Le lambda-calcul

Principes des lang. de progr.
INE 11
Michel Mauny
Inria-Paris
pré[email protected]
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Le lambda-calcul
1Termes du λ-calcul
2Propriétés
3Programmer en λ-calcul
4Stratégies d’évaluation
Stratégies internes/externes
Réduction faible
Stratégie externe gauche, standardisation
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Le λ-calcul
Système formel basé sur les fonctions
Alonzo Church, 193x
problème de décision – de validité de formules logiques –
⇒fonctions calculables
Alan Turing : machines ⇒fonctions calculables
λ-calcul ≈machines de Turing
Utilité
fondement des langages de programmation (bloc, fonction/procédure)
fondement des langages fonctionnels
sémantique dénotationnelle
systèmes de spécification et de preuves de programmes
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Termes
Grammaire Les termes du λ-calcul, aussi appelés λ-termes, sont donnés
par la grammaire suivante :
M,e::= xidentificateurs
|e e applications
|λx.eabstractions (eest le corps
la portée de x)
Lire «λx.e» comme «fun x→e»
Syntaxe concrète
l’application «associe à gauche» :
e1e2e3≡(e1e2)e3
l’abstraction «porte» aussi loin que possible :
λx.λy.λz.xzyz ≡λx.(λy.(λz.xzyz))
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Variables, occurrences
Occurrences de variables
Occurrences liantes : là où on introduit une variable (λ)
Occurrences liées : se rapportant à une occurrence liante
Occurrences libres : pas d’occurrence liante correspondante
freeVars(x) = {x}
freeVars(e1e2) = freeVars(e1)∪freeVars(e2)
freeVars(λx.e) = freeVars(e)− {x}
Exemple : (les occurrences rouges sont libres)
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Substitution
La substitution d’un terme Mà une variable xdans le terme e, notée
[M/x]e, est définie comme le terme résultant du remplacement de toutes
les occurrences libres de xpar Mdans e:
[M/x]x=M
[M/x]y=y,pour y6=x
[M/x](e1e2) = ([M/x]e1)([M/x]e2)
[M/x](λx.e) = (λx.e)
[M/x](λy.e) = λy.[M/x]epour x6=yet y6∈ freeVars(M)
[M/x](λy.e) = λz.[M/x]([z/y]e)
pour z6∈ freeVars(e)∪freeVars(M)
et z6=xet y6=x
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Équivalences, réductions
α-équivalence
le nom des variables liées (les variables muettes) importe peu
on peut les renommer à volonté, mais de façon cohérente
α-équivalence (ou α-conversion)
(α)λx.e←→ λy.[y/x]e,
pour yn’apparaissant ni libre, ni liée dans e
relation d’équivalence
passage au contexte
Les λ-termes sont (presque toujours) considérés modulo
α-équivalence
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Équivalences, réductions
β-équivalence
passage d’argument à une fonction de paramètre formel x
β-équivalence (ou β-conversion)
(β) (λx.e)M←→ [M/x]e
sens →: avancer dans le calcul
sens ←: factoriser M
La règle importante du λ-calcul
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Équivalences, réductions
η-équivalence
egalité entre fet x7→ f(x)
η-équivalence (ou η-conversion)
(η)λx.ex ←→ e,si x6∈ freeVars(e)
en OCaml :
changer fact en (fun n→fact(n))
changer e: () en (fun () →e())
pour évaluer eà chaque application
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Notations
Utilisation des conversions (équivalence, réduction)
«candidat à réduction» appelé radical
passage au contexte : réduire des sous-termes quelconques
fermeture transitive : chaînes de conversions
Notation
M=αN
M∗ ←→ N
M∗ →β,α N
Vocabulaire
terme irréductible / normalisé / en forme normale
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Questions
Utiliser la règle βpour réduire (calculer)
choisir un (sous-terme) radical
le réduire ⇒nouveau terme
recommencer
Questions
comment choisir le prochain radical (stratégie) ?
cela termine-t-il toujours ?
le résultat final dépend-il de ce choix ?
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Terminaison
Cela termine-t-il toujours ? Non !
la réduction de (λx.xx)(λx.xx)ne termine pas
pas étonnant (expressivité théorique)
Définitions
Normalisation forte
eest dit fortement normalisant
si
toutes les réductions partant de e
sont finies.
Normalisation faible
eest dit faiblement normalisant
si
∃une réduction finie de emenant à
un terme irréductible.
(λx.λy.y)((λx.xx)(λx.xx))est faiblement normalisant
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Confluence
Théorème
Si M∗ →βNet M∗ →βP, alors ∃Qtel que N∗ →βQet P∗ →βQ
M
NP
Q
**
**
Corollaire
Les formes normales, quand elles
existent, sont uniques
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Programmer en λ-calcul
Booléens True ≡λx.λy.x
False ≡λx.λy.y
If ≡λa.λb.λc.a b c
On a : If True B C ∗ →βB
If False B C ∗ →βC
Paires/Listes Pair ≡λa.λb.λp.p a b
First ≡λa.aTrue
Rest ≡λa.aFalse
On a : First (Pair A B)∗ →βA
Rest (Pair A B)∗ →βB
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Programmer en λ-calcul
Liste vide Nil ≡λx.True
Cons ≡Pair
Null ≡λa.a(λx.λy.False)
On a : Null Nil ∗ →True
Null (Cons A B)∗ →False
Nombres Zero ≡λf.λx.x
One ≡λf.λx.f x
Two ≡λf.λx.f(f x)
Three ≡λf.λx.f(f(f x))
. . .
Succ ≡λn.λf.λx.f((n f )x)
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