi i I une famille (finie ou infinie) de sous-groupes de G. Alors i I Hi est un sous-groupe de
G.
Démonstration. Posons H
e H, d’ou H ∅. Soient x, y
xy 1 H.
Hi . On applique le Corollaire 4. Comme e Hi pour tout i I, on a que
H. Alors, pour tout i I, x, y Hi , donc xy 1 Hi par le Corollaire 4, d’où
i I
Remarque. En général, la réunion de sous-groupes n’est pas un sous-groupe. Par exemple, 2 et 3 sont
des sous-groupes de , . Mais 2
3 n’est pas stable pour la loi de car 2 3 5 2
3 (5 n’est
ni divisible par 2, ni par 3). Donc 2
3 n’est pas un sous-groupe de .
Proposition 6 (caractérisation des sous-groupes de ). Les sous-groupes de
,
Démonstration. On a déjà vu que pour tout n
, n est un sous-groupe de
H un sous-groupe de . Montrons qu’il existe n
tel que H n .
sont de la forme n .
,
. Réciproquement, soit
Si H
0 , alors H 0 . Supposons donc que H
0 . Alors il existe x H, x 0 ; x H implique
x H. On en déduit que H
∅. La partie x H x 0 est donc une partie non vide de , et par
conséquent il admet un plus petit élément n
0. Puisque H est un sous-groupe de , on a que n
H.
Réciproquement, soit x H. On effectue la division euclidienne de x par n. Il existe alors q, r
,0 r n
tels que x
nq r. Or, n
H, donc nq
H, d’où r
x nq
H. Puisque 0
r
n, il vient de la
minimalité de n que r 0, d’où x nq n , et H n . Par double inclusion, il suit que H n .
3 Sous-groupe engendré, groupe monogène
Définition. Soient G, un groupe et S une partie de G. On note S (ou gr S ) l’intersection de tous les
sous-groupes de G contenant S. D’après la Proposition 5, c’est un sous-groupe de G, appelé le sous-groupe
de G engendré par S.
Remarques.
(a) Pour la relation d’ordre d’inclusion, sur G, S est le plus petit sous-groupe de G contenant S, c’est-àdire si H G et H contient S, alors S
H.
(b) Par convention, si S
(c) Si S
∅, alors S
e .
x est un singleton, on écrit alors x (au lieu de
x
xr
r
...,x
x ). On a que
2
,x
1
, e, x, x2 , . . . .
Ceci étant, x est un sous-groupe commutatif de G, appelé sous-groupe engendré par x.
(1)
CHAPITRE I. GROUPES : RÉVISIONS ET COMPLÉMENTS
Définition. S’il existe x
dit qu’il est cyclique.
G tel que G
6
x , on dit que le groupe G est monogène. Si de plus, G est fini, on
Remarque. Lorsque le groupe G est commutatif, avec la notation additive, l’équation (1) s’écrit sous la
forme :
x
rx r
. . . , 2x, x, 0, x, 2x, . . . .
Exemples.
(a) Soient n
et S
n un singleton de . Alors n
n , donc n engendre n , et n est un groupe
monogène engendré par n. En particulier,
1 est monogène.
!
(b) Soit n
. Alors Un
e2πik n ! k 0, . . . , n 1 est un groupe cyclique (car e2πik n
e2πi n k ),
engendré par e2πi n .
(c) Soit n
. Alors
n est un groupe cyclique engendré par 1.
Définitions. Soient G un groupe, et x
G un élément.
(a) On appelle ordre de l’élément x, noté o x , le cardinal du sous-groupe x engendré par x.
(b) Si ce cardinal est infini, on dit que x est d’ordre infini dans G.
(c) Si o x est fini, on dit que x est d’ordre fini (ou de torsion). Dans ce cas, on a que o x
Exemples.
| x |.
(a) Dans tout groupe, e est l’unique élément d’ordre 1.
(b) Dans , si n
0, alors n
n , et donc n est un élément d’ordre infini dans .
(c) Soit n
. Alors Un est engendré par e2πi n , et est un groupe cyclique d’ordre n (car il y a exactement
n racines nièmes de l’unité.
Proposition 7. Soient G un groupe et x un élément de G. Les affirmations suivantes sont équivalentes :
(i) L’élément x est d’ordre fini.
tel que x k
(ii) Il existe k
inf k
Dans ce cas, o x
e.
! k
!x
e .
Démonstration. Supposons d’abord que x est d’ordre fini. Alors le groupe x
xn n
est fini. Cela
implique que toutes les puissances de x ne sont pas distinctes : il existe deux entiers p, q, avec p
q, tels
p
q
k
que x
x , d’où x
e, avec k p q
.
Supposons désormais qu’il existe k
tel que x k e. Soit r
le plus petit entier naturel vérifiant
r
1
x . Si n
, effectuons la division euclidienne dans de
cette condition. Il est clair que e, x, . . . , x
n par r : il existe q, s
, 0 s r 1 tels que n qr s. Donc
xn
x qr
s
xr q . x s
eq . x s
xs .
e, x, . . . , xr
1
. On a donc x
Notons enfin que tous les éléments de e, x, . . . , xr
donc o x
| x | r.
1
sont distincts en raison de la minimalité de r,
Puisque 0
inclusion.
s
r
1, il suit que x
e, x, . . . , xr
1
par double
CHAPITRE I. GROUPES : RÉVISIONS ET COMPLÉMENTS
4
7
Morphismes de groupes
Étant donné un groupe, on voudrait étudier ses propriétés algébriques. Pour ce faire, on pourra le
comparer à un autre groupe dont on connaît déjà les propriétés. On cherche donc des applications d’un
groupe dans un autre qui soient compatibles avec les lois de deux groupes : c’est la notion de morphisme.
Définitions.
(a) Soient G, et G ,
deux groupes. Un morphisme (ou homomorphisme) de groupes de G dans G est
une application f : G
G telle que :
x, y
G, f x y
f y .
f x
(b) Un morphisme de groupes bijectif est dit isomorphisme (de groupes). Deux groupes sont dits isomorphes
s’il existe un isomorphisme de G sur G .
(c) Un morphisme d’un groupe G dans lui-même est appelé endomorphisme (de groupe).
(d) Un isomorphisme d’un groupe G dans lui-même est appelé automorphisme de G.
Proposition 8 (Propriétés élémentaires des morphismes de groupes). Tout morphisme de groupes
f: G
G vérifie les propriétés suivantes :
(a) Soient e, e les éléments neutres respectifs de G, G . Alors f e
(b) Pour tout x
G, f x
(c) Pour tout n
et x
1
f x
e.
1.
G, f x n
f x
n.
(d) Si H est un sous-groupe de G, alors f H est un sous-groupe de G .
Démonstration.
(a) On a que f e
e
f e .
(b) Soit x
f e e
G. Alors e
f e
f e
f e . Or, f e
f x x
1
G , donc f e
f x
f x
1
. De même, e
(c) (exercice) On effectue d’abord une récurrence lorsque n
(d) Soit
e
et f
y1
f e
e , et en simplifiant, on trouve
f x
1
f x , d’où le résultat.
, et ensuite on applique le (b).
H un sous-groupe de G. On applique le Corollaire 4. Il est clair que f H
G . Ensuite, e H,
f e
f H , donc f H
∅. Soient y1 , y2 f H . Alors il existe x1 , x2 H tels que f x1
y1
1
1
1
x2
y2 , donc y2
f x2 par le (b). De plus, comme H
G, on a x1 x2
H. Donc
1
1
1
f x1 x2
f H . Ceci prouve que f H est un sous-groupe de G .
y2
f x1
f x2
Exercice. Si f : G
G et g : G
G sont des morphismes de groupes, montrer que la composée
g f: G
G est aussi un morphisme de groupes.
Définitions. Soit f : G,
G,
un morphisme de groupes.
(a) L’image de f , notée Im f , est définie par
Im f
y
G | x
G, f x
x
f x
y .
(b) Le noyau de f , noté Ker f , est défini par
Ker f
G
e .
CHAPITRE I. GROUPES : RÉVISIONS ET COMPLÉMENTS
8
Proposition 9 (Propriétés du noyau et de l’image). Soit f : G,
Alors :
G,
un morphisme de groupes.
(a) Ker f est un sous-groupe de G. En particulier, l’élément neutre e appartient toujours à Ker f .
(b) Im f est un sous-groupe de G .
(c) f est injectif si et seulement si Ker f
e .
(d) f est surjectif si et seulement si Im f
G.
Démonstration.
(a) On applique le Corollaire 4. D’après la Proposition 8(a), e Ker f , donc Ker f
∅. Ensuite, soient
1
1
x, y Ker f . Donc f x
e et f y
e . Par la Proposition 8(b), f y
e
e , et comme f est un
1
1
1
morphisme de groupes, f xy
f x
f y
e e
e , d’où xy
Ker f .
(b) Le résultat découle du fait que Im f
f G et la Proposition 8(d).
(c) On rappelle que l’application f est injective si :
x, y
Supposons f injectif. Soit x
Ker f
e .
G, f x
f y
Ker f . Alors f x
x
y.
f e (Proposition 8(a)), donc x
e
Réciproquement, supposons Ker f
e , et soient x, y G tels que f x
f y . Alors e
1
1
1
1
f y
f x
f y
f x y
(Proposition 8(b)). Donc x y
Ker f , d’où x y.
(d) f surjectif
y
G, x
G, f x
Im f
y
e, d’où
f x
G.
f G
Exemples.
(i) Soit n
groupe
. Considérons l’application f :
définie par f k
,
dans le groupe
, car pour tous k, l
,
f k
l
e2πi
e2πik n e2πil
k l n
n
e2πik n . C’est un morphisme du
f k f l .
L’image de f est
Im f
Le noyau de f est
Ker f
(ii) Soient n
!
!
e2πik n ! k
k
|f k
!
!
e2πik n ! k
1
k
. Considérons l’application
0, 1, . . . , n
!
! 2πik
!e
n
1
1
Un .
n .
0 ,
dét : GL n,
A
dét A .
Puisque la matrice A appartient à GL n, , elle est inversible, et dét A
0. De plus, quelles que
soient A, B
n, , dét AB
dét A dét B ; par suite, dét est un morphisme de groupes. Il est
CHAPITRE I. GROUPES : RÉVISIONS ET COMPLÉMENTS
9
λ 0
surjectif car si λ
0
0
0
0
.
.. .. ..
. . .
..
. 1
0 1
0 , alors la matrice diagonale
..
0
0
appartient à GL n,
, et son
0
0 1
déterminant vaut λ. Le noyau de dét s’appelle groupe linéaire spécial et se note
SL n,
5
A
GL n,
dét A
1 .
Classes suivant un sous-groupe
La notion de « structure quotient » (ensemble, groupe, espace vectoriel, anneau, . . . ) est fondamentale
en algèbre et en topologie. Elle permet de regrouper les éléments par « paquets » et de doter ces derniers
d’une structure analogue.
Dans tout ce qui suit, G sera un groupe, et H sera un sous-groupe de G.
Si x G, on pose :
et
xH
xh
h
H
Hx
hx
h
H .
Définitions.
(a) On appelle relation à gauche modulo H (ou suivant H) la relation binaire définie par :
x ∼g y
x
1
y
H.
(b) On appelle relation à droite modulo H (ou suivant H) la relation binaire définie par :
x ∼d y
xy
1
H.
Théorème 10 (Propriétés des relations à gauche et à droite). Soient G un groupe, et H un sous-groupe de
G.
(a) (propriétés de la relation ∼g )
(i) La relation ∼g est une relation d’équivalence sur G.
(ii) La classe d’équivalence de x
(iii) L’application h
cardinal.
G pour ∼g est égale à xH.
xh est une bijection de H sur xH ; toutes les classes à gauche modulo H ont même
(b) (propriétés de la relation ∼d )
(i) La relation ∼d est une relation d’équivalence sur G.
(ii) La classe d’équivalence de x
(iii) L’application h
cardinal.
G pour ∼d est égale à Hx.
hx est une bijection de H sur Hx ; toutes les classes à droite modulo H ont même
On note G H g l’ensemble quotient des classes à gauche modulo H, et G H
classes à droite modulo H.
(c) Les ensembles quotients G H
g
et G H
d
d
l’ensemble quotient des
sont en bijection. En particulier ils ont même cardinal.
CHAPITRE I. GROUPES : RÉVISIONS ET COMPLÉMENTS
10
Définitions.
(a) La classe d’équivalence xH de x pour la relation ∼g s’appelle la classe à gauche de x modulo H.
(b) La classe d’équivalence Hx de x pour la relation ∼d s’appelle la classe à droite de x modulo H.
(c) On appelle indice de H dans G, noté G : H , le cardinal de G H
de G H d ).
g
(qui est donc aussi égal au cardinal
Exemple. Soient G
, ,n
et H le sous-groupe n de . Dans la notation additive, la relation ∼g
s’écrit x ∼g y si y x n . Donc x ∼g y si et seulement s’il existe l
tel que y x nl, c’est-à-dire que
x ∼g y si et seulement x et y sont congrus modulo n. La classe d’équivalence de y G pour ∼g est donc
égale à y n
y nl l
.
On constate que les classes y n , y 0, 1 . . . , n 1 forment une partition de (leur réunion vaut , et
elles sont deux à deux disjointes). Les éléments de G H g sont donc ces classes, et l’indice : n vaut n.
La relation ∼d s’écrit x ∼d y si x y n . Mais x y n si et seulement si y x n . La relation ∼d
coïncide donc avec la relation ∼g , et par conséquent, pour tout élément y
, la classe d’équivalence de
y G pour ∼d est égale à la classe d’équivalence de y G pour ∼g .
Démonstration du Théorème 10.
(a)
(i) – La relation ∼g est réflexive : pour tout x
1x
G, on a x
– La relation ∼g est symétrique : soient x, y
x 1 y 1 y 1 x H, d’où y ∼g x.
e
H, donc x ∼g x.
1y
G, et supposons que x ∼g y. Alors x
H. Donc
1 y, y 1 z
– La relation ∼g est transitive : soient x, y, z G tels que x ∼g y et y ∼g z. Alors x
donc x 1 y y 1 z x 1 z H, d’où x ∼g z.
H,
La relation ∼g est donc une relation d’équivalence dans G.
G pour la relation ∼g est :
(ii) Par définition, la classe d’équivalence de x
x
c
c
c
c
xH.
!
G ! x ∼g c
!
!
G ! x 1c H
!
!
G ! h H, x
G| h
(iii) L’application est injective, car la relation xh1
Elle est aussi surjective, car si b
1
H, c
c
h
xh
xh2 (avec h1 , h2
1b
xH, alors x
H, et x
H) entraîne h1
1b
xx
1b
h2 .
b.
(b) se démontre de la même manière.
(c) La corrrespondance f : G H
effet, les équivalences
xH
yH
x
G H
g
1
y
H
d
définie par xH
x
1
y
1
y
1
x
Hx
1
1
montrent que f est une application et que f est injective. Si Hx
f x 1H
Hx, donc f est surjective.
1
H
est une application bijective. En
Hx
1
Hy
G H d , alors x
1
1H
G H g , et
CHAPITRE I. GROUPES : RÉVISIONS ET COMPLÉMENTS
Théorème 11 (de Lagrange). Soient G un groupe fini, et H un sous-groupe de G. Alors | G |
En particulier, | H | divise | G |.
11
G: H
| H |.
Démonstration. Les classes d’équivalence pour la relation à gauche ∼g modulo H forment une partition de
G. Elles sont finies car G est fini, et elles ont chacune le même cardinal que H d’après le Théorème 10(iii).
D’où
| G | | H | m,
où m est le nombre de classes d’équivalence pour ∼g , c’est-à-dire le cardinal de G H g . Donc | G |
| H |.
G: H
Corollaire 12. Soit G un groupe fini. Alors l’ordre de tout élément de G divise l’ordre du groupe.
Exemple. Dans le groupe additif 4
0, 1, 2, 3 , 0 est d’ordre 1, 2 est d’ordre 2, et 1 et 3 sont d’ordre 4.
Chacun de ces ordres divise 4 qui est l’ordre du groupe 4 .
Démonstration du Corollaire 12. Soit x G. Puisque G est fini, x est d’ordre fini o x . Par définition, o x
| x |. Mais x est un sous-groupe de G. Le résultat découle du Théorème de Lagrange.
Ceci nous permet de classifier les groupes finis d’ordre premier :
Corollaire 13. Soit G un groupe fini d’ordre premier p. Alors G est cyclique.
Démonstration. Soit x G, x
donc | x | p, et comme x
e. Alors x est un sous-groupe de G, d’ordre | x | 2. Or, | x |
G, on a x
G, c’est-à-dire G est cyclique, engendré par x.
|G|
p,