Table des matières

Etude de comportement non linéaire sur des structures
composées d’éléments pour partie ductile et pour partie
non ductile
Bachar KABALAN
UNIVERSITE LIBANAISE
FACULTE DE GENIE III
DEPARTEMENT GENIE CIVIL
Mémoire présenté en vue de l’obtention du diplôme d’ingénieure
Option Génie Civil
FOURNELY Eric, MCF, Polytech’Clermont-Ferrand
MOUTOU PITTI Rostand, MCF, Polytech’Clermont-Ferrand
EL TAWIL Khaled, MCF, Université Libanaise, Faculté de génie
Février - Juin 2012
REMERCIEMENT|
REMERCIEMENT
Tout d’abord, je voudrais remercier mes tuteurs Messieurs Eric FOURNELY et Rostand
MOUTOU PITTI pour leur soutien et leurs remarques constructives.
Je remercie également Messieurs Claude BACCONNET et Pierre BREUL pour leur aide et
hospitalité lors de notre arrivée à Polytech Clermont-Ferrand.
Je tiens à exprimer ma gratitude à l’équipe de l’Université Libanaise - Faculté de Génie
surtout le Doyen Prof. Younes, le directeur de de la Faculté de Génie-Hadath Dr. Hamdan, le
directeur du département Génie Civil Dr. Hassan El Hajj, le Prof. Khaled El Tawil et tout le cadre
d’enseignement de l’Université Libanaise.
Je remercie de tout cœur mes collègues à Clermont-Ferrand et surtout le groupe Kissuberg.
On s’est bien amusé ensemble.
Finalement, je remercie ceux à qui je tiens énormément, les ingénieurs Ali et Afaf
KABALAN et ma famille pour le support inconditionnel qu’ils m’ont donné dans la vie et dans
cette expérience. We did it.
Bachar KABALAN
Février-Juin 2012
CUST
Résumé | 2
COMPORTEMENT NON LINEAIRE DES STRUCTURES COMPOSEES D’ELEMENTS POUR
PARTIE DUCTILE ET POUR PARTIE NON DUCTILE
Bachar KABALAN
Polytech’ Clermont-Ferrand (CUST) - Mémoire présenté en vue de l’obtention du Master d’ingénieur - Département Génie Civil – juin 2012 -
- Résumé En génie sismique, l’objet principal d’analyser des réponses des structures, soumise à un tremblement
de terre, est l’estimation des forces et des déplacements engendrés. Les nouvelles normes de calcul des
bâtiments favorisent l’utilisation du calcul dynamique en vue de déterminer la distribution de ces forces et de
ces déplacements. Dans le domaine linéaire, les méthodes numériques, comme la méthode de l’intégrale de
Duhamel et l’intégration numérique directe, donne des résultats très satisfaisants .Dans le domaine non
linéaire, le choix de la méthode de résolution devient plus compliqué, notamment pour les systèmes à
plusieurs degrés de liberté. La façon traditionnelle pour la prise en compte de la plastification de la structure
est de faire une réduction des forces provenant d’un calcul linéaire. Une autre méthode est la méthode
directe d’intégration temporelle. Cette méthode prend en compte le changement des caractéristiques du
système, surtout la rigidité.
La présente étude vise à comparer les deux méthodes de calcul de la réponse d’une structure à deux
degrés de liberté. L’idée consiste à étudier une structure avec deux contreventements verticaux reliés par un
élément horizontal, plus rigide et plus résistant que les contreventements. La structure de base peut être
représentée avec plusieurs niveaux de précision ou de modélisation.
L’objectif est d’analyser les efforts dans les « ancrages » de l’élément horizontal sur les
contreventements, ainsi que les efforts dans ces éléments. Les contreventements sont dimensionnés pour
entrer dans le domaine plastique sous un séisme correspondant à un état limite de non effondrement. Un
calcul dynamique non linéaire est comparé avec une approche linéarisée par un coefficient de comportement.
La base de travail est d’utiliser la méthode de résolution numérique de l’intégrale de Duhamel pour un
système linéaire à un degré de liberté et à deux degrés de liberté. Le calcul dynamique non linéaire est
effectué par la méthode de Newmark.
Mots-clés
Calcul dynamique-coefficient de comportement-intégrale de Duhamel- méthode de Newmark-plastificationsystème à un degré de liberté et à deux degré de liberté
Polytech Clermont Ferrand
Campus des Cézeaux – Avenue des landais – 63174 AUBIERE
Travaux dirigés par M. Eric Fournely
Bachar KABALAN
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Abstract|3
NON LINEAR BEHAVIOUR OF STRUCTURES COMPOSED OF ELEMENTS FOR DUCTILE
AND NON DUCTILE PARTS
Bachar KABALAN
Polytech’ Clermont-Ferrand (CUST) - Mémoire présenté en vue de l’obtention du Master d’ingénieur - Département Génie Civil – juin 2012 -
- Abstract -
In earthquake engineering, the principal objective behind analyzing the responses of structures,
subjected to earthquakes, is to estimate the forces and displacements generated. The most recent regulations
of building design favor the use of dynamic calculations in order to determine the distribution of these forces
and displacements. In the linear domain, the numerical methods, like Duhamel’s integral method and the
direct numerical integration, give satisfying results. Whereas in the nonlinear domain, the choice of the
method of resolution become more complicated, especially for systems with several degrees of freedom.
Traditionally, plastification of a structure was taken into consideration by reducing the forces calculated in
the linear or elastic domain. Another method adopted is the direct integration. In this method, the
characteristics of the system, especially the rigidity, change with respect to time and exerted forces.
This study aims at comparing two methods of calculating the response of a structure with two degrees of
freedom. The structure consists of two vertical bracings (shear walls) connected by a horizontal element,
more rigid and more resistant than the vertical components. We can represent this structure with several
models depending on the level of precision required.
The objective of our research is to analyze the value and distribution of the forces produced in the
anchorage between the horizontal and vertical elements and in those elements themselves. The vertical
supports are designed in a way that they enter the plastic domain under the effects of an earthquake without
total destruction. A nonlinear dynamic calculation will be compared with a linear one that makes use of the
reduction factor.
The calculation in the linear domain for systems of a single or several degrees of freedom is based on
the Duhamel’s integral method. The nonlinear dynamic calculations are based on Newmark’s method.
Key Words
Dynamic calculation- reduction factor-Duhamel’s integral- Newmark’s method-plastification- single and
multi-degrees of freedom
Polytech Clermont Ferrand
Campus des Cézeaux – Avenue des landais – 63174 AUBIERE
Work directed by M. Eric Fournely
Bachar KABALAN
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Table des matières|5
Table des matières
Tables des figures ...................................................................................................................................6
Liste des tableaux ...................................................................................................................................8
Notations ...............................................................................................................................................9
Introduction générale ........................................................................................................................... 12
1.
Partie I : Système à un Degré de Liberté ......................................................................................... 14
1.1.
Introduction .....................................................................................................................................................14
1.2.
Equation de Mouvement..................................................................................................................................14
1.2.1.
Exploration des termes de l’équation de mouvement............................................................................17
1.3.
Oscillateurs simple linéaires .............................................................................................................................18
1.4.
Réponse des Structures ....................................................................................................................................19
1.4.1.
Réponse à une charge arbitraire .............................................................................................................19
1.4.2.
Intégration temporelle ............................................................................................................................25
1.5.
Réponse à un Tremblement de terre ...............................................................................................................30
1.5.1.
Action sismique .......................................................................................................................................31
1.5.2.
Réponses linéaire dans le temps .............................................................................................................31
1.5.3.
Moment +cisaillement ............................................................................................................................31
1.5.4.
Spectre de Réponse élastique .................................................................................................................32
1.5.5.
Spectre de dimensionnement .................................................................................................................36
1.5.6.
Utilisation des spectres de design ................................................................................................ 36
1.5.7.
Réponse non linéaire ..............................................................................................................................37
1.5.8.
Spectre de réponse inélastique ...............................................................................................................41
1.5.9.
Spectre de dimensionnement inélastique ..............................................................................................41
2.
Partie II : Système à Plusieurs Degrés de Liberté: ............................................................................ 45
2.1.
Equation de mouvement ..................................................................................................................................45
2.1.1.
Mouvement d’ensemble de la base d’un système plan..........................................................................45
2.2.
Méthode de Résolution : Méthode de superposition modale ..........................................................................46
2.2.1.
Coordonnées normales ...........................................................................................................................46
2.2.2.
Calcul de la réponse ................................................................................................................................47
2.3.
Réponse à un tremblement de terre ................................................................................................................48
2.3.1.
Superposition modale .............................................................................................................................49
2.3.2.
Superposition des réponses spectrales ...................................................................................................52
2.4.
Intégration temporelle des systèmes linéaires.................................................................................................53
Bachar KABALAN
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CUST
Table des matières|5
2.5.
Intégration temporelle des systèmes non linéaires .........................................................................................55
2.5.1.
Equation du mouvement incrémentale ..................................................................................................56
2.5.2.
Méthodes implicites de Newmark ..........................................................................................................57
3.
Eurocode 8 .................................................................................................................................... 60
3.1.
Choix des accélérogrammes.............................................................................................................................60
3.2.
Spectre de réponse ...........................................................................................................................................60
3.3.
Spectre de calcul ..............................................................................................................................................62
3.4.
Coefficient de comportement ..........................................................................................................................63
3.5.
Règle de dimensionnement en capacité ..........................................................................................................64
3.5.1.
Principe ...................................................................................................................................................64
3.5.2.
Règles de dimensionnement en capacité ...............................................................................................64
4.
Application Numérique.................................................................................................................. 66
4.1.
Système a un degré de liberté ..........................................................................................................................66
4.1.1.
Structure : ...............................................................................................................................................66
4.1.2.
Accélérogramme: ....................................................................................................................................67
4.1.3.
Résolution : .............................................................................................................................................68
4.1.3.1.
Système linéaire............................................................................................................................ 68
4.1.3.2.
Système non-linéaire .................................................................................................................... 76
4.2.
Système à deux degré de liberté ......................................................................................................................82
4.2.1.
Caractéristique du système : ...................................................................................................................82
4.2.2.
Résolution ...............................................................................................................................................83
4.2.2.1.
Superposition modale ................................................................................................................... 83
4.2.2.2.
Méthode implicites de Newmark ................................................................................................. 89
4.2.3.
Exploitation des résultats ........................................................................................................................91
4.2.3.1.
Comparaison des résultats ........................................................................................................... 91
4.2.3.2.
Conclusion .................................................................................................................................... 91
5.
Conclusion .................................................................................................................................... 93
Référence bibliographiques................................................................................................................... 94
Annexe A
..................................................................................................................................... 96
Annexe B .................................................................................................................................... 104
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Tables des figures |6
Tables des figures
Figure ‎1-1: Système élémentaire: (a) structure a un degré de liberté [4]et (b) modèle masse-ressort-amortisseur
équivalent [5] ________________________________________________________________________________ 14
Figure ‎1-2: mouvement d’appuis provoqué par un tremblement de terre [3] ______________________________ 15
Figure ‎1-3: équilibre des forces [8] ________________________________________________________________ 15
Figure ‎1-4 : (a) oscillateur simple excité à sa base (b) système équivalente [3] _____________________________ 17
Figure ‎1-5: oscillateur simple [10] ________________________________________________________________ 18
Figure ‎1-6: Réponse dx(t) d’une structure soumise à un chargement p (t) [4] ______________________________ 19
Figure ‎1-7: procédure de calcul de l’intégrale de Duhamel par sommation numérique [4] ____________________ 23
Figure ‎1-8: la vitesse et le déplacement pour une accélération constante [4] ______________________________ 27
Figure ‎1-9: les accélérations adoptées dans la méthode de Newmark (accélération moyenne) et l’accélération locale
exacte : (a) par une approximation linéaire ; (b) par une approximation quadratique [12] ___________________ 28
Figure ‎1-10: la vitesse et le déplacement pour une accélération variante [4] ______________________________ 29
Figure ‎1-11: force élastiques, moment de renversement et cisaillement à la base causes par un tremblement de
terre. [2] _____________________________________________________________________________________ 32
Figure ‎1-12: spectre de déplacement pour différentes valeurs d’amortissements [15] ______________________ 33
Figure ‎1-13: spectre de vitesse pour différentes valeurs d’amortissements [15] ____________________________ 33
Figure ‎1-14: spectre d’accélération pour différentes valeurs d’amortissements [15] ________________________ 33
Figure ‎1-15: Spectre de réponse élastique normalisé [15] ______________________________________________ 34
Figure ‎1-16: Illustration du calcul du spectre de déplacement pour un accélérogramme donné [2] _____________ 35
Figure ‎1-17: réponse d’un oscillateur élémentaire a un mouvement sismique (a) système linéaire et (b) système non
linéaire [2] ___________________________________________________________________________________ 37
Figure ‎1-18: réponse de trois système élémentaires au tremblement de terre de El Centro : T=1,0 s, x=0,02, R=1,2 et
4 [2] ________________________________________________________________________________________ 38
Figure ‎1-19: réponse de deux systèmes élémentaires au tremblement de terre de El Centro: T=1,0 s, x=0,02, R=2 et
4 [2] ________________________________________________________________________________________ 39
Figure ‎1-20: réponse d’un système élémentaire au tremblement de terre de El Centro: T=1,0 s, x=0,02, R=2 et 4 [2]
____________________________________________________________________________________________ 40
Figure ‎1-21: Relation entre la ductilité et le facteur de réduction de la force sismique: (a) le critère d’égalité des
déplacements maximums et (b) le critère d’égalité des énergies potentielles maximums [12] _________________ 42
Figure ‎2-1 : Discrétisation d’une structure avec plusieurs degrés de liberté avec déplacement imposé à la base [3] 45
Figure ‎2-2: Déformée représentée par la somme des composantes modales [2] ____________________________ 47
Figure ‎2-3: Distribution des forces élastiques dans un système discret a plusieurs degrés de liberté [2] _________ 52
Figure ‎4-1: Système élémentaire. _________________________________________________________________ 66
Figure ‎4-2: Accélérogramme du séisme de Coyote Lake, Lourde, France le 08/06/79 ________________________ 68
Figure ‎4-3: Réponse en déplacement calculée par l’intégrale de Duhamel ________________________________ 69
Figure ‎4-4: Réponse en vitesse calculée par l’intégrale de Duhamel _____________________________________ 69
Figure ‎4-5: Réponse en accélération calculée par l’intégrale de Duhamel _________________________________ 69
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Tables des Figures |7
Figure ‎4-6: Spectre de déplacement pour l’accélérogramme de Lourde ___________________________________ 70
Figure ‎4-7: Spectre de la vitesse pour l’accélérogramme de Lourde ______________________________________ 70
Figure ‎4-8: Spectre de l’accélération pour l’accelerogramme de Lourde __________________________________ 71
Figure ‎4-9: La force élastique
, engendrée dans le système linéaire, tracée en fonction du déplacement _____ 71
Figure ‎4-10: Réponse en accélération calculée par PRISM _____________________________________________ 73
Figure ‎4-11: Réponse en vitesse calculée par PRISM __________________________________________________ 73
Figure ‎4-12: Réponse en déplacement calculée par PRISM _____________________________________________ 74
Figure ‎4-13: Allure du spectre de réponse an accélération: (a) fourni par PRISM (b) fourni par Excel ___________ 74
Figure ‎4-14: Les spectres de réponse élastique normalisés pour des accélérogrammes différentes _____________ 75
Figure ‎4-15: spectre de réponse élastique utilisé pour le calcul _________________________________________ 75
Figure ‎4-16:Valeurs par défaut pour
Figure ‎4-17: coefficient de comportement
____________________________________________________ 77
en fonction de période _____________________________________ 77
Figure ‎4-18: Le spectre de réponse inélastique ______________________________________________________ 78
Figure ‎4-19: Réponse en déplacement de la structure a l’accélérogramme de Coyote Lake, Lourdes ___________ 79
Figure ‎4-20: Réponse en vitesse de la structure a l’accélérogramme de Coyote Lake, Lourdes _________________ 79
Figure ‎4-21: Réponse en accélération de la structure a l’accélérogramme de Coyote Lake, Lourdes ____________ 80
Figure ‎4-22: spectre de réponse inélastique de l’accelerogramme de Coyote Lake, Lourdes (
en rouge,
en noir et
en bleu) _______________________________________________________________________ 80
Figure ‎4-23: courbe force-déplacement pour un système non-linéaire a un degré de liberté. __________________ 81
Figure ‎4-24: Plastification du système en fonction du temps. ___________________________________________ 81
Figure ‎4-25: Structure de base : (a) système a deux degrés de liberté et (b) modèle masse-ressort équivalent ___ 82
Figure ‎4-26: diagramme force élastique - déplacement _______________________________________________ 87
Figure ‎4-27: - la coefficient de comportement en fonction de période pour
__________ 88
Figure ‎4-28: diagramme de force élastique vs. déplacements. __________________________________________ 89
Figure ‎4-29: les déplacements en fonction des ratios des forces plastiques pour les voiles. ___________________ 90
Figure ‎4-30: les déplacements en fonction des ratios des forces plastiques pour le plancher. _________________ 90
Figure ‎4-31: diagramme de force élastique vs. Déplacement ___________________________________________ 91
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Notations |8
Liste des tableaux
Tableau ‎3-1: Valeurs des paramètres décrivant les spectres de réponse élastique recommandés de type 1 .............61
Tableau ‎3-2: Valeurs des paramètres décrivant les spectres de réponse élastique recommandés de type 2 .............61
Tableau ‎3-3: Valeurs recommandées des paramètres décrivant les spectres de réponse élastique vertical [23] .......62
Tableau ‎4-1 : Effet de l’échantillonnage sur la réponse du structure calculé par l’intégral de Duhamel. ...................72
Tableau ‎4-2: comparaison des réponses obtenues par l’intégrale de Duhamel et PRISM ...........................................74
Tableau ‎4-3: Limite supérieure de la valeur de référence du coefficient de comportement pour les systèmes réguliers
en élévation [23] ..........................................................................................................................................................76
Tableau ‎4-4: caractéristique de la structure de base...................................................................................................82
Tableau ‎4-5: les valeurs de
choisi pour chaque élément..................................................................................87
Tableau ‎4-6: les Déplacements et les forces élastique pour chaque élément. ............................................................88
Tableau ‎4-7: les déplacements et les forces obtenues par le calcul non linéaire. ........................................................90
Tableau ‎4-8: les résultats obtenus par la méthode modale et la méthode de Newmark. ...........................................91
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Notations |9
Notations
Masse de la structure
Rigidité de la structure
Constante d’amortissement visqueux
Déplacement totale
Déplacement relative
Déplacement du sol
Force d’inertie
Force d’amortissement
Force élastique
Pulsation propre
̇ ̇
vitesse
Coefficient (taux) d’amortissement
Chargement arbitraire
Instant de temps
Pas de temps
Coefficient de la méthode de Newmark
Coefficient de la méthode de Newmark
̂
Rigidité effective
̂
Incrément de force effective
̇
̇
Incrément de vitesse
Incrément de déplacement
Cisaillement a la base
Moment à la base
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N o t a t i o n s | 10
Paramètre de réponse quelconque
Spectre de déplacement
Spectre de vitesse
Spectre d’accélération
Historique du déplacement relatif
Coefficient de comportement
Période de la structure
Force élastique maximum du système linéaire
Force engendrant la plastification
Déplacement correspondant a
Déformations limite d’élasticité
Déplacement maximum absolue du système non linéaire
Coefficient de ductilité
̅
̅
Vecteur de déplacement total
̅
̅
Vecteur de déplacement relatif
̅
Vecteur unitaire d’ordre n
̅
Vecteur des forces d’inertie
̅
Vecteur des forces d’amortissement
̅
Vecteur des forces élastique
̿
Matrice de masse
̿
Matrice de rigidité
̿
Matrice d’amortissement
Mode propre
Amplitude modale
̿
Matrice des modes propres
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N o t a t i o n s | 11
Matrice diagonale contenant les termes
̃
Masse modale
̃
Chargement modale
Énergie de déformation maximum
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I n t r o d u c t i o n g é n é r a l e | 12
Introduction générale
L’objet de ce projet est l’étude des réponses des structures sollicité par des tremblements de
terre. Ces tremblements de terre sont des charges dynamiques qui engendrent des déplacements, des
forces internes, des réactions et des contraintes qui varient en fonction du temps. Dans ces types des
problèmes, il faut établir la réponse dynamique afin de calculer les valeurs maximums des forces, des
réactions ou des contraintes qui sont essentielle dans le dimensionnement ou la vérification d’une
structure. Nous nous intéresse dans les méthodes numériques utilisées pour calculer ces réponses
dynamiques.
Normalement, il y a deux types des méthodes pour calculer les efforts dans une structure. La
première est de calculer les efforts sur le modèle linéaire correspondant à l'état non-dégradé (phase
élastique) en les divisant par un coefficient de comportement [1]. Le deuxième type est les méthodes
directes d’intégration temporelle. Dans ces méthodes, le non linéarité des systèmes est pris en compte
par la variation de leurs caractéristiques, notamment la rigidité, en fonction du temps et les valeurs des
forces engendrées. L’objet de cette étude est de faire une comparaison entre les résultats obtenus par
chaque méthode. Les deux méthodes choisis pour faire le calcul sont l’intégrale de Duhamel et la
méthode de Newmark.
Ce rapport est divisé en 4 parties. Les premiers 3 chapitres font partie d’une étude
bibliographique. Le chapitre 1 et le chapitre 2 concernent les systèmes à un degré de liberté et les
systèmes à plusieurs degrés de libertés respectivement. Ces chapitres débutent en montrant comment
arriver à l’équation de mouvement. Ils se terminent par les descriptions des méthodes utilisées pour
calculer les réponses des structures. Le chapitre 3 est consacré pour découvrir quelques aspects
sismiques de la norme de construction de l’Eurocode 8. Le chapitre 4 est le plus important de cette
étude. Dans ce chapitre, on fait des applications numériques sur les méthodes de calcul choisis pour un
système à un degré de liberté et a plusieurs degrés de liberté. Une conclusion, qui contient une analyse
des résultats obtenues du chapitre 4, termine ce rapport.
Bachar KABALAN
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P a r t i e I : S y s t è m e à u n d e g r é d e l i b e r t é | 13
PARTIE 1
Système a un degré de liberté
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CUST
1 . 1 I n t r o d u c t i o n | 14
1. Partie I : Système à un Degré de Liberté
1.1.Introduction
[2], [3], [4], [5]
L’analyse de la réponse sismique est importante pour les nouvelles constructions et celles qui
existent. Il mène à déterminer la réponse d’une structure sollicitée par un séisme donnée et déterminer
les efforts de dimensionnement dans cette structure. On peut se définir la réponse de certains de ces
structures par le mouvement d’une seule coordonnée : c’est qu’on appelle un système à un degré de
liberté ou système élémentaire (Figure ‎1-1) [3].
m
(a)
(b)
Figure 1-1: Système élémentaire: (a) structure a un degré de liberté [4]et
(b) modèle masse-ressort-amortisseur équivalent [5]
Ces systèmes sont souvent, les résultats des hypothèses simplificatrices qui manipulent la
répartition des propriétés essentielles (masse-rigidité-amortissement) d’un système structural. L’analyse
dynamique d’un système à un degré de liberté donne des résultats très proches des résultats exacts
justifiant leur étude. En plus, on étudie ce type de système parce que les réponses linéaires de systèmes
avec plusieurs degrés de liberté peuvent se calculer par la superposition des réponses de systèmes à un
degré de liberté associés [2].
Pour faire cette analyse, on réduit la structure à un système combinant des éléments de masse
et de rigidité. Apres on applique l’équation de mouvement de Newton et on obtient un system
d’équation correspondant au nombre des degrés de liberté de la structure. Le choix de ce nombre
(modélisation de la structure) affecte la validité et précision de l’analyse de la structure. Généralement,
un modèle très simple, comme le modèle en brochette, est suffisant pour déterminer le comportement
dynamique d’un bâtiment avec une précision acceptable [2].
1.2.Equation de Mouvement
[2], [3], [6], [7], [8]
Dans le cas d’un séisme, aucune force externe est appliquée sur la structure. Le mouvement des
appuis, provoqué par un tremblement de terre, est responsable de l’engendrement des contraintes et
déplacements dynamiques (voir Figure ‎1-2). En supposant que le mouvement est horizontale qui est le
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P a r t i e I : S y s t è m e à u n d e g r é d e l i b e r t é | 15
déplacement du sol
. Ce mouvement induit un déplacement de la masse concentrée à la hauteur
du système. Ca nous donne l’expression de déplacement totale suivante [2] :
1.1.
𝑥𝑡 𝑡
Figure 1-2: mouvement d’appuis provoqué par un tremblement de terre [3]
Ce déplacement engendre une force d’inertie, une force d’amortissement et une force élastique
montre dans la Figure ‎1-3 . Ces forces sont données par les expressions suivantes [2]:
̈
̇
)
1.2.
1.3.
1.4.
Figure 1-3: équilibre des forces [8]
L’équilibre des forces agissant sur le système libre nous permet d’écrire :
+
( ̈
Bachar KABALAN
̈
)
̇
Février-Juin 2012
1.5.
1.6.
CUST
1 . 2 E q u a t i o n s d e m o u v e m e n t | 16
On retient la formulation à partir du mouvement relatif pour deux raisons principales :
1. l'analyse sismique des structures utilise les contraintes induites par les effets inertiels du séisme,
contraintes calculées à partir des déformations de la structure qui s'expriment à partir des
déplacements relatifs ;
2. la caractérisation du signal d'excitation peut se réduire dans ce cas à l'accélérogramme du
séisme ̈
, grandeur fournie directement par les sismographes. Les signaux de déplacement
et de vitesse ̇ ne sont en général pas disponibles dans les bases de données géotechniques.
Donc l’équation du mouvement d’un système à un degré de liberté sous charge sismique est
donnée par l’équation au-dessous :
̈
̇
̈
1.7.
Avec
̈ ̇
Respectivement accélération et vitesse (relatifs) et déplacement,
c : constante d’amortissement visqueux,
̈
: Accélération du sol (séisme).
En divisant par m et dans le cas du comportement linéaire (fs(x)=k x), on obtient :
̈
z ̇
avec
√ : pulsation (rd),
z=
: coefficient d’amortissement.
̈
1.8.
Pour mieux comprendre la signification du coefficient d’amortissement on explique l’amortissement
critique et l’amortissement relatif [7]:
1. Amortissement critique ( ) : amortissement strictement suffisant à un oscillateur déporté de
sa position d'équilibre pour qu'il revienne au repos sans effectuer d'oscillations (100% de
l’énergie est dissipée sur un cycle).
2. Amortissement relatif : (z=
) amortissement anélastique exprimé en % de
l'amortissement critique. Il caractérise le système.
L’équation (1.7) s’agit d’un problème d’un oscillateur excite à sa base. Comme montre
Figure ‎1-4, on peut transformer ce problème à un oscillateur fixe soumis à la force d’inertie de sa masse
par rapport à l’accélération du sol. Les deux problèmes sont équivalents et donne le même résultat.
Pour un système à un seul dégrée de liberté (oscillateur simple) les termes des équations ci-dessus sont
scalaire. Pour un système à plusieurs degrés de liberté, les termes sont des matrices et des vecteurs [2].
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𝑥𝑡 𝑡
(a)
(b)
Figure 1-4 : (a) oscillateur simple excité à sa base (b) système équivalente [3]
1.2.1. Exploration des termes de l’équation de mouvement
[3]
1.2.1.1.
Masse(m) :
Lors des sollicitations sismiques (excitation de la base de la structure), la structure oscille à cause
des forces d’inertie engendrée par l’inertie de la masse. Fréquemment, la majorité de la masse est
concentre dans des éléments particulier, ce qui nous permet à considérées cette masse d’une manière
ponctuelle [3].
1.2.1.2.
Amortissement (c):
L’amortissement est les phénomènes qui atténuent l’amplitude des oscillations au cours du
mouvement. Il est généralement représente par un amortissement de type visqueux. L’intensité de la
force correspondante est alors proportionnelle à la vitesse relative ( ̇ (t)). L’amortissement dépend de
es matériaux dont les éléments de la structure sont constituée et de l’amplitude des oscillations. Pour le
cas sismique, on prend un amortissement visqueux forfaitaire unique de z=5% [3].
1.2.1.3.
Force de réaction :
La force de réaction est la force engendrée par les éléments stabilisateurs d’une structure en
fonction des déplacements relatifs de celle-ci. Dans le cas de dynamique linéaire, cette force est
directement proportionnelle aux déplacements relatifs [3].
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1 . 3 O s c i l l a t e u r s s i m p l e | 18
1.2.1.4.
Accélération du sol
On définit la sollicitation sismique par l’accélération du sol au cours du temps, sous la forme d’un
accelerogramme. Au lieu d’utiliser les nombreux résultats, les normes de construction spécifient en
général la sollicitation sismique sous forme de spectres de dimensionnement [3].
1.3.Oscillateurs simple linéaires
[2], [3], [10]
Les oscillateurs, qui sont montré dans la Figure ‎1-5 ci-dessous, sont beaucoup utilises car ils
simulent bien le comportement sismique des structures. Cette modélisation n’est pas correcte que dans
le cas de structures particulières comme les pont-poutres, tablier rigide concentre l’essentiel de la
masse, les piles assurant la stabilisation horizontale [2]. On utilise cette modélisation au cas de
bâtiments réguliers qui oscillent principalement selon leur mode fondamental. Le comportement
linéaire de cette modélisation limite son utilisation pour de faibles sollicitations. Son intérêt est dans la
résolution facilitée de l’équation du mouvement [3].
Figure 1-5: oscillateur simple [10]
Méthodes de résolutions
[3], [10]
La sollicitation sismique sous forme d’accelerogramme n’est pas disponible sous forme
analytique. La réponse sismique de la structure est déterminée numériquement. Pour les systèmes
linéaires, la solution générale est donne par l’intégrale de convolution ou intégrale de Duhamel selon
l’équation (1.9) [10] :
∫ ̈
1.9.
On constate que la valeur du déplacement ne dépend que de la pulsation , du coefficient
d’amortissement et de l’accélération ̈ du sol.
ou
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1 . 3 O s c i l l a t e u r s s i m p l e | 19
√
est
la
pseudo-pulsation
ou
pulsation
amortie.
On ne peut pas résoudre directement l’intégrale de Duhamel. Pour une valeur approchée, on utilise une
des méthodes suivantes :
1.
2.
3.
4.
Résolution dans le domaine temporelle,
Interpolation de l’excitation,
Différence centrée,
Méthode de Newmark.
Pour le cas non-linéaires, on peut utiliser les deux dernières méthodes seulement. Les trois
dernières méthodes fait une intégration numérique pas à pas de l’équation du mouvement (1.7)
discrétisée aux instants ti et ti+1 :
̈
̈
̇
̈
̇
1.10.
̈
1.11.
La différence entre les trois méthodes est dans l’approximation utilisée pour le passage de l’équation
(1.10) à l’équation (1.11) [3].
1.4.Réponse des Structures
1.4.1. Réponse à une charge arbitraire
[4]
1.4.1.1.
Formulation de l’intégrale de réponse
Figure 1-6: Réponse dx(t) d’une structure soumise à un chargement p (t) [4]
Le système non amortie la procédure d’approximation de la réponse d'un système non amortie d’un
degré de liberté soumis à des charges impulsives de courte durée peut être utilisé comme base pour
l'élaboration d'une formule pour évaluer la réponse à un chargement dynamique générale. On prend
un chargement arbitraire général p(t) comme illustre dans Figure ‎1-6. Au temps t= τ, le
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1 . 4 R é p o n s e d e s s t r u c t u r e s | 20
chargement agissant durant l'intervalle de temps dτ représente une impulsion de très courte durée p
(τ) dτ sur la structure, de sorte qu’on peut évaluer la réponse qui en résulte par l’équation suivante :
̅
̇
(∫
)
̅
̅
1.12.
Il faut noter que cette équation est approximative pour des impulsions de durée finie mais
il devient exact pour la durée de chargement nul. Ainsi, pour l'intervalle de temps différentielle dτ, la
réponse produite par l'impulsion p (τ) dτ est exactement égale à:
1.13.
Dans cette expression, le terme dx(t) représente la réponse en fonction du temps à
l'impulsion différentielle pendant toute la période t ≥ τ, ce n'est pas le changement de x au cours
d'un intervalle de temps dt. L'histoire de chargement complet peut être considérée comme étant
composée d'une succession de telles impulsions courtes, chacune produisant ses propres réactions
différentielles de la forme de l'équation (1.13). Pour un système linéairement élastique, la réponse
totale peut alors être obtenue en additionnant toutes les réponses différentielles développées au
cours de l'histoire de chargement, qui est, en intégrant équation (1.13) comme suit:
∫
1.14.
Cette relation généralement connu comme l’intégrale de Duhamel , peut être utilisé
pour évaluer la réponse d'un système non amortie à un degré de liberté à toute forme de
chargement dynamique de p (t); cependant, pour des charges arbitraires l'évaluation doit être
réalisée numériquement en utilisant la
procédure décrite par la suite.
L'équation (1.14) peut également être exprimée sous la forme de l’intégrale générale de convolution :
∫
1.15.
Ou la fonction :
1.16.
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P a r t i e I : S y s t è m e à u n d e g r é d e l i b e r t é | 21
est connue comme la fonction de réponse d’impulsion unitaire parce qu'il exprime la réponse du
système à un degré de liberté soumis à une impulsion pure de grandeur unitaire appliqué au temps t
= τ. La réponse trouvée utilisant l’intégrale de Duhamel ou convolution est un des moyens d’obtenir
une réponse dans domaine du temps. Il est important de noter que cette approche peut être
appliquée uniquement aux systèmes linéaires, car la réponse est obtenue par superposition de réponses
impulsionnelles
individuelles.
Dans l'équation (1.13 et 1.14) il a été tacitement admis que le chargement a été lancé au temps t = 0
et que la structure était au repos à cette époque. Pour toutes autres conditions initiales précise, x (0) ≠ 0
et x (0) ≠ 0, une réponse de vibration libre supplémentaire doit être ajoutée à cette solution, ainsi, en
général, [4]
t
x (0)
1
x(t ) 
sin t  x(0) cos t 
p( ) sin  (t   ) d

m 0
1.17.
Système amortie : la dérivation de l’intégrale de Duhamel, qui exprime la réponse d'un système à un
amortissement visqueux à un chargement dynamique générale, est entièrement équivalente que pour le
cas non amorti, sauf que la réponse libre-vibration initiée par la charge différentielle impulsion p (τ) dτ
expériences de décroissance exponentielle. Donc la réponse différentielle amortie est :
[
]
1.18.
La décroissance exponentielle commence dès que la charge p (τ) est appliquée. Résumant ces
termes de réponse différentielle sur l'intervalle de chargement 0 <τ <t en résultats
1.19.
∫
Qui est la réponse amortie équivalent a (6-2). En exprimant (6-7) en termes de l’intégrale de
convolution (6-4), la fonction de réponse soumis à une impulse unitaire amortie
1.20.
doit être utilisé. Si les conditions initiales x (0) et x (0) ne sont pas égales à zéro, alors la réponse de
vibration libre correspondante donnée par2-49 doit être ajouté à 6-7. [4]
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1.4.1.2.
Évaluation numérique de l’intégrale de réponse
Système non amortie : Si la fonction de chargement p(τ) appliquée est de forme analytique
simple (intégrable), l’intégrale de l'équation (1.14) ou (1.19) peut être évaluée directement. Par contre,
dans des nombreux cas pratiques, le chargement est connu seulement à partir des données
expérimentales, et la réponse doit être évaluée par des méthodes numériques. Pour ces analyses, il est
utile de
rappeler
l'identité
trigonométrique
[4]
1.21.
et d'écrire l'équation (1.14) sous la forme (conditions initiales nulles sont supposée)
1 t
1 t
x(t) sin t
 p( ) cos  d  cos t
 p( )sin  d
m 0
m 0
1.22.
Ou
x(t )  A(t ) sin t  B(t ) cos t
1.23.
t
A(t)  m1  p( )cos d
0
t
B(t)  m1  p( )sin d
0
1.24.
1.25.
On considère les procédures numériques qui peuvent évaluer
première intégration numérique de
et ̅
. Considérons la
nécessaire pour trouver
. Pour la
facilite du calcul numérique, la fonction
est évalué à incréments de temps égaux
comme indiqué
dans la Figure ‎1-7, où les ordonnées successives sont identifiés par des indices appropriés. [4]
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Figure 1-7: procédure de calcul de l’intégrale de Duhamel par sommation numérique [4]
On
peut
maintenant
obtenir
1
τ 1
A(t ) 
y ( τ ) dτ 

mω 0
mω ζ
t
où y(τ) = p(τ) cos ωτ et
∑
̅
l’intégrale
:
A
 (t )
1.26.
ζ
représentent le processus de sommation numérique, dont la forme
spécifique
dépend
de
l'ordre de
l'approximation
de
l'intégration utilisé. Pour
trois procédures d'approximation élémentaire, les sommations sont effectuées comme suit:
des
Simple summation (ζ = 1):
_
A N 
 A

y0  y1  y2    y N 1 
(t ) 

m 1
m
N=1, 2, 3….
1.27.
Trapezoidal rule (ζ=2):
_
A N 
 A

y0  2 y1  2 y2    2 y N 1  y N 
(t ) 

m 2
2m
N=1,2,3…..
1.28.
N=2,4,6…….
1.29.
Simpson’s rule (ζ=3):
_
A N 
 A

y0  4 y1  2 y2    4 y N 1  y N 
(t ) 

m 3
3m
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Evaluation de B (t) dans (1.23) peut être effectuée de la même manière, menant à des
expressions de N ayant exactement les mêmes formes montré par équation (1.27, 1.28 et 1.29), mais, ce
faisant, la définition de y (τ) doit être modifiée pour y (τ) ≡ p (τ) sinωτ compatible avec les équations
(1.24 et 1.25).
̅
Ayant calculé les valeurs de
correspondantes de la réponse
̅
et ̅
pour des valeurs successives de N, les valeurs
sont obtenus en utilisant
̅
1.30.
Système amortie : Pour l'évaluation numérique de la réponse d'un système amorti, équation (1.19) peut
être écrit sous une forme similaire à équation (1.23) :
1.31.
Où :
∫
1.32.
∫
1.33.
Ces expressions peuvent être évaluées par une procédure de sommation incrémental
équivalente à celle utilisée précédemment pour le système non amorti, mais il faut tenir en compte la
décroissance exponentielle causée par l'amortissement. Pour illustrer cela, équations (1.32 et 1.33) peut
être écrit dans les formes approximatives récursives:
Simple summation (ζ = 1):
A N  A N 1 exp(   ) 

y N 1 exp(   )
m D
N=1,2,3….
1.34.

y N 1 exp(  )  y N 
2m D
N=1,2,3…..
1.35.
Trapezoidal rule (ζ=2):
A N  A N 1 exp(   ) 
Simpson’s rule (ζ=3):
A N  A N 2 exp( 2  ) 

y N 2 exp(2  )  4 y N 1 exp(  )  y N 
3m D
1.36.
N=2,4,6..
qui sont équivalentes aux formes de la réponse non amortie de (6-13), mais avec les termes de
décroissance exponentielle ajouté pour tenir en compte de l'amortissement. Il faut reconnaître que
dans ce cas amorties
,
diffèrent du cas non amorties ou
,
.Cependant,
pour de
petites
valeurs
d’amortissement
̇
, ces derniers termes peuvent être utilisés pour le cas amortie. Les
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expressions de BN sont identiques dans la forme à ceux donnés pour AN dans les équations (1.34, 1.35
et 1.36), mais on doit utiliser
…
Ayant calculé les valeurs AN et BN pour les valeurs successives de N, les ordonnées correspondant de la
réponse sont obtenus en utilisant
1.37.
La précision à attendre de l'une des procédures numériques ci-dessus dépend de la durée de
l'intervalle minuterie Δτ. En général, cette durée doit être choisie suffisamment courte pour que la
charge et les fonctions trigonométriques utilisées dans l'analyse d'être bien défini. De plus, pour assurer
la précision d’ingénierie normale, il devrait également satisfaire à la condition Δτ ≤ T/10. Clairement,
l'exactitude et
l'effort de calcul
accroissent avec la complexité de la procédure
d'intégration numérique. Habituellement, la précision accrue obtenue en utilisant la règle de
Simpson, plutôt que la sommation simple ou de trapèzes justifie son utilisation, même si elle est plus
complexe [4].
1.4.2. Intégration temporelle
[2], [3], [4], [11], [12]
1.4.2.1.
CONCEPTS GÉNÉRAUX
Il est important de noter que les procédures d'analyse de réponse décrites précédemment,
formulée dans le domaine temporel, impliquent l'évaluation de la réponse de nombreuses
contributions indépendantes qui sont combinés pour obtenir la réponse totale. Dans la procédure dans
le domaine temporel (intégrale de Duhamel), le chargement p(t) est considéré comme une succession
d'impulsions de courte durée, et la réponse de vibration libre à chaque impulsion devient
une contribution distincte à la réponse totale à tout moment ultérieur [11]. Parce que la
superposition est appliquée pour obtenir le résultat final dans la procédure, la méthode est
adaptée dans l'analyse de la réponse non linéaire ; donc un jugement doit être utilisé pour les
appliquer en génie parasismique, où il est prévu qu'un grave tremblement de terre va induire la
déformation inélastique dans une structure conçu selon un code. [4]
La procédure de pas à pas est une deuxième approche générale à l'analyse de la réponse
dynamique et elle est bien adaptée à l'analyse de la réponse non linéaire car il évite toute utilisation de
superposition. Il y a beaucoup des différentes méthodes de pas à pas, mais dans chacun d'eux le
chargement et l'histoire de réponse sont divisés en une séquence d'intervalles de temps ou «étapes». La
réponse lors de chaque étape est alors calculée à partir des conditions initiales (le déplacement et
la vitesse) existant au début de l'étape et de l'histoire de chargement pendant l'étape. Ainsi, la
réponse pour chaque étape est un problème d'analyse indépendant, et il n'est pas nécessaire de
combiner les contributions de réponse dans cette étape. Le Comportement non linéaire peut être
considéré par cette approche simplement en supposant que les propriétés structurelles demeurent
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1 . 4 R é p o n s e d e s s t r u c t u r e s | 26
constantes au cours de chaque étape. Ils changent en fonction de la forme de comportement d’une
étape en autre [12]. Donc l'analyse non linéaire est une séquence des analyses linéaires d'un système
qui change d’une étape en autre. La performance de ces méthodes dépend de la distorsion au niveau de
la fréquence et de l’amortissement introduite dans la solution. Cette distorsion dépend de la pas de
temps choisit. Donc, tout degré souhaité de précision dans le comportement non-linéaire peut être
réalisé dans cette procédure en faisant des discrétisation plus fins ou plus petite. En plus, il peut être
appliqué à tout type de non-linéarité, y compris les changements de masse et des propriétés
d'amortissement ainsi que les non-linéarités plus fréquent en raison de changements de rigidité. Les
seules méthodes qui fournissent une approche générale complète de l'analyse non linéaire de la
réponse sont les méthodes de pas à pas. Cependant ces méthodes sont tout aussi précieuses dans
l'analyse linéaire de la réponse, car les mêmes algorithmes peuvent être appliqués si la structure se
comporte linéairement ou non. Par ailleurs, les procédures utilisées pour résoudre des systèmes à un
seul degré de liberté peuvent être facilement utilisées pour des systèmes à plusieurs degrés de liberté
en remplaçant les quantités scalaires par des matrices.
En fait, ces méthodes sont si efficaces que l’analyse dans le domaine temporel sont presque
toujours fait par une certaine forme d’analyse de pas à pas indépendamment de si le comportement de
réponse est linéaire ou non. La méthode de l’intégrale de Duhamel est rarement utilisée en pratique.
1.4.2.2.
Méthodes d'intégration
L'autre approche numérique générale à l'analyse de pas à pas de réponse dynamique
permet l'utilisation de l'intégration pour avancer de l’état initiale à l’état finale chaque pas de temps. Le
concept
essentiel est
représenté
par les
équations
suivantes:
̇
̇
∫ ̈
1.38.
∫ ̇
1.39.
qui expriment la vitesse et le déplacement final en termes des valeurs initiales de ces quantités plus
une expression intégrale. Le changement de vitesse dépend de l'intégrale de l'histoire d'accélération, et
le changement de déplacement dépend de l'intégrale de vitesse correspondante. Afin de réaliser ce
type d'analyse, il est nécessaire d'abord d'assumer la manière dont l'accélération varie au cours
de l'étape de temps; en supposant l'accélération on contrôle la variation de la vitesse et permet
ainsi d'avancer à l'étape suivante [4].
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1.4.2.2.1.
La procédure d’Euler-Gauss
La méthode d'intégration la plus simple, connue comme la méthode d'Euler-Gauss, est basé
sur l'hypothèse que l'accélération a une valeur constante fixe pendant un intervalle de temps. La
conséquence de cette hypothèse est que la vitesse doit varier linéairement et le déplacement comme
Figure 1-8: la vitesse et le déplacement pour une accélération constante [4]
une courbe quadratique pendant l’intervalle de temps. La Figure ‎1-8 illustre ce type de
comportement pour une formulation où l'on suppose que l'accélération constante est la moyenne de la
valeur initiale et la valeur finale d’accélération atteinte lors de l'étape. Également montré sur cette
figure sont des expressions de l'accélération, la vitesse et le déplacement, à chaque instant t= τ pendant
l'étape, obtenue par intégration successive. La vitesse finale et le déplacement ont obtenu en
mettant τ = h dans ces expressions. Pour lancer cette analyse pour chaque étape, il faut d'abord évaluer
l’accélération initiale ̈ , en résolvant l'expression d'équilibre dynamique au temps t = t0. En outre,
l'accélération finale ̈ est nécessaire pour appliquer cette formulation implicite, et cette valeur peut
être obtenue par itération. A partir d'une approximation arbitraire de ̈ , les valeurs de ̇ et x1 ont
obtenus à partir d’équations (a) et (b) énumérées dans la Figure ‎1-8. Puis une valeur améliorée des ̈
est calculée à partir de la condition d'équilibre dynamique au temps t1 et cela conduit à des valeurs
améliorées de la vitesse ̇ et x1 déplacement. Eventuellement, l'itération converge vers une valeur fixe
de l'accélération finale de cet intervalle de temps et la procédure est appliquée à l’intervalle de temps
suivants. Un grand avantage de cette méthode d'accélération moyenne constante, c'est qu'il
est inconditionnellement stable. Les erreurs ne sont pas amplifiées d'une étape à l'autre quel que soit
l’intervalle de temps choisi. Par conséquent, le pas de temps peuvent être sélectionnés en considérant
seulement la nécessité de bien définir l'excitation dynamique et les caractéristiques de
réponse vibratoire de la structure.
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1.4.2.2.2.
Méthode de Newmark
[2], [3] , [4] , [13]
Une formulation de pas à pas plus générale était proposée par Newmark. Cette formulation inclue la
méthode précédente comme un cas particulier, mais peut aussi être appliqué dans plusieurs autres
versions en changeant le type de variation d’accélération (Figure 1-9) [12]. Dans la formulation de
Newmark, les équations de l'intégration de base [équations 1.38 et 1.39] de la vitesse et le
déplacement finale sont exprimés comme suit:
̇
̇
̈
̇
(
)
̈
̈
(a)
1.40.
̈
1.41.
(b)
Figure 1-10: les accélérations adoptées dans la méthode de Newmark (accélération moyenne) et l’accélération locale exacte :
(a) par une approximation linéaire ; (b) par une approximation quadratique [12]
L’accélération initiale et l’accélération finale ont une affluence sur le changement de vitesse. Il
est évident dans l'équation (1.37) que le facteur γ assure une variation linéaire entre la contribution de
l’accélération initiale et finale. Le facteur de pondération β est identique du facteur γ sauf qu’il est lié au
déplacement au lieu de la vitesse. Apres l’inspection de cette méthode, il a été noté que le
facteur γ contrôle la quantité d'amortissement artificiel provoqué par cette procédure. Il n'y a
pas d'amortissement artificielle si γ = 1 / 2, il est donc recommandé que cette valeur soit utiliser pour les
analyses des systèmes standard d’un degré de liberté. En adoptant ce facteur γ = ½ et β = 1 / 4 dans les
équations (1.37) et (1.38), il peut être vu que cette formulation Newmark est identique des expressions
de la vitesse finale et le déplacement montré dans la Figure ‎1-8.Donc pour la β= 1 /4, la méthode de
Newmark et la méthode d'accélération moyenne constante sont équivalent. D'autre part, si β est
pris à 1 / 6 (avec γ = 1 / 2), les expressions de la vitesse finale et le déplacement deviennent:
̇
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̇
̈
̈
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1.42.
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1 . 4 R é p o n s e d e s s t r u c t u r e s | 29
̇
̈
̈
1.43.
Ces résultats peuvent également être dérivés en supposant que l'accélération varie linéairement entre
t0 et t1 comme indiqué dans la Figure ‎1-11.
Figure 1-11: la vitesse et le déplacement pour une accélération variante [4]
Donc pour β = 1/6 la méthode de Newmark est également appelé la méthode d'accélération
linéaire. Comme la procédure de l'accélération moyenne constante, cette méthode est largement
utilisée en pratique, mais contrairement à Newmark (β = 1 / 4), la méthode d'accélération linéaire
n’est que conditionnellement stable. Elle est instable sauf si (h / T) ≤ (√ 3 / π) = 0,55. Cependant, comme
dans le cas de la méthode de différence seconde centrale, cette restriction a peu d'importance dans
l'analyse des systèmes d’un degré de liberté parce qu'une étape courte de temps doit être utilisée pour
obtenir une représentation satisfaisante de la donne et de réponse dynamique.
Forme Incrémentale de la méthode de Newmark
[2], [11]
La méthode de Newmark qu’on a traité est une méthode itérative. L’objet de cette partie est de
faire une modification sur cette méthode pour les mettre sous forme incrémentale mieux adaptée au
calcul de la réponse des systèmes non linéaires. L'avantage numérique des schémas d'intégration
implicite directs réside dans le fait que le pas de temps peut être substantiellement grand par rapport à
la plus petite période propre du système sans risquer de causer une instabilité des résultats.
L’algorithme d’intégration de Newmark sans itération pour des systèmes non linéaires est présenté cidessous [11]:
Initialisation des variables [2]
1. Conditions initiales : données
2. Choix
de
Bachar KABALAN
̇
; calcul de ̈
la
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̇
méthode
d’intégration
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i. Accélération moyenne :
ii. Accélération linéaire :
3. Choix du pas d’intégration
pour
Calculs préliminaires
1. Calcul des constantes d’intégration
(
)
Intégration pas à pas : pour n=0, 1,2,…, td/
1. Incrémentation du temps :
2. Calcul de la rigidité effective tangente, ̂ a tn : ̂
3. Calcul de l’incrément de force effective, ̂ applique à tn :
̂
̇
4. Calcul de l’incrément de déplacement
̈
̇
̈
̂ ̂
:
5. Calcul de l’incrément de vitesse ̇ : ̇
6. Calcul du déplacement et de la vitesse au temps tn+1 :
̇
̇
̈
̇
̇
7. Calcul de l’accélération au temps tn+1 en imposant l’équilibre au temps tn+1 :
̈
̇
1.5.Réponse à un Tremblement de terre
[2], [14]
En génie civile, la dynamique des structures est généralement utilisée pour déterminer la
réponse des structures aux tremblements de terre. Ces tremblements engendrent des déplacements
imposés aux appuis des bâtiments et des structures de génie civil conduisant à des forces d’inertie
importantes [2]. Dans cette partie du projet, on étudierait la réponse des systèmes élémentaires aux
tremblements de terre. Différentes approches existent :


L’approche dynamique directe, basée sur les lois temporelles dg(t) et ag(t).
l’approche statique (équivalente), basée sur les spectres de réponses ; moins coûteuse,
elle est adoptée par les codes et règlements de calcul parasismique dans le cas de
structures courantes [14]
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CUST
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Les parties qui suivent sont consacré pour comprendre la méthode basée sur les spectres de réponses.
1.5.1. Action sismique
[14]
L’action sismique sur une structure peut être déterminée par un déplacement du sol variable
dans le temps
ou à l’aide de l’accélération du sol
en translation et en rotation. Les
composantes de rotation ont généralement des effets négligeables. La composante de translation
verticale est plus faible que les composantes horizontales. Le principal effet du tremblement de terre est
donc un mouvement horizontal du sol.
1.5.2. Réponses linéaire dans le temps
[2], [14]
La réponse à un tremblement de terre d’un système à un degré de liberté peut être obtenue à
partir des plusieurs méthodes mais on s’intéresse à l’intégrale de Duhamel. Le tremblement de terre
engendre une force effective égale à la force d’inertie qui est donnée par le produit de la masse, m, et
l’accélération du sol ̈
. D’après l’intégrale de Duhamel, on obtient [2]:
∫ ̈
1.44.
Par dérivation de x(t) on obtient la vitesse :
̇
∫ ̈
(
)
1.45.
∫ ̈
L’équation de mouvement nous donne l’expression de l’accélération :
̈
̇
1.46.
En substituant les équations du déplacement et la vitesse, on s’obtient :
̈
√
∫ ̈
(
)
1.47.
∫ ̈
1.5.3. Moment +cisaillement
[2]
A partir de la réponse dans le temps, on peut calculer le cisaillement et le moment à la base de
la structure en fonction de la force élastique. La force élastique est la force qui cause le déplacement
x(t). Elle est donne par
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1 . 5 R é p o n s e à u n t r e m b l e m e n t d e t e r r e | 32
1.48.
Une analyse statique de la structure soumise à une force latérale équivalente fs (t) nous donne le
cisaillement V0 et le moment Mo à la base de cette structure comme montre Figure ‎1-1.
1.49.
ou est la hauteur de la masse
1.50.
𝑙
V0(t)
M0(t)
Figure 1-12: force élastiques, moment de renversement et cisaillement à la base
causes par un tremblement de terre. [2]
1.5.4. Spectre de Réponse élastique
[2], [15], [9], [16], [17], [15]
Lors d’un dimensionnement sismique d’une structure, les ingénieurs ne s’intéressent qu’à la
valeur maximum de la réponse de cette structure. Le spectre de réponse, enveloppe de la pseudoaccélération, n’est représentatif d’aucun mouvement sismique réel mais donnera la réponse la plus
défavorable du système. Il permet par une simple lecture d’évaluer le déplacement maximum, donc les
efforts maxima [10]. Pour ce raison le Spectre de Réponse est utilisé pour caractériser l’effet des
tremblements de terre sur les structures. Par contre, le spectre ne fournit pas la valeur du temps à
laquelle se produit le déplacement maximum ; pour certaines applications, on doit donc recourir à
l’emploi direct de l’accélérogramme. Pour un paramètre de réponse quelconque , on a [2] :
|
|
1.51.
Ou l’indice max se réfère à la valeur maximum de la réponse dans le temps. Pour un système
élémentaire, la courbe de la valeur maximum d’un paramètre de réponse quelconque (déplacement,
vitesse ou accélération) en fonction de la période naturelle où fréquence est appelée un spectre de
réponse. Les spectres de réponse sont définis par les expressions suivantes :
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|
1-Spectre de déplacement relatif :
|
1.52.
Figure 1-13: spectre de déplacement pour différentes valeurs d’amortissements [18]
2-Spectre de vitesse relative
| ̇
|
1.53.
Figure 1-14: spectre de vitesse pour différentes valeurs d’amortissements [18]
3-Spectre d’accélération absolue
| ̈
|
1.54.
Figure 1-15: spectre d’accélération pour différentes valeurs d’amortissements [18]
On observe sur la Figure ‎1-15 que le spectre de réponse d’un accelerogramme réel présente des
fluctuations irrégulières, d’autant plus que l’on considère de faibles valeurs d’amortissement. Il en
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1 . 5 R é p o n s e à u n t r e m b l e m e n t d e t e r r e | 34
résulte qu’un tel spectre ne doit pas être utilise directement pour des calculs de vérification de la
sécurité. Ces calculs ont faits à partir de spectres de réponse lisses (Figure ‎1-16) ou l’on a « gommé » ces
fluctuations aléatoires en faisant une analyse statistique (moyenne ou moyenne plus un écart-type) d’un
ensemble de spectres de réponse d’accélérogrammes réels. Dans la suite, lorsqu’on parlera de spectres
de réponse, il s’agira toujours de spectres lissés.
Figure 1-16: Spectre de réponse élastique normalisé [18]
Pour un séisme, les spectres de réponse sont des fonctions de la période et de l’amortissement.
Ils sont représentées sous forme de graphes pour des taux d’amortissement donnes sur une long
bande de période (voir Figure ‎1-13, Figure ‎1-14 et Figure ‎1-15). Pour un période et un taux
d’amortissement fixes, la valeur de déplacement relatif maximum est donne par l’équation suivante :
|
∫ ̈
|
|
|
1.55.
Ou D(t) est l’historique du déplacement relatif de la masse donne par l’équation écrit ci-dessous :
∫ ̈
1.56.
De même, pour un période et un taux d’amortissement donnes, la vitesse relative maximum est
obtenue par l’expression suivante :
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| ∫ ̈
(
)
1.57.
∫ ̈
|
Et l’accélération absolue maximum est obtenue de l’équation
|
√
∫ ̈
(
)
∫ ̈
1.58.
|
Pour construire les spectres de réponse, on évalue les intégrales des expressions précédentes
pour un tremblement de terre et une valeur d’amortissement donnés et un grand nombre de périodes
naturelles. Le calcul de ces valeurs maximales est approximatif car le déplacement, la vitesse
et l’accélération sont pris d’une manière discrète (i=1,2…N ; ou N est le nombre des points discrètes et
équidistants de l’accelerogramme). L’intervalle d’intégration est
mais toujours moins que
0.02sec ou T est la période de l’oscillateur. Pour cette inégalité, l’erreur est de grandeur de 5% [17]. Le
processus d’évaluation du spectre de déplacement est illustre à la Figure ‎1-17:
.
8𝑔
𝑢̈ 𝑔 𝑔
𝑢̈ 𝑔𝑚𝑎𝑥
Temps (sec)
Figure 1-17: Illustration du calcul du spectre de déplacement pour un accélérogramme donné [2]
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1.5.5. Spectre de dimensionnement
[2], [9]
Les spectres de réponse des tremblements de terre historiques constituent une base
rationnelle pour le dimensionnement parasismique des structures. Pour un site donné, on détermine
plusieurs spectres de réponse à des accélérogrammes enregistrés dans des sites comparables du point
de vue de la nature du sol. Occasionnellement, on obtient des pics qui sont dus aux résonances locales
du mouvement du sol. Ces irrégularités peuvent être éliminées en prenant la moyenne des spectres de
réponse. Puis on détermine un spectre de dimensionnement par transformation du spectre de réponse
trouvée. On prolonge le plateau de la zone amplifiée du spectre de réponse jusqu’au point de période
nulle et on relève la branche descendante.
1.5.6. Utilisation des spectres de design
[2]
Pour une structure donnée de mass m, de rigidité k et d’amortissement , l’utilisation des
spectres de design est la suivant :
1. Calculer la période de la structure :
√
1.59.
2. On trouve le déplacement maximum à partir de T, et du spectre de dimensionnement :
1.60.
3. Calculer l’énergie de déformation maximum
(
)
1.61.
4. Calculer le cisaillement à la base :
5.
1.62.
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1.5.7. Réponse non linéaire
[2], [1], [19]
La plupart des normes de dimensionnement parasismique recommande de dimensionner les
structures pour une force sismique beaucoup plus faible que celle résultant de l’aléa sismique en
supposant que la structure reste dans le domaine linéaire (Figure 1-18(a)). Ca résulte des déformations
plus grandes que la déformation élastique. Donc, dans un dimensionnement parasismique, une
structure doit être capable de se déformer d’une manière ductile même après plusieurs cycles de
chargement dans le domaine non linéaire (Figure 1-18(b)). Les déformations subies par la structure en
phase post-élastique ont pour effet de diminuer les forces agissantes sur la structure et interviennent de
ce fait comme des limitateurs d'efforts [1]. L’équation du mouvement d’un système élémentaire non
linéaire s’écrit [2] :
̈
𝒖̈ 𝒈
𝒖̈ 𝒈
̇
̈
1.63.
(a)
(b)
Figure 1-18: réponse d’un oscillateur élémentaire a un mouvement sismique
(a) système linéaire et (b) système non linéaire [2]
Les systèmes non-linéaires présentant un comportement élastique-parfaitement plastique. Dans
les codes de calcul ce non linéarité du comportement n’est pris en compte qu’à travers le coefficient de
comportement. On définit le coefficient de comportement ou le facteur de réduction de la force
sismique R comme :
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1.64.
Ou fS0 est la valeur maximum de la force interne causée par le séisme dans le système linéaire, fSmax=fSy
est la force qui engendre la plastification du système élastique-parfaitement plastique. On a R=1 pour un
système linéaire et R>1 pour un system non linéaire. Soient xy et x0 les déplacements correspondant
respectivement à fSy et fS0. On obtient
1.65.
La ductilité du système es défini par
1.66.
Où x max est la déformation maximum absolue du système non linéaire causée par le séisme (
un système linéaire).
pour
Pour étudier l’effet de plastification sur la réponse d’un système élémentaire, on examine un exemple
traité dans « Dynamique des structure » par Patrick Paultre :
« Nous étudierons l’effet de la plastification sur la réponse d’un système élémentaire en
comparant les réponses de systèmes élémentaires non linéaires avec différentes valeurs de R à la
réponse du système linéaire - élastique élémentaire correspondant. Toutes les analyses ont été
effectuées avec l’accelerogramme d’El Centro pour des systèmes présentant une période propre T= 1 s
pour de petites oscillations et un taux d’amortissement
.
Figure 1-19: réponse de trois système élémentaires au tremblement de terre
de El Centro : T=1,0 s, x=0,02, R=1,2 et 4 [2]
La Figure ‎1-19 présente les déplacements de trois systèmes avec R=1, R=2 et R=4. La valeur de
R=1 correspond à un système dont la force limite d’élasticité vaut respectivement la moitié et le quart
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de la force élastique maximum fS0 causant le déplacement maximum du système linéaire - élastique
correspondant sous l’action du même accelerogramme. Les valeurs de R=2 et R=4 se rencontrent
souvent dans les normes de construction parasismiques. Comme on peut le constater, pour le système
linéaire – élastique (R=1), le déplacement oscille autour de la position initiale non déformée avec un
déplacement maximum u0=167,9 mm. Cette valeur avait déjà été calculée pour la détermination du
spectre de réponse de l’accelerogramme d’El Centro. Les réponses des systèmes avec R=2 et R=4
montrent une dérive des déplacements qui oscillent autour d’une nouvelle position d’équilibre. A la fin
de l’accelerogramme le système présentera une déformation permanente non nulle. Le système avec
R=2, c’est-à-dire fSy= 0,5 fSo, présente un déplacement maximum de 123,5 mm. Le système avec R=4,
c’est-à-dire fSy=0,25fSo, présente un déplacement maximum de 103,9 mm. Bien qu’en apparence, dans
cet exemple, le déplacement maximum diminue avec une augmentation de R, ce n’est pas une règle
générale [2].
Nous normaliserons les forces internes fS par le poids
linéaire – élastique la force maximum normalisée est
Figure ‎1-20 montre les forces internes normalisées par le poids
du système. Pour le système
, correspondant q uo=167,9 mm. La
pour les systèmes avec R=2 et R=4.
Figure 1-20: réponse de deux systèmes élémentaires au tremblement de terre
de El Centro: T=1,0 s, x=0,02, R=2 et 4 [2]
A chaque période ou fS=fSy, il y a plastification et la durée de plastification est indiquée à la
Figure 1-20 b et d. La Figure ‎1-21 présente un agrandissement de la réponse du système avec R=4. Afin
de bien comprendre le comportement non linéaire, nous suivrons la réponse durant deux cycles ou il y a
plastification, nous ferons référence à l’historique de la force interne normalisée par le poids, fS/w,
présenté à la Figure ‎1-21 b et la relation force-déplacement présentée à la Figure ‎1-21 d. Au point 1 sur
l’historique de la force interne normalisée et sur la relation force-déplacement, la force interne et le
déplacement du système n’ont nuls mais la vitesse est positive. Le système est en chargement élastique
du point 1 au point 2 ou la force interne atteint la force causant la plastification f Sy. Du point 2 au point
3, le système est plastifie, la vitesse est positive et la force interne reste constante à fSy. Au point 3, la
vitesse est nulle et le déchargement élastique commence. Du point 3 au pont 4, la vitesse est négative,
le système est en déchargement élastique et la force fS est proportionnelle à la rigidité initiale. Au point
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4, la force est nulle, mais il y a un déplacement résiduel ures=u4. Le système est en chargement
élastique dans la direction opposée du point 4 au point 5 ou le système se plastifie de nouveau. Au point
5, la force est maximum et est égale a –fSy. La plastification se poursuit du point 5 au point 6 ou la vitesse
devient nulle et ou commence le déchargement. Du point 6 au point 7, il y a déchargement élastique, la
vitesse est positive. Au point 7 la force est nulle et il y a un déplacement résiduel u7. Le deuxième cycle
commence au point 7 et est identique au cycle que nous venons de décrire à part le fait qu’il débute
avec un déplacement négatif u7 au lieu de zéro et se termine au point 13. »
(a)
(b)
Figure 1-21: réponse d’un système élémentaire au tremblement de terre
de El Centro: T=1,0 s, x=0,02, R=2 et 4 [2]
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1.5.8. Spectre de réponse inélastique
[20]
Dans le domaine non-linéaire, il est pratiqué de disposer des spectres de ductilité constante. Pour
construire ces spectres, on prend la procédure proposée par Chopra, 2001 pour un signal sismique
connue ̈
[20]:
1. Sélection d’un taux d’amortissement
2. Sélection d’une valeur de pulsation propre (ou et ).
3. Calcul de la réponse élastique
du système des propriétés et . Obtention du
déplacement maximal élastique et de la force correspondante
.
4. Calcul de la réponse pour un système elasto plastique des mêmes propriétés et pour un
certain
donné. Calcul du déplacement maximal
correspondant et le
correspondant. Répétition pour plusieurs valeurs de de façon à obtenir une courbe (
).
5. Sélection d’une valeur de ductilité et de la valeur correspondante. Avec on obtient
6.
La répétition pour plusieurs valeurs de donne les spectres de réponse pour un certain fixe.
Pour obtenir le spectre d’une autre ductilité il suffit de changer la valeur de dans le dernier pas.
1.5.9. Spectre de dimensionnement inélastique
[2], [21], [14]
Les spectres d’une structure linéaire et d’une structure non linéaire, possédant la même rigidité
initiale et soumises au même séisme, montre des déplacements maximums pratiquement égaux lorsque
leur période naturelle est relativement longue (supérieure a environ deux fois la période ou
l’accélération spectrale est maximum). Ce critère nous aide à déterminer les besoins en ductilité
d’une structure ou umax est le déplacement maximum et u y est le déplacement à l’amorce de
la plastification du système non linéaire. La ductilité d’une structure est sa capacité de dissiper une
grande partie de l’énergie sous des sollicitations sismiques, par des déformations inélastiques sans
réduction substantielle de sa résistance. Dans le cas d’un système à comportement élastiqueparfaitement plastique et vérifiant le critère d’égalité des déplacements illustré à la
Figure 1-22 (a), on a
1.67.
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1 . 5 R é p o n s e à u n t r e m b l e m e n t d e t e r r e | 42
(a)
(b)
Figure 1-22: Relation entre la ductilité et le facteur de réduction de la force sismique: (a) le critère d’égalité
des déplacements maximums et (b) le critère d’égalité des énergies potentielles maximums [14]
Ce critère d’égalité des déplacements n’est pas valable pour toutes les structures. Par exemple,
la rigidité des structures en béton armée diminue après chaque excursion plastique causant une
réduction de l’énergie dissipée. Une différence de rigidité mène à différentes valeurs de déplacement.
Donc, pour ces systèmes, ainsi que pour les systèmes ayant des courtes périodes de vibration, on utilise
le critère d’égalité d’énergie entre les structures linéaires et non linéaires. Suivant ce critère, l’énergie
potentielle stockée dans le système élastique au déplacement maximum est la même que l’énergie
potentielle stockée dans le système élastique-parfaitement plastique au déplacement maximum. Alors,
les
aires
OCG
et
OBEF
sont
égaux,
ce
qui
s’exprime
1.68.
Or
,
1.69.
Donc
1.70.
D’où
(
)
1.71.
En substituant R=OA/OB et =umax/uy dans l’équation précédente, nous arrivons a
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1.72.
√
Evidemment, la relation entre R et est en fonction de la période naturelle T de la structure.
Jusqu’à présent, il n’existe pas une relation continue liant R a
et T. Paulay et Priestley ont
recommandé de diviser les spectres de réponse d’accélération linéaires par les valeurs suivantes
(a)
{
1.73.
(b)
(c)
Donc les spectres de dimensionnement inélastiques sont obtenus en divisant les
spectres élastiques par les valeurs de R données par les équations 1.73. Ces spectres servent,
pour une demande en ductilité donnée, à évaluer l’accélération spectrale de systèmes
élémentaires non linéaires avec comportement élastique parfaitement plastique. Dans le cas
de sollicitation sismique et pour une demande en ductilité donnée, R n’est pas constant et
varie
en
fonction
de
la
période
et
de
pour
les
courtes
périodes.
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PARTIE 2
Système a plusieurs degrés de liberté
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2. Partie II : Système à Plusieurs Degrés de Liberté:
2.1.Equation de mouvement
[2], [4], [3]
Dans plusieurs cas, par quelques hypothèses simplificatrices on peut transformer un système
continu, ayant plusieurs modes de déformation, à un système d’un degré de liberté. Bien que
généralement, cette méthode donne des résultats très proches aux résultats exacts, il y a bien des cas
(chargement et/ou structure complexe) ou la réduction à un oscillateur simple rend impossible. Dans
de tels cas, les modes de déformation différentes nécessitent la spécification des déplacements dans les
directions différentes. Ces systèmes sont les systèmes discrets à plusieurs degrés de liberté. On va
établir les équations du mouvement d’un tel système subissant un mouvement d’ensemble des supports
[2].
2.1.1. Mouvement d’ensemble de la base d’un système plan
Dans un premier temps, on considèrera un système plan soumis à un mouvement de translation
uniquement. La structure illustrée dans Figure ‎2-1, ne possède que des degrés de liberté dans la
direction horizontale qui est la direction de translation de la base
imposée par un tremblement de
terre.
Figure 2-1 : Discrétisation d’une structure avec plusieurs degrés de liberté
avec déplacement imposé à la base [3]
Pour chaque masse mi on écrit son déplacement total par rapport au repère fixe y par xit et son
déplacement relatif par rapport à la base de la structuré par xi. Ces trois déplacements des n masses
sont lies par la relation sous la forme vectorielle suivante :
̅
Ou ̅
̅
̅
2.1.
est un vecteur unitaire d’ordre n.
En appliquant l’équation d’équilibre dynamique dans le cas d’un mouvement de la base, ou la charge
externe p(t)=0, nous obtenons :
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2 . 1 E q u a t i o n d e m o u v e m e n t | 46
̅
̅
̅
2.2.
Dans laquelle
̅
̿ ̅̅̅
̈
̅
̿̅
̅
̿̅
2.3.
2.4.
2.5.
Apres développement d’équation (2.2), en tenant en compte l’équation (2.1), on arrive à l’équation de
mouvement exprimée sous la forme matricielle :
̿ ̅̈
̿ ̅̇
̿̿̿̅
̿̅ ̈
2.6.
Cette équation rassemble l’équation de mouvement d’une structure soumis à une charge
̿̅ ̈
dynamique externe ̅
. Autrement dit, une accélération du sol ̈
agissant sur
une structure composée des masse mi, engendre des déplacements relatifs
qui sont identiques aux
déplacements de la même structure sur sol fixe et soumise à des forces externes aux degrés de liberté
i=1,2,…,n. ces forces externes ont pour magnitude le produit des masses mi par l’accélération du sol
̈
et pour direction le sens opposée à l’accélération.
2.2.Méthode de Résolution : Méthode de superposition modale
[2], [4]
Pour un système à n degré de liberté, on peut transformer l’ensemble des n équation du
mouvement couplés d’un système discret en un ensemble de n équation découplées par une
transformation aux coordonnées modales ou normales. Chaque mode possède un propre mode de
vibration fi, une fréquence propre wi et un amortissement modal propre xi. Dans la base des
coordonnées modales, on peut calculer la réponse totale des systèmes à plusieurs degrés de liberté par
sommation de la réponse de n systèmes élémentaires-donnant le nom de superposition modale à la
méthode. Le principe de superposition limite le domaine d’application de cette méthode a des systèmes
linéaires [4].
2.2.1. Coordonnées normales
Nous avons vu que le système à n degré de liberté donne n équations de mouvement qui à son
tour donne n forme de déplacement indépendantes. Ces formes de déplacement sont définies par un
ensemble de coordonnées, qui ne sont pas liées dynamiquement, donnée par les modes normaux de
vibrations. Les amplitudes des formes de déplacement modales peuvent donc servir de coordonnées
généralisées servant à exprimer toute allure de la déformée. Ces coordonnées sont appelées
coordonnées modales ou normales [2].
Tout ensemble de n vecteurs orthogonaux peut servir de base pour représenter tout vecteur d’ordre n.
Donc, on peut trouver tout vecteur de déplacements par superposition des modes propres multiplies
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chacun par un certain scalaire ou amplitude modale. La procédure est illustre à la Figure ‎2-2 pour un
système
à
six
degrés
de
liberté.
Figure 2-2: Déformée représentée par la somme des composantes modales [2]
Pour obtenir les déplacements de la composante modale
mode propre ; alors
̅
on multiplie l’amplitude modale
̅
par le
2.7.
Le déplacement total est donné par la somme des composantes modales
̅
∑̅
2.8.
2.2.2. Calcul de la réponse
Les trois méthodes principales de calcul de la réponse des systèmes élémentaires sont
l’intégration numérique directe, l’intégrale de Duhamel et la transformation de Fourier. Pour la partie
suivante, on s’intéresse par la méthode de l’intégrale de Duhamel.
Calcul de l’intégrale de Duhamel
L’équation (2.6) nous donne n équation de mouvement. La solution de chacune de ces équations est
donnée par l’intégrale de Duhamel qui s’écrit :
∫
Ou
√
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2.9.
est la fréquence amortie de mode i.
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2 . 2 M é t h o d e s d e s r é s o l u t i o n s | 48
Conditions initiales :
Les réponses modales calculées avec l’intégrale de Duhamel correspondent à des conditions
initiales nulles (
̇
. Donc, dans cette méthode de résolution, on doit ajouter la réponse en
vibration
libre
due
à
des
conditions
initiales
non
nulles
suivante :
[
̇
]
̇
Ou
2.10.
̇
Réponse totale
Nous avons vu que la réponse totale dans le système de coordonnées géométrique est calculée à partir
des réponses de chaque mode
selon la relation suivante :
̅
∑̅
2.11.
Donc la réponse totale dans le system de coordonnées géométriques est la sommation des
contributions de chaque mode.
Calcule des forces élastiques
Pour avoir une réponse complète, il suffit de déterminer des déplacements. Par contre, les efforts
internes et les contraintes doivent encore être détermines. Les forces élastiques durant la réponse sont
déterminées à partir de l’équation suivante :
̅
̿ ̅
2.12.
2.3.Réponse à un tremblement de terre
[2], [22]
Dans ce chapitre, on découvert le calcul de la réponse dans le temps des structures linéaires aux
mouvements de la base causes par un séisme. Il y a trois méthodes de combinaison des réponses
modales maximums afin d’obtenir une approximation de la réponse totale maximum. Dans ce qui suite,
on discute la méthode de superposition modale et la Superposition des réponses spectrales.
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Février-Juin 2012
CUST
P a r t i e I I : S y s t è m e à p l u s i e u r s d e g r é s d e l i b e r t é | 49
2.3.1. Superposition modale
La procédure menant à la réponse totale maximum est similaire à celle suivie dans le cas d’un
chargement quelconque. Les étapes à suivre sont :
1. Ecrire les équations couplées du mouvement en fonction des réponses relatives
̿ ̅̈
̿ ̅̇
̿̿̿̅
̅
2.13.
Ou peff(t) est le vecteur de forces effectives donné par la formule suivante :
̅ ̈
̿ ̅ ̈
̅
2.14.
Ou ̅ est la distribution spatiale du chargement dont l’expression est
̅
̿ ̅
2.15.
2. Calculer
fréquences et modes propres de vibration pour le problème de vibration
libre non amortie qui se réduit au problème aux valeurs propres suivant
̿ ̿ ̿̿̿̿̿̿
2.16.
Ou ̿ est la matrice des modes propres ̅ et ̿ est une matrice diagonale contenant les termes
3. Calculer la masse et le chargement généralises relatifs à chaque mode
̅̅̅̅ ̿ ̅
̃
̅̅̅̅ ̅
̅
̃
̅̅̅̅ ̅
Ou
2.17.
̈
2.18.
̅̅̅̅ ̿ ̅
2.19.
4. Ecrire neq équations de mouvement indépendantes
̈
̇
̃
̈
2.20.
5. Calculer la réponse modale. Par analogie avec l’équation (2.9), la réponse des systèmes peu
amorties (
) s’exprime en fonction de l’intégrale de Duhamel
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CUST
2 . 3 R é p o n s e à u n t r e m b l e m e n t d e t e r r e | 50
̃
2.21.
Dans laquelle
∫ ̈
2.22.
Ou nous supposons que
. Remarquons que la réponse peut être calculée par
intégration numérique ou via le domaine des fréquences. Pour les tremblements de terre, la
formulation (2.21) est préférable car le maximum en valeur absolue de Di(t) est égal à Sd (
pour un tremblement de terre donné.
6. Calculer la réponse dans le système de coordonnées géométriques à partir des réponses
modales zi(t). les déplacements de la composante modale xi sont donnés par
̅
̅
̅
2.23.
̃
Le vecteur des déplacements totaux est la somme de toutes les composantes modales
̅
Ou { ̃
̿ ̅
∑̅
̿{
}
̃
2.24.
} est un vecteur dont les composantes sont la réponse en déplacement de chaque
mode considère dans l’analyse.
7. Calculer les forces élastiques correspondant aux déplacements relatifs
̅
̿
̿ ̿
̅
̅
2.25.
Substituant l’équation (2.16) dans (2.25), nous obtenons
̅
̿ ̿̿̿̿̿̿
̅
2.26.
Que l’on peut encore écrire
̅
Ou Ai(t)=-
2
i Di(t)
et { ̃
̿̿̿̿̿̿̿ {
̃
̿ ̿ {
̃
}
}
2.27.
} est un vecteur dont les composantes sont la pseudo-accélération
absolue de chaque mode considéré dans l’analyse. Le vecteur des forces élastiques associées à
chaque mode i dans l’équation (2.27) est donné par
̅
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̿̅
̃
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2.28.
CUST
P a r t i e I I : S y s t è m e à p l u s i e u r s d e g r é s d e l i b e r t é | 51
Soit
la force élastique au niveau j, qui est la somme de toutes les forces élastique associées à
chaque mode considéré dans l’analyse, le cisaillement à la base est donne par
∑
̅
̅
2.29.
Ou ̅ est la transposée du vecteur des déplacements pseudo-statiques. Substituons l’équation
(2.27) dans l’équation (2.29), nous obtenons
̅ ̿̿̿̿̿ {
}
̃
2.30.
Pour le bâtiment en cisaillement montre à la Figure ‎2-3, le vecteur des déplacements pseudostatiques correspondant à un mouvement horizontal de la base est r=1. En tenant compte de ceci,
l’équation 2.19 nous permet d’écrire
̅ ̿̿̿̿̿
2.31.
La substitution de l’équation (2.31) dans (2.30) nous donne finalement
∑
̃
2.32.
Ou est le nombre d’étagés qui, dans le cas du bâtiment en cisaillement, est aussi égal au nombre
d’équations
.
Le moment de renversement à la base de la structure montrée à la Figure ‎2-3 est donne par la
relation suivante
∑
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̅̅̅̅̅̅
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2.33.
CUST
2 . 3 R é p o n s e à u n t r e m b l e m e n t d e t e r r e | 52
Figure 2-3: Distribution des forces élastiques dans un système discret
a plusieurs degrés de liberté [2]
ou ̅̅̅ est un vecteur ligne dont les composantes
représentent la hauteur de masse au niveau
mesurée au-dessus de la base du bâtiment. Substituions l’équation (2.27) dans l’équation (2.33), nous
obtenons
̅̅̅ ̿ ̿ ̿
̅̅̅ ̿ ̿ {
̅
̃
}
2.34.
2.3.2. Superposition des réponses spectrales
La superposition modale permet de calculer la réponse complète d’un système à neq degrés de
liberté. Cependant, pour le dimensionnement, on s’intéresse, en générale, à la valeur maximum de
la réponse et non à la réponse temporelle complète. La méthode d’analyse modale permet de
modéliser la réponse de chaque mode de vibration par la réponse d’un système à un degré de
liberté. Le spectre de dimensionnement peut donc être utilise afin de trouver la réponse maximum
pour chaque mode de vibration et en combinant les réponses maximums pour chaque mode selon
certaines règles, on peut obtenir la réponse maximum probable du système discret à neq degrés de
liberté. Ainsi, le déplacement modal pour le mode i s’écrit :
2.35.
̃
Le déplacement maximum du mode i dans le système de coordonnées géométriques est donc par
̅
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̅
̅
̃
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2.36.
CUST
P a r t i e I I : S y s t è m e à p l u s i e u r s d e g r é s d e l i b e r t é | 53
Le vecteur des forces élastiques maximums du mode i peut être obtenu à partir de l’équation (2.28), soit
̅
̿̅
̃
2.37.
On a vu que la réponse totale d’une structure a un tremblement de terre provient de la
superposition des contributions des modes propres. On a vu aussi qu’on peut déterminer la réponse
maximum pour un mode i directement du spectre de dimensionnement. En général, les maximum pour
chaque mode ne se produisent pas au même moment, et on peut donc pas les ajouter directement afin
d’obtenir la réponse totale maximum. Cette procédure, connue sous le nom de méthode de la somme
absolue ou méthode de combinaison arithmétique ou CA, fournit cependant la limite supérieure de la
réponse maximum qui, en général, sera largement surestimée. Donc, la limite supérieure du maximum
d’une quantité de réponse donnée s’exprime
∑
|
|
2.38.
Ou
est la limite supérieure de la réponse maximum du degré de liberté i. selon cette méthode, la
limite supérieure du maximum des déplacements sera donnée par
∑
Ou
|(
|
)
2.39.
est la limite supérieure de la réponse maximum du degré de liberté i d’après la méthode CA.
Plusieurs méthodes ont été proposées afin d’estimer la valeur probable de la réponse maximum
à partir des réponses spectrales. La plus populaire de ces méthodes, et d’ailleurs la plus simple, est de
calculer la moyenne quadratique des réponses modales que nous appellerons méthode de combinaison
quadratique ou CQ, ce que l’on écrit
(∑
)
2.40.
Par la méthode CQ, les déplacements maximums totaux probables sont donnés par l’expression suivante
(∑
)
2.41.
2.4.Intégration temporelle des systèmes linéaires
[2], [12]
L’intégration numérique directe de l’équation du mouvement des systèmes élémentaires a été
présentée au chapitre 1. La même méthode s’applique aux systèmes à plusieurs degrés de liberté
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2 . 4 I n t é g r a t i o n t e m p o r e l l e d e s s y s t è m e s l i n é a i r e s | 54
linéaire ou non linéaires. La différence est qu’on remplace les éléments de l’équation de mouvement du
système linéaire par des matrices et des vecteurs :
̿ ̅̈
̿ ̅̇
̿ ̅
̅
2.42.
̿ sont les matrices de masse, d’amortissement et de rigidité, ̅ ̈ ̅ ̇
Ou ̿ ̿
̅ sont les vecteurs des
accelerations, des vitesses et des deplacments et est le vecteur des forces externes appliquées aux
nœuds. L’avantage de cette méthode est qu’elle peut être utilise dans le cas où les équations du
mouvement ne peuvent être découplées à cause d’une matrice d’amortissement non proportionnelle
ou pour les systèmes non linéaires. Dans l’intégration numérique, la matrice ̿ n’a aucun besoin d’être
proportionnelle.
Une méthode d’intégration numérique doit converger vers la solution exacte quand on réduit le pas
de temps , doit etre stable en présence d’erreurs d’arrondi et doit être suffisamment précise. Le
critère le plus importante pour un système à plusieurs degrés de liberté peut être la stabilité de la
méthode. Cependant, il y a un autre critère autant important que la stabilité du schéma d’intégration,
c’est le taux d’amortissement numérique injecté par ce schéma d’intégration. Dans la partie qui suit, on
découvre les méthodes de Newmark et les critères qu’ils les accompagnent.
Méthodes de Newmark
Les méthodes de Newmark ont été présentées au chapitre 1 pour des systèmes à un degré de
liberté. On s’applique les mêmes méthodes pour des systèmes a plusieurs degrés de liberté en
changeant les équations scalaires liant les déplacements , vitesses et accélération aux temps
en des équations matricielles. Les expressions de la vitesse et du déplacement à la fin du pas
d’Intégration
pour
un
système
avec
degrés
de
liberté
s’écrivent :
̇̅
̅̅̅̅̅̅
̅̅̅
̇
̅̅̅
̅̅̅
̅̅̅
(
̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅
̈
)
2.43.
̅̅̅̅̅̅
̈
2.44.
Ou les constantes
sont les paramètres usuels des méthodes de Newmark. Exprimons les
équations d’équilibre dynamique au temps
:
̿ ̅̅̅̅̅̅
̈
̿ ̅̅̅̅̅̅
̇
̿ ̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅
2.45.
Les 3 équations précédentes servent à déterminer l’état du système au temps
par itération. Cette
itération peut être évitée de la façon suivante. Explicitions l’accélération au temps
de l’équation
(2.44)
:
̅̅̅̅̅̅
̈
Remplaçons ̈
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̅̅̅̅̅̅
̅̅̅
̇
̅̅̅
(
)
̅̅̅
̈
2.46.
dans (2.43), nous obtenons
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̅̅̅̅̅̅
̇
̅̅̅̅̅̅
̅̅̅
) ̅̅̅
̇
(
(
)
̅̅̅
̈
2.47.
Substituons les équations (2.46) et (22.47) dans l’équation (22.45), nous obtenons
̂
̿
̂̅
2.48.
Ou
̿
̂
̂
̅̅̅
̿ [
̿ [
̿
̅̅̅
̇
̅̅̅
̅̅̅
̿
̿
) ̅̅̅
̈ ]
(
) ̅̅̅
̇
(
2.49.
(
)
̅̅̅̅̅
̈ ]
2.50.
Nous avons vu que la méthode de Newmark avec accélération moyenne est inconditionnellement
stable alors que la méthode avec accélération linéaire est conditionnellement stable pour un pas de
temps n’excédant pas un pas critique
dont la valeur est
√
2.51.
ou
est le période de plus haut rang, c’est-à-dire la plus petite période du système a
de liberté.
Pour un pas de temps qui respecte cette limite de stabilité, la méthode de Newmark avec accélération
linéaire est plus précise que la méthode avec accélération moyenne. Pour des systèmes avec un très
grand nombre de degrés de liberté, les temps de calcul deviennent extrêmement longs. Pour cette
raison, on utilise, généralement, la méthode de Newmark avec accélération moyenne qui est
inconditionnellement stable, au lieu de la méthode avec accélération linéaire qui est plus précise. Dans
ce cas,
peut-être choisit d’une manière de représenter précisément juste les premières modes de
vibration. Ce choix est valide si les modes de haute fréquence ont des facteurs de participation très
petite et contribue pas effectivement dans la solution totale [12].
La méthode de
de Wilson a été développée afin de rendre inconditionnellement stable la
méthode de Newmark avec accélération linéaire. Les méthodes de collocation permettent d’unifier les
trois méthodes : Newmark (accélération moyenne), Newmark (accélération linéaire) et de Wilson.
2.5.Intégration temporelle des systèmes non linéaires
[2], [4]
Le principe de superposition n’est pas applicable à des systèmes non linéaires n’importe quel degré
ils possèdent. Les seules méthodes qui s’appliquent pour calculer la réponse des systèmes non linéaires
sont les méthodes directes d’intégration numérique. Souvent, on utilise les méthodes implicites
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2 . 5 I n t é g r a t i o n t e m p o r e l l e d e s s y s t è m e s n o n l i n é a i r e s | 56
inconditionnellement stables. Le choix de ces méthodes vient du fait que les périodes naturelles du
système changent au cours de l’analyse et qu’il serait difficile de toujours satisfaire le pas de temps
critique des méthodes conditionnellement stables. Cependant, dans les cas où la matrice de mass est
diagonale et la matrice d’amortissement est soit nulle soit diagonal, on peut utiliser avec succès des
méthodes explicites conditionnellement stables. Dans cette partie, on présentera les méthodes de
Newmark pour les systèmes à plusieurs degrés de liberté sous la forme incrémentale qui est applicable
pour tous les systèmes.
2.5.1. Equation du mouvement incrémentale
Pour arriver à cette formulation, on adopte l’équation de mouvement présentée a la chapitre 1
en remplaçant les forces par des vecteurs de forces et les équations scalaires par des équations
matricielles. Au temps
, l’équilibre dynamique des forces peut s’écrire :
̅̅̅̅
̅
̅
̅̅̅
dans laquelle
est le vecteur des forces d’inertie,
d’amortissement,
est le vecteur des forces internes et
externes, tous évalues au temps
.
Soustrayant équation (2.52) a temps
d’équation (2.52) a
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
2.52.
est le vecteur des forces
est le vecteur des forces
:
2.53.
Qui est une équation du mouvement incrémentale dans laquelle
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̿
̅̅̅̅̅̅
̿ ̅̅̅̅̈
2.54.
̿ ̅̅̅̅̇
2.55.
̅̅̅̅
2.56.
̅
2.57.
̿
Evidemment, les termes de la matrice
ne sont pas connus tant que la configuration au
temps
n’a pas été déterminée, ce qui est en fait recherche. En général, on utilise les propriétés
tangentes définies au début de l’intervalle de temps . Pour réduire les erreurs dans le calcul, on réduit
l’intervalle de temps . On a donc les propriétés tangentes suivantes :
̿
(
)
2.58.
Remplaçant les équations (2.54) à (2.57) dans (2.53), on obtient :
̿ ̅̅̅̅̈
̿ ̅̅̅̅̇
̿̿̿̿̅̅̅̅
̅̅̅̅
2.59.
Ou
est la matri ce de rigidité tangente évaluée au temps . L’équation (2.59) est une équation du
mouvement incrémentale qui peut être résolue par une méthode directe d’intégration numérique
quelconque. Cette formulation est applicable pour des problèmes en petites déformation et pour les
systèmes pour lesquels la matrice de rigidité tangente reste symétrique.
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2.5.2. Méthodes implicites de Newmark
Les problèmes non linéaires sont en général résolus par une des méthodes implicites de
Newmark, le plus souvent par la méthode de Newmark avec accélération moyenne qui est
inconditionnellement stable. Nous présentons, dans ce qui suit, les méthodes de Newmark sous leur
forme incrémentale. Supposons que ̈
̇
sont les increments des vecteurs des accélérations,
des vitesses et des déplacements durant le pas de temps , on obtient les équations sous forme
vectorielle suivantes :
̅̅̅̅̇
̅̅̅
̈
̅̅̅̅
̅̅̅
̇
̅̅̅̅̈
̅̅̅̅̈
̅̅̅
̈
̅̅̅̅
̅̅̅
̇
2.60.
̅̅̅̅̈
2.61.
̅̅̅
̈
2.62.
Apres substitution de (2.62) dans (2.60) nous obtenons :
̅̅̅̅̇
̅̅̅̅
̅̅̅
̇
(
̅̅̅
̈
)
2.63.
Substituons finalement (2.62) et (2.63) dans l’équation incrémentale du mouvement (2.59), nous
obtenons :
̿̿̿
̂̿ ̅̅̅̅
̅̅̅̅̂
2.64.
Dans laquelle
̿̿̿
̂̿
̿̿̿̿
̿
̿
2.65.
Et
̅̅̅̅̂
̅̅̅̅
̿(
̅̅̅
̇
̅̅̅
̈ )
̿
̅̅̅
̇
(
)
Avoir calculé
à partir de (2.64), l’incrément des vitesses
l’incrément des accélérations ̈ est calculé à partir de (2.62).
̅̅̅
̈
2.66.
̇ est calculé à partir de (2.63) et
Comme mentionne, la méthode de Newmark, avec accélération linéaire correspondant à
est conditionnellement stable. Afin d’éviter toute instabilité, le pas de temps est limitée
à
, ou
est la période naturelle du dernier mode propre (c’est-à-dire la plus courte
période) du système. Pour un maillage d’éléments fini, la plus courte période est liée à la longueur
caractéristique de l’élément le plus adverse (généralement le plus petit) et n’est pas constant pour un
système non linéaire. Ainsi,
doit être réduit si le système est raidissant. Pour cette raison, on
recommande d’utiliser une méthode directe d’intégration numérique inconditionnellement stable. La
méthode de Newmark avec accélération moyenne est très couramment utilisée. La méthode Wilsonn’est pas recommandée pour des problèmes non linéaires parc qu’elle a la tendance a fortement
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3 . E u r o c o d e 8 | 58
surestimer, dans les premiers pas de temps, la réponse des systèmes en dynamique rapide quand le pas
de temps est grand compare à la période de vibration la plus courte.
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3 . E u r o c o d e 8 | 59
PARTIE 3
Eurocode 8
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3 . E u r o c o d e 8 | 60
3. Eurocode 8
[23], [15] [24], [25], [26]
3.1.Choix des accélérogrammes
[25]
La plupart des codes de construction, donne des guides générales sur la procédure du choix des
accélérogrammes pour l’analyse dynamique non-linéaire. Ils ne fournissent pas des règles spécifiques
pour cette procédure. Les trois raisons principales sont : (a) l’analyse temporelle est récente et pas
encore bien maitrisée ;(b) la recherche dans cette domaine est en cours. L’intégration des nouvelles
innovations prennent quelques années ;(c) un consensus sur les critères nécessaires pour le choix des
accélérogrammes n’est pas encore établi [25].
L’Eurocode 8 permit l’utilisation des accélérogrammes artificiels ou des accélérogrammes
enregistrés ou simulés. Quelques exigences de l’Eurocode 8 pour le choix des accélérogrammes réels
représentant le mouvement du sol sont:
1. Accélérogrammes enregistrés ou simulés [23]
 Les échantillons utilisés soient reconnus comme représentatifs des caractéristiques des
sources sismogènes et des conditions de sol du site, et que leurs valeurs soient calées par
rapport à la valeur de
pour la zone considérée.




Pour l’analyse des amplifications des mouvements de sol et pour les vérifications de la
stabilité dynamique des pentes il faut vérifier avec les Critères de conformité.
Utiliser un minimum de 3 accélérogrammes.
La moyenne des valeurs de l’accélération spectrale à période nulle (calculée à partir des
accélérogrammes) ne soit pas inférieure à la valeur de
pour le site en question.
Dans le domaine des périodes comprises entre 0,2T1 et 2T1, où T1 est la période
fondamentale de la structure dans la direction suivant laquelle l’accélérogramme va être
appliqué, il convient qu’aucune valeur du spectre de réponse élastique moyen avec 5 %
d’amortissement, calculé à partir de tous les accélérogrammes, ne soit inférieure à 90 % de
la valeur correspondante du spectre de réponse élastique avec 5 % d’amortissement.
3.2.Spectre de réponse
Le spectre de réponse représente, selon l’Eurocode 8, le mouvement dû au séisme en un point
donné de la surface du sol. L’action sismique est décrite par 3 composantes, deux composantes
orthogonales horizontales et une composante verticale.
Composante Horizontale
Pour construire ce spectre Se(T), on utilise les paramètres déjà déterminées en fonction de
classement du sol (TB, TC, TD et S). On les intègre dans les expressions suivantes :
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3 . E u r o c o d e 8 | 61
h
3.1.
h
3.2.
[ ]
h
3.3.
h
3.4.
avec :
Se(T) spectre de réponse élastique ;
T période de vibration d’un système linéaire à un seul degré de liberté ;
ag
accélération
de
calcul
pour
un
sol
de
classe
B
(ag
=
γI
x
agR)
;
h est un coefficient de correction de l’amortissement avec une valeur de référence est égale à 1 pour
5% d’amortissement
h √
.
est le coefficient d’amortissement visqueux, exprimé en pourcentage.
Les spectres sont construits selon deux types, Type 1 et Type 2. Type 1 est utilisé pour les zone
de fortes sismicité. Ils portent plus d’énergie pour les mouvements du sol des périodes longs. Type 2 est
utilisé pour les zones de faibles sismicité. Ils sont caractérisés par des grandes amplitudes pour des
petites valeurs des périodes. [26]
Classe de sol
A
B
C
D
E
S
1.00
1.20
1.15
1.35
1.40
TB[s]
0.15
0.15
0.20
0.20
0.15
TC[s]
0.40
0.50
0.60
0.80
0.50
TD[s]
2.00
2.00
2.00
2.00
2.00
Tableau 3-1: Valeurs des paramètres décrivant les spectres de réponse élastique recommandés de type 1
Classe de sol
A
B
C
D
E
S
1.00
1.35
1.5
1.8
1.6
TB[s]
0.05
0.05
0.10
0.10
0.05
TC[s]
0.25
0.25
0.25
0.30
0.25
TD[s]
1.2
1.2
1.2
1.2
1.2
Tableau 3-2: Valeurs des paramètres décrivant les spectres de réponse élastique recommandés de type 2
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3 . 2 S p e c t r e d e c a l c u l | 62
Composante Verticale
La composante verticale de l’action sismique doit être représentée par un spectre de réponse
élastique, Sve(T), calculé en utilisant les expressions suivantes :
h
3.5.
h
3.6.
[ ]
h
3.7.
h
Spectre
Type 1
Type 2
0,9
0,45
3.8.
0,05
0,05
0,15
0,15
1,0
1,0
Tableau 3-3: Valeurs recommandées des paramètres décrivant les spectres de réponse élastique vertical [23]
On rappelle que pour combiner les effets du séisme dans les différentes directions X, Y et
éventuellement Z (si la composante verticale n'est pas négligeable), on peut utiliser la combinaison
quadratique ou les combinaisons de Newmark.
3.3.Spectre de calcul
La capacité des systèmes structuraux à résister à des actions sismiques dans le domaine non
linéaire permet en général d’effectuer leur dimensionnement pour résister à des forces plus faibles que
celles correspondant à une réponse linéaire élastique.
Le spectre de calcul est obtenu en divisant le spectre de réponse par le coefficient de
comportement, ce qui nous permet d’identifier les actions sismiques prises en compte. Pour les
composantes horizontales de l’action sismique, le spectre du calcul Sd(T) doit être définit par les
expressions suivantes :
3.9.
3.10.
(a)
[ ]
{
3.11.
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(b)
CUST
3 . E u r o c o d e 8 | 63
(a)
{
3.12.
(b)
est le coefficient correspondant à la limite inférieure du spectre du calcul horizontale.
l’annexe nationale).
. (Selon
Pour la composante verticale de l’action sismique, le spectre de calcul est donné par les
expressions précédents avec l’accélération de calcul du sol dans la direction verticale, avg, à la place de
ag ,S pris égal à 1,0 et les autres paramètres tels que définis en la tableau précèdent.
Pour la composante verticale de l’action sismique, il convient généralement d’utiliser un coefficient
de comportement q au plus égal à 1,5 pour tous les matériaux et tous les systèmes structuraux.
3.4.Coefficient de comportement
[15]
Le dimensionnement des structures de génie civil prend en compte de manière très
approximative le comportement non linéaire de la structure par le biais d’un coefficient appelé
"coefficient de comportement". Les actions sismiques agissant sur une structure réelle sont déduites de
celles appliquées sur la structure idéalement élastique associée en les divisant par ce coefficient R. Ce
coefficient traduit la non-linéarité des matériaux, c’est-à-dire lorsque les matériaux rentrent dans leurs
comportements plastiques ils absorbent l’énergie transmis par le séisme. La résistance seule ne peut
expliquer la tenue des ouvrages. La ductilité des matériaux permet d’éviter l’effondrement de l’ouvrage.
En fait les déformations importantes des matériaux dans le domaine inélastique limitent les forces et
contraintes s’exerçant sur la structure mais en contrepartie les déformations et déplacements sont très
importants. La plupart des matériaux sont assez ductile pour autoriser des passages dans le domaine
plastique. On n’exige alors pas une résistance maximale de la part de la structure mais une résistance
plus faible sous réserve d’une ductilité suffisante. Nous devons donc intégrer le coefficient de
comportement dans nos calculs. Nous allons prendre l’hypothèse de linéarité puis diviser les efforts par
R. Le coefficient de comportement R est unique pour toute la structure.
Le coefficient de comportement prend en compte :





la ductilité (limitation des contraintes et transformation de ces contraintes en déplacements).
l’évolution du système qui n’est pas prise en compte dans les calculs.
la variabilité des réponses possibles des différents matériaux.
les imperfections géométriques de la structure.
la dégradation de la structure dans le temps.
Les règles préconisent le niveau de ductilité suivant : la structure doit supporter quelques cycles de
déformation inélastique d’amplitude moyenne. Les valeurs de sont essentiellement empiriques. Il
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4 . 1 A p p l i c a t i o n n u m é r i q u e | 64
dépend naturellement du matériau et du type de contreventement de la structure (portiques, voiles,
voiles + portiques). Il est à noter que les ouvrages à risque spécial imposent de rester dans le domaine
élastique (q=1).
3.5.Règle de dimensionnement en capacité
[23]
3.5.1. Principe
C’est une méthode de dimensionnement suivant laquelle certains éléments du système
structural sont choisis, conçus et étudiés en détail de manière appropriée pour assurer la
dissipation d’énergie sous l’effet de déformations importantes, alors que tous les autres
éléments structuraux sont suffisamment résistants pour que les dispositions choisies pour
dissiper l’énergie puissent être assurées. [23]
3.5.2. Règles de dimensionnement en capacité
Les règles de dimensionnement en capacité cite dans l’EC8 sont les suivantes :
1. Les mécanismes de rupture fragile ou autres mécanismes indésirables (par exemple,
concentration de rotules plastiques dans les poteaux sur un niveau d’un bâtiment à
plusieurs étages, rupture d’effort tranchant des éléments de structure, rupture des
nœuds poteau-poutre, plastification des fondations ou de tout autre élément conçu
pour demeurer élastique) doivent être empêchés. Ceci est obtenu en déduisant des
conditions d’équilibre les effets des actions de calcul dans les zones considérées,
compte tenu de la formation de rotules plastiques dans les zones adjacentes et de
leurs possibles sur-résistances.
2. Il convient que les poteaux sismiques primaires des systèmes en béton formés d’une
ossature ou équivalents à une ossature respectent les dispositions de
dimensionnement en capacité avec les exceptions suivantes :
a) dans les ossatures en plan avec au moins quatre poteaux ayant
approximativement des sections transversales de mêmes dimensions, il
n’est pas nécessaire de respecter la condition sur les résistances à la
flexion des poteaux dans les quatre poteaux, mais seulement dans trois
poteaux sur quatre;
b) dans le premier étage des bâtiments de deux étages, si la valeur de
l’effort
normal réduit ne dépasse pas 0,3 dans tout poteau.
3. Il convient de supposer que les armatures de dalles parallèles aux poutres et situées
dans la largeur participante de membrure contribuent aux capacités en flexion des
poutres prises en compte pour le calcul de la résistance en flexion, si les armatures
sont ancrées au-delà de la section des poutres située à la face du nœud.
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4 . 1 A p p l i c a t i o n n u m é r i q u e | 65
Partie 4
APPLICATION NUMERIQUE
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CUST
4 . 1 . 1 S t r u c t u r e | 66
4. Application Numérique
4.1.Système a un degré de liberté
Dans cette partie, on va calculer, en utilisant des méthodes numériques, la réponse d’un
système à un degré de liberté soumis à un séisme représenté par un accelerogramme qu’on va
découvrir en détail plus tard. Puis, on répète la même procédure pour différentes valeurs de
période (différentes valeurs de
) afin de construire le spectre de réponse du système.
Premièrement, on s’adresse à un système linéaire à un degré de liberté. On calcul la
réponse de cette structure en utilisant l’évaluation numérique de l’intégrale de Duhamel. Dans
cette méthode on considère que le chargement (dans ce cas l’accélération du sol) est constitué
d’une succession d’impulsions. La réponse totale est obtenue en superposant la réponse
subséquente à chaque impulsion. Ce principe de superposition est applicable parce que le
système est considéré linéaire.
Deuxièmement, on calcul la réponse d’un système non-linéaires soumise au même
chargement de la première partie. Ici, on adopte la méthode de Newmark (accélération
linéaire) qui prend en compte les changements des caractéristiques de la structure après des
déformations inélastiques.
4.1.1. Structure :
C’est un système à un degré de liberté (Figure ‎4-1). Comme on a déjà expliqué, le calcul de la
réponse de la structure va être effectué pour plusieurs valeur de période . Donc, les
caractéristique du système changera pour chaque valeur du . Pour cette raison, on cite juste
les formules qui nous donne les paramètres nécessaires pour le calcul.
Figure 4-1: Système élémentaire.
Bachar KABALAN
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CUST
4 . 1 . 2 A c c e l e r o g r a m m e | 67
La pulsation propre du système est
√
4.1.
Cas d’amortissement sous- critique :
Donc
√
4.2.
La période de vibration du système vaut :
4.3.
4.1.2. Accélérogramme:
C’est un instrument sismique, qui consiste essentiellement en un oscillateur amortie
(visqueux). Le système est monté dans un boîtier qui peut être attaché à la surface où
le mouvement doit être mesuré. La réponse est mesurée en termes de mouvements
de la
masse par rapport à la boite. L’équation de mouvement pour ce système est le suivant:
̈
̇
̈
4.4.
Le système est sollicité par des séismes de Lourde, France. Une de ces séismes est celui de
Coyote Lake, enregistré par la station GILROY ARRAY #2, qui a frappé Lourdes, France le
08/06/79. La durée du séisme de magnitude Ms=5.8 est 26.845. Les valeurs d’accélération du
tremblement du terre sont donné chaque 0.005 sec en g (9.8066m2/sec). Toute cette
information est prise de la Projet ANR-SISBAT [27]. L’accélérogramme est donné dans la figure
suivante :
Bachar KABALAN
Février-Juin 2012
CUST
4 . 1 . 3 R é s o l u t i o n | 68
Acceleration du Sol en fonction du temps(accelerogramme)
3.00
1.00
0.00
0
0.93
1.86
2.79
3.72
4.65
5.58
6.51
7.44
8.37
9.3
10.23
11.16
12.09
13.02
13.95
14.88
15.81
16.74
17.67
18.6
19.53
20.46
21.39
22.32
23.25
24.18
25.11
26.04
ag (m/sec2)
2.00
-1.00
-2.00
-3.00
-4.00
temps (sec)
Figure 4-2: Accélérogramme du séisme de Coyote Lake, Lourde, France le 08/06/79
4.1.3. Résolution :
4.1.3.1.
Système linéaire
4.1.3.1.1.
Réponse de la Structure- Intégrale de Duhamel
Pour trouver la réponse du système on écrit l’équation du mouvement d’un système
linéaire à un degré de liberté. On utilise l’intégrale de Duhamel pour résoudre cette équation.
Le calcul est mené sur Excel en utilisant les formules de la règle de trapèze (voir section 1.4.1.2système amortie) pour une valeur du taux d’amortissement
. On utilise un pas de
temps
(voir le tableau du calcul dans l’annexe A).
Pour une période (un couple masse-rigidité), on trouve le déplacement, la vitesse et
l’accélération de la structure à chaque instant tN jusqu’à fin du signal comme montré dans le
Figure ‎4-3, le Figure ‎4-4 et le Figure ‎4-5.
déplacement
0.015
0.005
0
-0.005
0
0.87
1.74
2.61
3.48
4.35
5.22
6.09
6.96
7.83
8.7
9.57
10.44
11.31
12.18
13.05
13.92
14.79
15.66
16.53
17.4
18.27
19.14
20.01
20.88
21.75
22.62
23.49
24.36
25.23
26.1
x(m)
0.01
-0.01
Bachar KABALAN
temps(sec)
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CUST
4 . 1 S y s t è m e à u n d e g r é d e l i b e r t é | 69
Figure 4-3: Réponse en déplacement calculée par l’intégrale de Duhamel
Vitesse
0.3
0.1
0
-0.1
0
0.84
1.68
2.52
3.36
4.2
5.04
5.88
6.72
7.56
8.4
9.24
10.08
10.92
11.76
12.6
13.44
14.28
15.12
15.96
16.8
17.64
18.48
19.32
20.16
21
21.84
22.68
23.52
24.36
25.2
26.04
m/sec
0.2
-0.2
-0.3
Temps(sec)
Figure 4-4: Réponse en vitesse calculée par l’intégrale de Duhamel
Accélération
1
0
-0.5
0
0.815
1.63
2.445
3.26
4.075
4.89
5.705
6.52
7.335
8.15
8.965
9.78
10.595
11.41
12.225
13.04
13.855
14.67
15.485
16.3
17.115
17.93
18.745
19.56
20.375
21.19
22.005
22.82
23.635
24.45
25.265
26.08
(g)
0.5
-1
temps(sec)
Figure 4-5: Réponse en accélération calculée par l’intégrale de Duhamel
On constate que la valeur maximum des trois réponses ne se produit pas
nécessairement au moment de l’accélération maximum. Ces valeurs sont différentes pour
chaque système. Ils dépendent du chargement et les propriétés de la structure.
4.1.3.1.2.
Spectre de réponse
Ayant calculé la réponse du système pour différentes valeurs de périodes (différentes
valeurs de m et ), on construit le spectre de réponse. Pour cela, on sauve la réponse
maximale, en valeur absolu, de chacune des réponses trouvées. On répète la même procédure
pour les périodes différentes. En traçant les valeurs maximales trouvées en fonction des
périodes on obtient le spectre de déplacements, le spectre de vitesse et le spectre
d’accélération
qui
sont
montrées
dans
les
figures
suivantes :
Bachar KABALAN
Février-Juin 2012
CUST
0.0000
0.0001
0.0011
0.0044
0.0412
0.0452
0.0458
0.0469
0.0475
0.0490
0.0528
0.0675
0.0848
0.1351
0.1722
0.1815
0.1963
0.2243
0.2353
0.2812
0.3489
0.4187
0.5709
0.8971
1.5700
3.6941
5.2333
7.8500
31.4000
SV, Sv( m/sec)
0
0.041
0.046
0.047
0.047
0.048
0.070
0.085
0.086
0.135
0.141
0.172
0.172
0.182
0.186
0.196
0.222
0.224
0.232
0.235
0.256
0.281
0.331
0.349
0.363
0.419
0.483
0.571
0.698
0.897
1.208
1.570
2.093
3.694
4.187
5.233
6.288
7.850
12.560
31.400
SD, Sd (m)
4 . 1 . 3 R é s o l u t i o n | 70
spectre de déplacement
0.15
0.1
0.05
periode (sec)
Figure 4-6: Spectre de déplacement pour l’accélérogramme de Lourde
Spectre de vitesse
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
periode (sec)
Figure 4-7: Spectre de la vitesse pour l’accélérogramme de Lourde
Bachar KABALAN
Février-Juin 2012
CUST
4 . 1 S y s t è m e à u n d e g r é d e l i b e r t é | 71
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.002
0.041
0.048
0.058
0.068
0.070
0.085
0.135
0.141
0.172
0.186
0.196
0.256
0.281
0.292
0.299
0.314
0.331
0.349
0.363
0.419
0.483
0.571
0.698
0.897
1.208
1.570
2.093
3.694
4.187
Sa(g)
spectre d'accélération
periode(sec)
Figure 4-8: Spectre de l’accélération pour l’accelerogramme de Lourde
Pour des petites valeurs de période propre, les structures sont très rigides et possèdent
la même accélération de terre avec un déplacement nulle. Pour des hautes valeurs de période
propre, les structures sont souples. Ils possèdent une accélération nulle et un grand
déplacement.
4.1.3.1.3.
Force-Déplacement
Pour tracer la courbe force-déplacement, on a choisi un système à un degré de liberté des
caractéristiques suivantes :
.
.
Le système étant considère linéaire, la force élastique est calculé en multipliant le
déplacement (obtenue par l’intégral de Duhamel) par la rigidité . Les valeurs obtenues sont
montrées dans la Figure ‎4-9.
Force-Deplacement
force elastique, fs (N)
4000000
-0.01
3000000
2000000
1000000
0
-0.008
-0.006
-0.004
-0.002
-1000000
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
-2000000
-3000000
deplacement, x (m)
Figure 4-9: La force élastique
Bachar KABALAN
, engendrée dans le système linéaire, tracée en fonction du déplacement
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4 . 1 . 3 R é s o l u t i o n | 72
La force élastique maximale est .8
pour un déplacement de .
seront utilisées pour construire la courbe d’hystérésis du système non-linéaire.
. Ces valeurs
4.1.3.1.4.
Problème d’échantillonnage
La précision de la méthode de l’intégral de Duhamel dépend largement du pas du
temps
choisit. Pour vérifier le pas du temps choisit dans l’exemple précédent, on introduit 4
nouveaux points dans chaque pas. Dans notre cas, on a choisi un pas du temps
. Donc, le premier pas de la version ancienne devient :
Puisque l’accelerogramme donne des valeurs d’accélération pour un incrément
de
, on utilise la méthode d’interpolation linéaire pour calculer les valeurs
d’accélération attribuées aux nouveaux points introduites. Ayant l’accélération du sol à chaque
instant, on calcule les nouveaux réponses par l’intégral de Duhamel. Les anciennes et les
nouvelles réponses maximales sont présentées dans le tableau suivant :
Anciennes réponses
(
Nouvelles réponses
(
̈
̇
.
.
̇
.
.
̈
.8
Tableau 4-1 : Effet de l’échantillonnage sur la réponse du structure calculé par l’intégral de Duhamel.
Ces réponses montrent des grands écarts qui sont justifiable. L’intégral de Duhamel est
une méthode de superposition ou la réponse finale est une sommation des réponses à des
impulsions rectangulaires. En plus, la réponse calculée à chaque pas dépend de la réponse qui
précède. Donc, les erreurs engendrées par la méthode d’interpolation et par la méthode de
l’intégral de Duhamel lui-même est transmis d’un pas à l’autre. Si on avait les vrai valeurs de
chargement, les réponses du système s’approcheront des réponses exactes parce que
.
4.1.3.1.5.
Vérification des résultats avec PRISM
Afin de vérifier les résultats obtenus sur Excel par la méthode de l’intégrale de Duhamel,
on résout le même problème sur le logiciel PRISM. PRISM est un logiciel conçue pour analyser la
réponse sismique des systèmes a un degré de liberté. Il est capable de (i) traiter des
accélérogrammes, (ii) calculer les réponses des structures pour différentes modelés
d’hystérésis, (iii) générer des spectres de réponse élastique et inélastique. PRISM utilise les
méthodes
de
Newmark
(accélération
moyenne
ou
accélération
linéaire).
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4 . 1 S y s t è m e à u n d e g r é d e l i b e r t é | 73
Pour les parties qui suivent, on va comparer les réponses de la structure (surtout les
valeurs maxima) obtenue par les deux méthodes. Comme on a déjà mentionné, on utilise les
mêmes donnés de la partie précédente.
Les réponses de la structure
On introduit dans PRISM l’accelerogramme du séisme identifies dans la section (4.1.2).
On adopte la méthode de Newmark avec accélération linéaire en introduisant les valeurs
de
correpondantes. Les réponses en accélération (Figure ‎1-1), en vitesse (Figure ‎4-11) et
en déplacement (Figure ‎4-12) sont montrées dans les diagrammes ci-dessous :
Déplacement [mm]
Note : la réponse à une durée > 15 sec. L’image est coupée pour être plus claire.
Max : 0.65086 (3.125 sec)
Time (sec)
Déplacement [mm]
Figure 4-10: Réponse en accélération calculée par PRISM
Max :-213.54992 (3.065 sec)
Time (sec)
Figure 4-11: Réponse en vitesse calculée par PRISM
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Déplacement [mm]
4 . 1 . 3 R é s o l u t i o n | 74
Max: -10.60665 (3.13 sec)
Time (sec)
Figure 4-12: Réponse en déplacement calculée par PRISM
Les deux méthodes donnent des réponses qui ont la même allure. La différence est dans
les valeurs de chaque réponse. Cette différence est très petite et peut être négligé. Les
réponses maximales de chaque méthode sont montrées dans le tableau suivant :
Accélération
(g)
Duhamel
PRISM
0.6512
0.65086
Valeur
maximale
Instant (sec)
3.125
3.125
Vitesse
(mm/sec)
Duhamel
PRISM
-213.962
-213.55
3.065
Déplacement
(mm)
Duhamel
PRISM
-10.602
-10.60665
3.065
3.13
3.13
Tableau 4-2: comparaison des réponses obtenues par l’intégrale de Duhamel et PRISM
Accélération (g)
En construisant le spectre de réponse élastique sur PRISM, on remarque qu’il a la même
allure du spectre déjà construit sur Excel comme montre Figure ‎4-13.
1
1
0.6
0.6
0.2
0.2
2
1
0
Période (sec)
0.141 0.256
0.349
0.897
Période (sec)
(a)
(b)
Figure 4-13: Allure du spectre de réponse an accélération: (a) fourni par PRISM (b) fourni par Excel
4.1.3.1.6.
Spectre de réponse normalisée
L’Eurocode 8 prescrit l’usage d’un minimum de 3 accélérogrammes dont les 3 spectres
remplissent correctement le spectre de calcul. Donc on a utilisé 7 accélérogrammes des séismes
qui ont frappés Lourdes, France. Chaque spectre était construit sur PRISM et normalisée selon
Bachar KABALAN
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4 . 1 S y s t è m e à u n d e g r é d e l i b e r t é | 75
son PGA enregistré. Les valeurs obtenues étaient transformées à l’Excel pour dessiner les
spectres sur le même diagramme montré ci-dessous :
4.5
4
3.5
moyenne
Sa/(PGA) (g)
3
42
2.5
122
2
123
G002-50
1.5
147
1
591
0.5
592
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
Periode (sec)
Figure 4-14: Les spectres de réponse élastique normalisés pour des accélérogrammes différentes
Le spectre réglementaire qui peut être utilisé pour le calcul est le moyen des spectres de la
Figure ‎4-14 montré ci-dessous :
3
Sa/PGA (g)
2.5
2
1.5
moyenne
1
0.5
0
0
1
2
3
4
5
Periode (sec)
Figure 4-15: spectre de réponse élastique utilisé pour le calcul
Bachar KABALAN
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4 . 1 . 3 R é s o l u t i o n | 76
4.1.3.1.7.
Conclusion
Pour un système élémentaire, la méthode de l’intégrale de Duhamel et la méthode de Newmark
donnent des résultats presque identiques. Les valeurs maximales obtenues et les instants ou ils sont
arrivés sont la même pour les deux méthodes adoptées.
4.1.3.2.
Système non-linéaire
4.1.3.2.1.
Réponse de la structure- Intégral de Duhamel
Pour calculer la réponse d’une structure a un degré de liberté dans le domaine plastique, il suffit
d’utiliser les résultats déjà calculé par la méthode de l’intégrale de Duhamel, le coefficient de
comportement et le coefficient de ductilité. La force élastique calculée dans la section 4.1.3.1.3 est
divisée par un coefficient de comportement. Puis, la déformation limite d’élasticité est multipliée par un
coefficient de ductilité correspondant au coefficient de comportement.
Pour la structure étudie, l’Eurocode 8 recommande un coefficient de comportement
. (Voir le Tableau ‎3-3 et la Figure ‎4-16). Le coefficient de ductilité correspondant au coefficient de
comportement choisi, est obtenu à l’aide de la courbe en fonction de période et pour différentes
valeurs de ductilité.
Tableau 4-3: Limite supérieure de la valeur de référence du coefficient de comportement pour les systèmes réguliers en
élévation [23]
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4 . 1 S y s t è m e à u n d e g r é d e l i b e r t é | 77
Figure 4-16:Valeurs par défaut pour
La structure étudiée à la section 4.1.3.1.3 possède une période propre de 0.2564 sec. Donc pour
ce période et pour
. , le coefficient de ductilité est
. . Pour rendre la solution trouvée dans
la section 4.1.3.1.3 dans le domaine plastique, on divise la force élastique maximale par 2.2 et on
multiplie le déplacement maximal élastique par 2.4. Les valeurs obtenues sont les suivant :
.
Figure 4-17: coefficient de comportement
.
en fonction de période
Spectre de réponse inélastique
Le spectre de réponse inélastique est construit à partir d’un spectre élastique divisé par un
coefficient de comportement. Alors le spectre montrée dans la Figure ‎4-15 est divisée par le coefficient
de comportement choisi dans la partie précédente (
. . Le spectre obtenu est montré dans la
figure
ci-dessous :
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CUST
4 . 1 . 3 R é s o l u t i o n | 78
1.2
Sa/(PGA*R)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
periode(sec)
Figure 4-18: Le spectre de réponse inélastique
4.1.3.2.2.
Réponse de la structure- Méthode de Newmark
Dans cette partie, on s’intéresse aux méthodes des intégrales de pas à pas. Ces
méthodes vont permettre de prendre en compte le changement des caractéristiques du
système (rigidité, amortissement…) au cours du chargement.
La méthode choisit est la méthode de Newmark. Le calcul est fait sur PRISM. On considère que
l’accélération varie linéairement d’un instant à l’autre, ce qui correspond à :
On utilise la même structure de la partie précédente avec la même caractéristique. Pour
introduire la notion de non-linéarité et de plastification, on présente un coefficient de
plastification (coefficient de comportement) R=2. Dans le système linéaire, la force élastique
maximale était
8
et le déplacement maximal correspondante umax=0.0106 m.
Dans le cas d’un système à comportement élastique-parfaitement plastique on obtient :
.
Donc
En utilisant , on calcule la réponse du système non-linéaire. Le calcul est mené sur
PRISM en utilisant la méthode de Newmark -pour une valeur du taux d’amortissement
.
On
utilise
un
pas
de
temps
.
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4 . 1 S y s t è m e à u n d e g r é d e l i b e r t é | 79
Déplacement [mm]
Pour une période (un couple masse-rigidité), on trouve le déplacement, la vitesse et
l’accélération de la structure à chaque instant tN jusqu’à fin du signal comme montre le
Figure ‎4-19, le Figure ‎4-20 et le Figure ‎4-21.
Max: -12.24517(3.495 sec)
Time (sec)
Vitesse [mm/sec]
Figure 4-19: Réponse en déplacement de la structure a l’accélérogramme de Coyote Lake, Lourdes
Max: -184.81794 (3.07 sec)
Time (sec)
Figure 4-20: Réponse en vitesse de la structure a l’accélérogramme de Coyote Lake, Lourdes
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CUST
Accélération [g]
4 . 1 . 3 R é s o l u t i o n | 80
Max: 0.36264(3.095 sec)
Time (sec)
Figure 4-21: Réponse en accélération de la structure a l’accélérogramme de Coyote Lake, Lourdes
Spectre de réponse inélastique
Le spectre de réponse inélastique est calculé par PRISM pour un taux d’amortissement égal 5%
et pour trois valeurs de ductilité 1, 2 et 3. Le spectre montré dans la Figure ‎4-22 est celui du
séisme de Coyote Lake, Lourdes (G002 140).
Figure 4-22: spectre de réponse inélastique de l’accelerogramme de Coyote Lake, Lourdes (
en bleu)
en rouge,
en noir et
4.1.3.2.3.
Force-déplacement
Traçant la courbe force-déplacement pour un système non-linéaire est plus compliquée
qu’un système linéaire. A chaque instant
on vérifie si le déplacement diminue. Si oui, la
rigidité est égale à :
Si non, on vérifie la valeur de la force. Si cette valeur est plus grande que
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, on prend :
CUST
4 . 1 S y s t è m e à u n d e g r é d e l i b e r t é | 81
Ayant calculé le déplacement et la force élastique à chaque instant
force-déplacement qui est donne dans la figure suivante :
, on peut tracer la courbe
1500
1000
FORCE (KN)
500
500
1000
1500
2000
-10
-5
Déplacement [mm]
5
10
Figure 4-23: courbe force-déplacement pour un système non-linéaire a un degré de liberté.
On constate que la force élastique dépasse la limite cinq fois. Les déplacements extrêmes sont :
.
.
.
Afin de savoir à quel moment la plastification arrive, on trace une courbe qui donne 1 (-1) quand
la force élastique est positive (quand est négative) dépasse la limite élastique et 0 si on est dans le
domaine linéaire. La figure est montrée ci-dessous :
Figure 4-24: Plastification du système en fonction du temps.
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4 . 2 S y s t è m e à p l u s i e u r s d e g r é s d e l i b e r t é | 82
La Figure ‎4-24 montre que la plastification arrive entre
même période ou l’accélération du sol est maximale.
.
.
. C’est le
4.2.Système à deux degré de liberté
4.2.1. Caractéristique du système :
La structure étudiée est composée de deux voiles portant un plancher tous ensemble
en béton armée. Les deux voiles sont identiques et ont les dimensions de 5 mx 0.2m et une
hauteur
. La plancher aux dimensions de 5mx 0.25m et une portée de
. Pour
étudier la réponse de la structure de base, on peut le représenter avec les modélisations
illustrées dans les figure suivantes :
(a)
(b)
Figure 4-25: Structure de base : (a) système a deux degrés de liberté et (b) modèle masse-ressort équivalent
Les caractéristiques des éléments et des masses sont pris dans une manière de
respecter les contraintes données. Le diaphragme est plus rigide que les contreventements
verticaux. Ces derniers sont dimensionnées pour entre dans le domaine plastique sous un
séisme correspondant à un état limite de non effondrement. Ces caractéristiques sont
présentes dans le tableau suivant :
Plancher
Voile
Masse (kg)
8700
7400
Rigidité (N/m)
3x107
2x107
Tableau 4-4: caractéristique de la structure de base
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4 . 2 . 2 c a r a c t é r i s t i q u e s d u s y s t è m e | 83
Le mouvement du système est décrit par le déplacement de la plancher et les voiles. En
considérant que les voiles ont le même déplacement, on obtient les vecteurs et matrices
suivantes :
[
] Kg
[
]
(
)
En général, on ne peut pas découpler les équations du mouvement d’un système
amorti. Pour cela, on définit une matrice d’amortissement de manière que les facteurs
d’amortissement du 1er et 2nd mode soient égaux à 5% de l’amortissement critique. En
supposant un amortissement de Rayleigh
(
), on peut calculer les
facteurs de proportionnalité et
à partir de la relation suivante :
( )
(
[
)
4.4.
]
La matrice d’amortissement obtenue :
[
]
.
4.2.2. Résolution
Cette partie fait l’objet de cette mémoire. On va calculer la réponse de la structure
décrit dans section 4.2.1 par deux méthodes : la méthode de superposition modale et la
méthode de Newmark. Ensuite, on compare les résultats obtenus.
4.2.2.1. Superposition modale
Dans cette méthode, on change les deux équations du mouvement couplées du système
discret à deux degrés de liberté à deux équations découplées par une transformation aux
coordonnées modales. La réponse linéaire de chaque mode est calculé par la méthode de
l’intégral de Duhamel. La réponse totale est obtenue par sommation de la réponse des deux
systèmes élémentaires. Puis, en utilisant la notion de coefficient de comportement et
coefficient de ductilité, on obtient la réponse de la structure dans le domaine non linéaire.
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4 . 2 S y s t è m e à p l u s i e u r s d e g r é s d e l i b e r t é | 84
La procédure de calculer la réponse à un tremblement de terre par superposition
modale est présentée dans section 2.3.1. Les étapes à suivre sont :
1. Ecrire les équations couplées du mouvement :
] ( ̈̈ )
[
]( )
+[
] ( ̇̇ )
[
[
]( ) ̈
2. Calculer les 2 périodes et mode propres de vibration
vibration libre non amortie :
.
.
(
(
)
)
(
.
(
.8
.
8
.
pour le problème de
)
)
3. Calculer la masse et le chargement généralisés relatifs à chaque mode
̃
:
(
̃
̃
)
̃
( )
̈
(
̃
̃
)
(
.
.
) ̈
4. Ecrire 2 équations de mouvement indépendantes
̈
̈
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̇
̃
̇
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̃
̈
̈
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4 . 2 . 3 R é s o l u t i o n | 85
5. Calculer la réponse modale à l’aide de l’intégral de Duhamel
(
̃
)
̃
(
)
∫ ̈
6. Calculer la réponse dans le système de coordonnées géométriques à partir des
réponses modale
(
Mode 1 :
(
(
Mode 2 :
)
)
(
)
(
.
)
.8
)
(
.
)
.
Les déplacements maximums probables des degrés de liberté 1 et 2 valent d’après la règle de la
moyenne quadratique,
(
√
)
√
.
)
.8
(
Evidemment, le mode 1 contribue la totalité de la réponse maximum.
7. Calculer les forces élastiques correspondant aux déplacements
.
(
Mode 1 :
(
Mode 2 :
.
.
)
)
Les forces élastiques maximums correspondant aux déplacements des masses valent d’après la
règle de la moyenne quadratique,
(
Bachar KABALAN
.
√
√
.8
.
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)
(
.
)
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4 . 2 S y s t è m e à p l u s i e u r s d e g r é s d e l i b e r t é | 86
8. Calculer les forces de cisaillement a la base. Les vecteurs des forces de
cisaillement associées aux modes 1 et 2 s’obtiennent en sommant les forces
élastiques de bas en haut (les deux degrés de liberté sont au même niveau) :
(
)
(
.
)
.
Les forces de cisaillement maximums (sur les 2 supports) probables aux degrés de liberté 1 et 2
d’après la règle de la moyenne quadratique,
(
√
.
√
.
)
(
)
Par un calcul simple, on trouve que chaque support est sollicité par un moment
8
. .
Exploitation des résultats :
Dans la partie précédente, le calcul est fait en basant sur le fait que le système reste
dans le domaine élastique. Dans ce qui suit, on applique une méthode de linéarisation
équivalente par un coefficient de comportement pour rendre les résultats dans le domaine non
linéaire.
On trace la force élastique en fonction du déplacement pour chaque degré de liberté.
On rappelle que la force élastique sur chaque voile est celui obtenue pour le premier degré de
liberté divisée par deux. L’allure de la force élastique est montrée dans la figure ci-dessous :
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4 . 2 . 3 R é s o l u t i o n | 87
60000
50000
fel(kN)
40000
30000
DDL1
20000
DDL2
10000
0
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
(mm)
Figure 4-26: diagramme force élastique - déplacement
L’exigence de cette structure est que les voiles aient un facteur de ductilité plus grand
que celui du diaphragme. A l’aide du diagramme du coefficient de comportement en fonction
de période pour différentes valeurs de ductilité (Figure ‎4-27), on a choisi les coefficients
suivants :
Coefficient de comportement
Voile
diaphragme
2.13
1.36
Tableau 4-5: les valeurs de
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Coefficient de ductilité
3
1.3
choisi pour chaque élément
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4 . 2 S y s t è m e à p l u s i e u r s d e g r é s d e l i b e r t é | 88
Figure 4-27: - le coefficient de comportement en fonction de période pour
Donc, en divisant , la valeur maximum de la force interne causée par le séisme dans
le système linéaire, par on obtient fSmax=fSy, la force qui engendre la plastification du système
élastique-parfaitement plastique. Quand on a fSy on peut facilement calculer uy, le déplacement
à l’amorce de la plastification du système non linéaire. Ensuite on calcul, à l’aide du coefficient
de ductilité, umax qui est le déplacement maximum. Les résultats obtenus sont les suivantes :
Voile
Plancher
.
.
Déplacement (mm)
Force plastique (kN)
uy
2.9
17.14
umax
8.6
17.14
uy
5.7
36.9
.
umax
7.4
36.9
Tableau 4-6: les Déplacements et les forces élastique pour chaque élément.
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CUST
4 . 2 . 4 E x p l o i t a t i o n d e s r é s u l t a t s | 89
60000
50000
fel (N)
40000
30000
DDL (voile)
20000
DDL2(diaphragme)
10000
0
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
x(m)
Figure 4-28: diagramme de force élastique vs. déplacements.
Comme précis dans la partie 4.2.1 et comme montre la Figure ‎4-28, les éléments
verticaux entrent dans le domaine plastique avant le diaphragme. En plus, ce dernier possède
une rigidité plus grande que celle de la voile.
4.2.2.2. Méthode implicites de Newmark
Pour effectuer un calcul dynamique non linéaire, on utilise la méthode de Newmark.
L’algorithme de cette méthode est présenté dans la section 2.5.2. Un programme est fait sur
MATLAB (voir l’annexe) pour calculer le déplacement, vitesse, accélération et force élastique du
système. Les données sont les mêmes que la partie précédente. La relation force-déplacements
élastique-parfaitement plastique utilisée pour vérifier la plastification est décrite par la courbe
présentée à la Figure ‎4-28.
Pour prendre en compte la non-linéarité, un test est fait à chaque pas de temps. La
valeur de la force élastique et l’évolution de la force-déplacement aident à indiquer si on est
dans le domaine élastique ou plastique. On a effectué le calcul pour différentes ratios de la
force plastique engendrée dans la plancher sur la force plastique engendrée dans les voiles afin
de trouver des résultats similaires à ceux trouver dans la méthode modale. Les résultats retenus
sont montrés ci-dessous:
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4 . 2 . 4 E x p l o i t a t i o n d e s r é s u l t a t s | 90
déplacement (mm)
Les voiles
14
12
10
8
6
4
2
0
uy-Newmark
umax-Newmark
uy-méthode modale
umax-méthode modale
1.875 1.889 1.938 1.969 2.000 2.000 2.118 2.138 2.176 2.571
ratio des forces plastiques
Figure 4-29: les déplacements en fonction des ratios des forces plastiques pour les voiles.
Le plancher
déplacement (mm)
12
10
8
uy-Newmark
6
umax-Newmark
4
uy-méthode modale
2
umax-méthode modale
0
1.875 1.889 1.938 1.969 2.000 2.000 2.118 2.138 2.176 2.571
ratio des forces plastiques
Figure 4-30: les déplacements en fonction des ratios des forces plastiques pour le plancher.
Les meilleur résultats trouvées est pour un ratio égale à 1.938. Les différentes valeurs
correspondantes à ce ratio sont montrées dans le tableau et la figure suivante :
Voile
Déplacement (mm)
Force plastique (kN)
Ductilité (
uy
2.8
16
Plancher
umax
8.7
16
3.1
uy
5.3
31
umax
8
31
1.5
Tableau 4-7: les déplacements et les forces obtenues par le calcul non linéaire.
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CUST
4 . 2 . 4 E x p l o i t a t i o n d e s r é s u l t a t s | 91
35
30
Force (kN)
25
20
15
1DDL
10
2DDL
5
0
0
2
4
6
8
10
x(mm)
Figure 4-31: diagramme de force élastique vs. Déplacement
4.2.3. Exploitation des résultats
4.2.3.1.
Comparaison des résultats
Afin d’exploiter les résultats obtenus, on les regroupe dans le Tableau ‎4-8. Au niveau
des déplacements, les deux méthodes donnent des résultats très proches. Le plus grand écart
est de grandeur de .
. Par conséquent, ça donne des niveaux de ductilité très proches
comme on peut voir dans le tableau ci-dessous. Pour les forces plastiques calculées, on a
obtenu un écart de
au niveau de plancher et
au niveau des voiles.
Voile
Déplacement
(mm)
Force plastique
(kN)
Ductilité (
Plancher
uy
umax
uy
umax
Modale Newmark Modale Newmark Modale Newmark Modale Newmark
2.9
2.8
8.6
8.7
5.7
5.3
7.4
8
17.14
16
17.14
16
36.9
31
36.9
31
3
3.1
3
3.1
1.3
1.5
1.3
1.5
Tableau 4-8: les résultats obtenus par la méthode modale et la méthode de Newmark.
4.2.3.2.
Conclusion
Les sollicitations sismiques sont essentiellement du type déformation imposée ce qui
entraine que le mode de ruine est généralement associé à une limite de déformation plutôt
qu’a une limite de résistance qui détermine la sécurité des constructions [1]. Donc, vu les
résultats obtenus, surtout les déplacements, on peut dire que la méthode de superposition
modale (méthode de Duhamel) et la méthode de Newmark sont valables et fiables.
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4 . 2 . 4 E x p l o i t a t i o n d e s r é s u l t a t s | 92
Par rapport aux forces, les résultats ne sont pas compatibles surtout au niveau de
plancher. La raison peut être retracée à la méthode de combinaison quadratique utilisée pour
calculer les forces engendrées dans chaque élément. La force engendrée dans le plancher peut
avoir un signe diffèrent dans deux modes de vibration. Dans les voiles, la force a eu le même
signe dans les deux modes. Ça peut être la raison pour laquelle l’écart entre les valeurs des
forces calculées par les deux méthodes (Newmark et superposition) était plus grand au niveau
de la plancher que les voiles.
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5 . C o n c l u s i o n | 93
5. Conclusion
L’étude menée dans ce rapport a permis de calculer la réponse non linéaire d’une structure
multi-composante soumis à un séisme donné. On a appliqué deux méthodes de calcul afin d’analyser et
comparer les résultats obtenues. La première méthode utilisée est une méthode de linéarisation
équivalente par un coefficient de comportement. L’autre est une méthode de calcul dynamique non
linéaire directe.
Partie I de la mémoire était consacré à des systèmes a un degré de liberté. L’importance de
cette partie est qu’elle a introduit des notions et des méthodes de calculs aussi utilisées pour des
systèmes à plusieurs degrés de liberté. Dans cette partie, on a décrit les systèmes élémentaires,
l’équation de mouvement correspondante et les méthodes de résolution différentes. On a vu les
réponses linéaires et non linéaires des structures et comment construire les spectres de réponses
correspondantes.
Dans Partie II, on a présenté les systèmes à plusieurs degrés de liberté. On a suivi la même
démarche de la Partie I. On a décrit l’équation de mouvement associé à un système à plusieurs degrés
de liberté et les méthodes de résolution dans le domaine linéaire et non linéaire. Cette partie a fait la
base de cette étude. Les notions et méthodes établi étaient utilisées dans l’application numérique qui
est l’objective de cette mémoire.
Dans la troisième partie, on a présenté quelques règlementations sismiques de l’Eurocode 8. On
a vu les méthodes adoptées pour construire le spectre de réponse horizontale et le spectre vertical.
Ensuite on a décrit le coefficient de comportement et le spectre de calcul. Finalement, on a cité le
principe de la dimensionnent en capacité ainsi que les règles différentes la gouverne.
Enfin, le dernier chapitre a été consacré aux applications numériques. Cette partie fait
l’objective de ce mémoire. Dans un premier temps, on a utilisé la méthode de l’intégral de Duhamel et la
méthode de Newmark pour calculer la réponse d’un système élémentaire quelconque dans le domaine
linéaire et non linéaire. Dans un deuxième temps, on a calculé la réponse d’une structure à deux degrés
de liberté décrite dans le premier paragraphe de l’application. Ce chapitre, surtout la deuxième section,
a permis d’identifier les points forts et les points faibles de chaque méthode de calcul adoptée. Dans la
méthode de superposition modèle, la difficulté est dans le choix d’une méthode de combinaison des
forces et des déplacements et dans le bon choix des coefficients de comportement et des facteurs de
ductilité. Pour la méthode de Newmark, on a rencontré des difficultés en assurant la différence entre
les demandes en ductilité des voiles et de la plancher.
Finalement, les résultats obtenus sont satisfaisants car ils sont très proches. En revanche, on
pourra les améliorer. Pour la méthode de superposition modale, on pourra adopter des autres formules
pour combiner les réponses de chaque mode. Il y a des formules qui prendre en compte la corrélation
entre les modes différentes. Pour la méthode de Newmark, on pourra l’utiliser avec la réduction de
l’erreur par la méthode de Newton pour des systèmes non linéaires.
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CUST
R é f é r e n c e s b i b l i o g r a p h i q u e s | 94
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Annexe A
Outils de calcul
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A n n e x e A | 97
1. Excel
La méthode de l’intégral de Duhamel et la méthode de Newmark utilisée pour mener le calcul
dans cette mémoire étaient effectuées sur Excel. Les algorithmes adoptés pour chaque méthode
sont mentionnées dans les chapitres précédents. Les figures suivantes montrent les calculs :
Figure A 1: la méthode de l’intégral de Duhamel sur EXCEL
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Figure A 2: Calcul de la méthode de Newmark sur EXCEL
2. MATLAB
J’ai écrit des programmes sous MATLAB qui permet de résoudre l’équation de
mouvement d’un système à un degré de liberté et à plusieurs degrés de liberté dans le
domaine linéaire et non linéaire. Les programmes montrés ci-dessous sont pour les systèmes
non linéaires. Pour les programmes décrivant les systèmes linéaires il suffit d’annuler la
condition de plasticité.
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Système a un degré de liberté
B=1/6;%betta
g=0.5;%gamma
dt=0.005;%delta t
a0=1/(B*dt^2);
a1=g/(B*dt);
a2=1/(B*dt);
a3=1/(2*B);
a4=g/B;
a5=(g/(2*B)-1)*dt;
P=xlsread('data-2003.xlt');% introduction de l'accelergoramme (matrice 2x5370)
P=-P;
K0=300000000;%rigidite initial
K=K0;
M=500000;
C=1224745;
u=zeros(5370,1);
up=zeros(5370,1);
u2p=zeros(5370,1);
u2p(1,1)=P(1,1)/M;
fel=zeros(5370,1);% force élastique
du=zeros(5370,1);% incrément de déplacement
dup=zeros(5370,1);% incrément de vitesse
for i=1:5370
if i==5370
dP(i)=0;
else dP(i,1)=P(i+1)-P(i);
end
end
dPeff=zeros(5370,1);
dPeff(1,1)=dP(1,1)+(a2*up(1,1)+a3*u2p(1,1))*M+(a4*up(1,1)+a5*u2p(1,1))*C;
Keff=K+a0*M+a1*C;
du(1,1)=dPeff(1,1)/Keff;
dup(1,1)=a1*du(1,1)-a4*up(1,1)-a5*u2p(1);
for i=1:5370
if i==5370
else
Keff=K+a0*M+a1*C;% Keff rigidité effective
dPeff(i)=dP(i) + (a2*up(i)+a3*u2p(i))*M+(a4*up(i)+a5*u2p(i))*C;
du(i)=dPeff(i)/Keff;
dup(i)=a1*du(i)-a4*up(i)-a5*u2p(i);
u(i+1,1)=u(i,1)+du(i,1);
up(i+1,1)=up(i,1)+dup(i,1);
if abs(fel(i,1)+K*du(i,1))>=1590260 %condition de plastification de 1er DDL
fel(i+1,1)=sign(fel(i,1)+K*du(i,1))*1590260;
else
fel(i+1,1)=fel(i,1)+K*du(i,1);
end
if abs((fel(i+1)-fel(i))/(u(i+1)-u(i)))>0
if abs(fel(i+1))>=1590260
K=0;
else
K=K0;
end
else
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if (abs(u(i+1))-abs(u(i)))<0
K=K0;
else
K=0;
end
end
u2p(i+1)=(P(i+1)-C*up(i+1)-fel(i+1))/M;
end
end
Système a deux degrés de liberté
B=1/6;%betta
g=0.5;%gamma
dt=0.005;%delta t
a0=1/(B*dt^2);
a1=g/(B*dt);
a2=1/(B*dt);
a3=1/(2*B);
a4=g/B;
v=0;
z=0;%%% v et z sont des variables pour déterminer la plastification
a5=(g/(2*B)-1)*dt;
P=xlsread('2matlab.xls');% introduire l'accélérogramme (matrice 2x5370)
P=-P;
K0=[5*10^7 -3*10^7; -3*10^7 3*10^7];%rigidité initial
K=K0;
M=[14800 0; 0 8700];
C=[76000 -27000;-27000 45000];
u=zeros(5370,2);
up=zeros(5370,2);
u2p=zeros(5370,2);
u2p(1,:)=([P(1,:)*inv(M)]')';
fel=zeros(5370,2);% force élastique
du=zeros(5370,2);% incrément de déplacement
dup=zeros(5370,2);%incrément de vitesse
du2p=zeros(5370,2);%incrément d'accélération
for i=1:5370
if i==5370
dP(i,1)=0;
dP(i,2)=0;
else dP(i,1)=P(i+1,1)-P(i,1);
dP(i,2)=P(i+1,2)-P(i,2);
end
end
dPeff=zeros(5370,2);
dPeff(1,:)=dP(1,:)+(a2*up(1,:)+a3*u2p(1,:))*M+(a4*up(1,:)+a5*u2p(1,:))*C;%akid a3?
Keff=K+a0*M+a1*C;
du(1,:)=(inv(Keff)*dPeff(1,:)')';
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dup(1,:)=a1*du(1,:)-a4*up(1,:)-a5*u2p(1,:);
du2p(1,:)=a0*du(1,:)-a2*up(1,:)-a3*u2p(1,:);
for i=1:5370
if i==5370
else
u(i+1,:)=u(i,:)+du(i,:);
up(i+1,:)=up(i,:)+dup(i,:);
u2p(i+1,:)=u2p(i,:)+du2p(i,:);
if abs(fel(i,1)+(K*du(i,:)')'*[1;0])>=34288 %condition de plastification de la 1er DDL
fel(i+1,1)=sign(fel(i,1)+(K*du(i,:)')'*[1;0])*34288;
else
fel(i+1,1)=fel(i,1)+(K*du(i,:)')'*[1;0];
end
if abs(fel(i,2)+(K*du(i,:)')'*[0;1])>=36891 %condition de plastification de la 2eme DDL
fel(i+1,2)=sign(fel(i,2)+(K*du(i,:)')'*[0;1])*36891;
else
fel(i+1,2)=fel(i,2)+(K*du(i,:)')'*[0;1];
end
if abs((fel(i+1,1)-fel(i,1))/(u(i+1,1)-u(i,1)))>0 %condition de rigidité 1DDL
if(abs(fel(i+1,1)))>=34288
K(:,1)=0;
v=v+1;
J1(v)=i;
else
K=K0;
end
else
if (abs(u(i+1,1))-abs(u(i,1)))<0
K=K0;
else
K(:,1)=0;
v=v+1;
J1(v)=i;
end
end
if abs((fel(i+1,2)-fel(i,2))/(u(i+1,2)-u(i,2)))>0 %condition de rigidité 2DDL
if(abs(fel(i+1,2)))>=36891
K(:,2)=0;
z=z+1;
J2(z)=i;
else
K=K0;
end
else
if (abs(u(i+1,2))-abs(u(i,2)))<0
K=K0;
else
K(:,2)=0;
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z=z+1;
J2(z)=i;
end
end
Keff=K+a0*M+a1*C;% Keff rigidité effective
dPeff(i+1,:)=dP(i+1,:) + (a2*up(i+1,:)+a3*u2p(i+1,:))*M+(a4*up(i+1,:))*C;
du(i+1,:)=(inv(Keff)*dPeff(i+1,:)')';
dup(i+1,:)=a1*du(i+1,:)-a4*up(i+1,:)-a5*u2p(i+1,:);
du2p(i+1,:)=a0*du(i+1,:)-a2*up(i+1,:)-a3*u2p(i+1,:);
end
end
3. PRISM
Comme j’ai réalisé les calculs, j’ai eu besoin d’un logiciel pour les valider. On a utilisé le logiciel
PRISM qui analyse la réponse sismique des systèmes à un degré de liberté. PRISM est capable de (i)
traiter les mouvements qui sont produit par des tremblements de terre (ii) calculer les réponses des
structures pour plusieurs modèles d’hystérésis (III) produire des spectres de réponse élastique et
inélastique. La mise à l’échelle, recadrage et la correction de Baseline d’un accelerogramme est possible
avant le calcul des réponses.
Caractéristiques principal du PRISM :
1. Traitement des tremblements de terre :
a. Mise à l’échelle et recadrage
b. Correction de Baseline
c. Surveiller l’intensité d’Arias
2. Analyse des réponses dynamiques
a. Résultats numériques et graphiques de l’accélération, vitesse et déplacement
b. Tracer la courbe force-déplacement dans le domaine inélastique
c. Analyse dynamique non linéaire pour plusieurs courbes d’hystérésis : élastique
linéaire, Bilinéaire, Tri-linéaire, Bouc-Wen, Takeda modifie et Al-bermani.
3. Spectre de réponse :
a. Spectre de réponse élastique pour plusieurs valeurs des taux d’amortissement.
b. Spectre de réponse inélastique pour plusieurs valeurs de ductilité
c. Résultats numériques et graphiques de formats différents comme l’ADRS
(Acceleration-Displacement Response Spectrum)
On montre ci-dessous quelque résultat obtenu par PRISM :
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Figure A 3 : accelerogramme du séisme de Coyote Lake, Lourde, France.
Figure A 4 : Réponse en vitesse d’un système élémentaire.
Figure A 5 : Spectre d’accélération inélastique pour différentes coefficient de ductilité.
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Annexe B
Vérification des calculs effectuées sur Excel et
MATLAB par PRISM
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Vu le fait qu’on a besoin de calculer la réponse d’un système a plusieurs degrés de liberté sans la
disponibilité d’un logiciel, on a dû d’écrire notre propre programme. Les programmes étaient écrits sous
MATLAB et EXCEL et valider par PRISM qui traite que des systèmes élémentaire.
Donc, on a validé les programmes décrivant des systèmes à un degré de liberté. Apres la
vérification, on a modifié ces programmes pour qu’ils décrivent des systèmes à plusieurs degrés de
liberté. Les résultats pour un système non linéaire à un degré de liberté par chaque outil de calcul sont
montrés ci-dessous :
1. Déplacement
10
x(mm)
5
0
-5
00.511.522.533.544.555.566.577.588.599.5110.5
0 11
11.5
12
12.5
13
13.5
14
14.5
15
15.5
16
16.5
17
17.5
18
18.5
19
19.5
20
20.5
21
21.5
22
22.5
23
23.5
24
24.5
25
25.5
26
26.5
27
-10
-15
Temps(sec)
Figure B- 1: Excel
Figure B- 2: MATLAB
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Figure B- 3: PRISM
EXCEL
MATLAB
PRISM
Déplacement (mm)
Max
Min
7.917
-12.34
7.875
-12.45
7.896
-12.245
Tableau B- 1: déplacements obtenues par chaque outil de calcul
2. Vitesse
0.2
0.15
0.1
m/sec
0.05
0
10.5
111.5
1122.5
1133.5
1144.5
1155.5
1166.5
1177.5
1188.5
1199.5
2200.5
2211.5
222.5
2233.5
2244.5
2255.5
2266.5
2277.5
2288.5
-0.05 00.511.522.533.544.555.566.577.588.599.510
-0.1
-0.15
-0.2
-0.25
temps(sec)
Figure B- 4: EXCEL
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Figure B- 5: MATLAB
Figure B- 6: PRISM
EXCEL
MATLAB
PRISM
vitesse (mm/sec)
Max
Min
146.64
-185.08
146.29
-185.07
146.29
-185.82
Tableau B- 2: vitesse obtenue par chaque outil de calcul
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