TD n°1

CAPES 2006–2007 Electrocinétique TD n˚1
Exercice 1 : Vitesse moyenne des porteurs de charge.
Le cuivre a pour masse molaire M= 63.54 g.mol−1et pour masse volumique µ= 8.8 103kg.m−3.
1. Calculer le nombre nd’atome de cuivre par unité de volume.
2. En admettant que le nombre d’électrons par unité de volume, assurant la conduction, soit égal
àn, calculer la vitesse moyenne < v > de ces électrons correspondant à un courant de 10 A
circulant dans un fil de section droite s= 1 mm2.
On donne : NA= 6.02 1023,e= 1.6 10−19 C.
Exercice 2 : Modèle macroscopique de conduction.
Pour interpréter le courant électrique constant qui traverse un métal soumis à un champ électrique
constant ~ E0on admet que l’action des ions positifs du réseau peut être modélisée comme une force
de frottement visqueux du type ~ f=−λ~v où ~v désigne la vitesse du porteur de charge. On désigne
par Nla densité de porteurs de charges, qleur charge, mleur masse.
1. Quels sont les porteurs de charge dans un métal ? Donner les valeurs numériques de qet m
pour ces porteurs.
2. Déterminer la loi v(t)dans le cadre du modèle envisagé (modèle macroscopique).
On rappelle que dans un modèle microscopique de conduction, la vitesse moyenne des porteurs
(vitesse d’entraînement) est donnée par < ~v >=qτ/m ~ E0où τdésigne la durée moyenne entre
deux chocs subis par les porteurs de charge.
3. Donner l’expression de la conductivité (dite statique) du métal en fonction de N, m, q, et τ.
4. Donner le lien entre le coefficient λet la durée τintroduite dans le modèle microscopique.
Quelle signification τa-t-elle dans le modèle macroscopique ?
Le métal est maintenat soumis à un champ électrique alternatif ~ E=~ E0cos(ωt).
5. Déterminer l’expression de la conductivité (dite complexe) du métal en fonction de N,m,q,ω,
λ. Retrouver la limite statique.
6. Quelle est la fréquence limite au delà de laquelle le module de la conductivité dynamique diffère
de plus de 0.1% de la conductivité statique ? A.N. pour le cuivre caractérisé par τ= 2.5 10−14s.
7. Pour quelle fréquence le courant est-il en quadrature de phase avec le champ électrique ?
Exercice 3 : Loi d’échauffement d’un conducteur.
Un fil de fer cylindrique de section S= 0.25 mm2, de longueur L= 1 m, de masse volumique
̺= 8 g/cm3et de chaleur massique c= 460 J.kg−1.K−1(indépendante de la température), possède
une résistivité qui varie linéairement avec la température θ, exprimée en degré Celsius : ρ=ρ0(1+αθ).
On donne ρ0= 1.25 10−7USI et α= 5.10−3 ˚C−1.
Une partie de la chaleur apportée par effet Joule est rayonnée dans le milieu ambiant avec une
puissance proportionnelle à la surface latérale Sdu conducteur et à sa température : P=kSθ avec
k= 50 W.m−2.˚C−1. Initialement la température du fil est θ(0) = 0˚C.
1. En quelle unité s’exprime la résistivité ρ?
On considère les deux situations suivantes :
- un courant d’intensité Iparcourt le fil.
- un générateur de tension idéal maintient entre les extrémités du fil une tension constante U.
1

2. Etablir dans les deux cas l’équation différentielle déterminant le comportement de θ.
3. Donner la loi d’échauffement θ(t). On négligera le terme en facteur de αdans le second cas.
4. Monter qu’un régime permanent s’établit et trouver alors la température d’équilibre en fonction
des données du problème. Faire l’application numérique.
Exercice 4 : Application du théorème de Thévenin.
1. Déterminer le générateur de Thévenin équivalent au réseau suivant entre les points Aet B.
R
e
1
1e2
e3
R4
R2R
B
A
3
A.N. e1=e2=e3= 30 V, R1=R2=R4=10 Ω,R3=20/3 Ω.
2. On place entre Aet Bun moteur à courant continu (récepteur) de f.c.é.m e′= 20 V en série
avec une résistance R= 50 Ω. Déterminer
– le sens de polarisation du récepteur,
– l’intensité du courant dans le récepteur,
– l’énergie utilisée par le moteur durant deux heures.
Exercice 5 : La nature fait bien les choses.
On suppose inconnue la loi d’Ohm U=Ri et on définit la résistance électrique d’un dipôle résistif
par l’expression de la puissance P=Ri2qui y est dissipée par effet Joule lorsque Rest traversée
par un courant constant d’intensité i. On envisage un dipôle constitué de deux résistances montées
en parallèle, nourri par un courant total i. Montrer que la puissance totale dissipée par effet Joule
passe par un minimum pour une valeur du courant i1traversant R1que l’on interprètera.
2