Ondes électromagnétiques dans les métaux

3.2. Applications numériques : calculer δ dans le cuivre à 50 Hz et à 5 GHz et comparer au
diamètre des fils utilisés en TP.
3.3. Multiplier l’équation de dispersion par E puis revenir à la notation réelle et interpréter
Ondes électromagnétiques dans les métaux - Exercice
1ère partie - Modélisation du métal dans l’ARQS (conducteurs ohmiques)
Hypothèses
Modèle de Drude : électrons libres (masse me , charge –e) avec une densité ne soumis à la
m
force − v et ions fixes. Champ E de période T ≫ τ ≈ 10-14 s (le milieu réagit
le résultat. Interpréter la quantité 1
instantanément aux variations du champ aux fréquences électrocinétiques).
de la forme
On rappelle ici les principaux résultats obtenus.
Densités de charges et de courants dans un métal
Densité de charge - Un conducteur ohmique est localement neutre : ρ(M,t) = 0.
Densité de courant - Loi d’Ohm locale : j = σ E
ne e τ
est
me
réelle dans le domaine de validité de la loi d’Ohm (fréquence f < 10 Hz). σ ≈ 10 Sm-1.
Puissance volumique reçue par les charges (dissipée par effet Joule) :
14
dP
dτ
8
2
j
2
= j⋅E =σE =
.
σ
2. Relation de dispersion
2.1. Retrouver la relation de dispersion pour un milieu de conductivité σ.
2.2. Injecter la conductivité du métal dans la relation de dispersion et évaluer en ordre de
2
grandeur le rapport de (ω/c) et (ωµ 0σ) dans le domaine de validité de la loi d’Ohm
locale avec une conductivité réelle).
Simplifier en conséquence l’équation de dispersion.
2.3. Montrer que k peut s’écrire sous la forme : k = ±
Exprimer δ en fonction de µ 0 , σ et ω.
1− j
δ
; rappel : − j = e
−j
Dτ où D est un coefficient de diffusion ; que vaut τ dans ce cas ?
Effet de peau
Un champ électromagnétique de pulsation ω ne pénètre dans un conducteur ohmique que sur
une épaisseur de l’ordre de δ =
2
µ 0σω
au voisinage de sa surface.
Ce phénomène est appelé effet de peau et présente un caractère diffusif.
4.
Interface vide / conducteur ohmique (i.e. ARQS)
L’approximation utilisée pour établir la relation de dispersion simplifiée (2.2) consiste à
écrire :
ω
2
c
2
≪ µ 0σω ⇔ k0 =
2
où la conductivité σ = σ 0 =
.
Montrer que l’épaisseur de peau δ s’identifie à une distance caractéristique de diffusion
τ
1. Densité de charges et densité de courants
1.1. Cf. chapitre « Conduction électrique ».
Être capable de retrouver rapidement l’expression de la conductivité à partir de la
loi fondamentale de la dynamique (cf. chapitre de rappels/compléments sur les charges
et les courants).
La neutralité et le domaine de validité se retrouvent en résolvant l’équation
différentielle en ρ issue de l’équation de Maxwell-Gauss, de l’équation de conservation
de la charge et de la loi d’ohm locale.
µ 0σ
Comme k0 =
2π
ω
c
1
≪
δ
(en utilisant l’expression de δ trouvée en 2.3).
, on en déduit que la quantité ε =
2πδ
≪ 1 dans le domaine f < 1014 Hz.
λ0
λ0
Rappel : l’indice complexe et les coefficients de réflexion / transmission sont définis dans
« Ondes dans les plasmas et les métaux ».
1− j
4.1. Montrer que l’indice complexe du métal peut s’écrire : n =
.
ε
4.2. Rappeler les expressions de r1→2 et t1→2 puis les exprimer en fonction de ε.
Donner les valeurs de ces coefficients dans la limite du conducteur parfait (σ → ∞).
Réflexion / transmission sur un métal parfait dans l’ARQS
Limite du conducteur parfait : r1→2 = -1 et t1→2 = 0
π
2
.
3. Effet de peau
3.1. En considérant un champ électrique se propageant selon e x et polarisé selon e y dans le
demi-espace infini x > 0 (OPPH), montrer que l’une des deux solutions précédentes est
à rejeter et donner l’expression de l’onde.
Justifier l’appellation « épaisseur de peau » pour δ.
Spé PC G. Monod
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2ème partie – Métal hors ARQS : métal aux fréquences optiques
Hypothèses
7. Transparence des métaux dans l’ultraviolet
Modèle de Drude : électrons libres (masse me , charge –e) avec une densité ne soumis à la
j (ωt − k ⋅r )
m
force − v et ions fixes. Champ E = E 0 e
.
UVC
100 - 280
τ
Il s’agit d’un régime variable dans le domaine des fréquences optiques (f ≈ 1015 Hz) hors du
domaine de validité de la loi d’Ohm locale (ARQS).
100
UVB
280 - 315
200
UVA
280 - 315
300
400
λ (nm)
5. Conductivité complexe
UV extrême
10 nm -120 nm
j (ωt − k ⋅r )
5.1. Montrer que le métal soumis à un champ E = E 0 e
possède une conductivité
complexe : σ =
σ0
1 + jωτ
ne e τ
.
ω
Vacuum UV
10 nm - 200 nm
me
2
− jω µ 0 σ .
2
c
5.4. Comment la relation de dispersion se simplifie-t-elle pour ωτ ≫ 1 ? Montrer que la
2
UV proche
300 nm -400 nm
2
avec σ 0 =
5.2. On rappelle que le métal est localement neutre. Établir l’équation de propagation de E .
5.3. En déduire la relation de dispersion des pseudo O.P.P.H. et la mettre sous la forme
k =
UV lointain
120 nm -200 nm
UV moyen
200 nm -300 nm
relation de dispersion peut se mettre sous la forme k =
2
ω
2
c
2
ωP
7.1. Dans le domaine des ultraviolets extrêmes (λ < 100 nm), dans quel domaine de
comportement du plasma équivalent au métal se situe-t-on ? Que vaut alors T1→2 ?
Certains métaux sont donc transparents dans l’ultraviolet.
2
−
c
2
et que tout se passe
comme si le métal se comportait comme un plasma avec une pulsation ω P =
σ0
ε 0τ
Est-il possible de bronzer derrière une feuille de
papier aluminium comme semble le suggérer le titre ?
.
5.5. Évaluer numériquement ωP .
6. Interface vide / métal dans le visible : réflexion parfait et déphasage à la réflexion
6.1. Dans le domaine visible, dans quel domaine de comportement du plasma équivalent au
métal se situe-t-on (prendre f ≈ 1015 Hz) ? Que vaut alors R1→2 ?
6.2. En utilisant les résultats concernant les plasmas, donner l’expression de r1→2 en
fonction de n" et l’expression de n" en fonction de ω et ωP. Justifier le déphasage de π
à la réflexion lorsque ω ≪ ω P .
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