3.2. Applications numériques : calculer δ dans le cuivre à 50 Hz et à 5 GHz et comparer au diamètre des fils utilisés en TP. 3.3. Multiplier l’équation de dispersion par E puis revenir à la notation réelle et interpréter Ondes électromagnétiques dans les métaux - Exercice 1ère partie - Modélisation du métal dans l’ARQS (conducteurs ohmiques) Hypothèses Modèle de Drude : électrons libres (masse me , charge –e) avec une densité ne soumis à la m force − v et ions fixes. Champ E de période T ≫ τ ≈ 10-14 s (le milieu réagit le résultat. Interpréter la quantité 1 instantanément aux variations du champ aux fréquences électrocinétiques). de la forme On rappelle ici les principaux résultats obtenus. Densités de charges et de courants dans un métal Densité de charge - Un conducteur ohmique est localement neutre : ρ(M,t) = 0. Densité de courant - Loi d’Ohm locale : j = σ E ne e τ est me réelle dans le domaine de validité de la loi d’Ohm (fréquence f < 10 Hz). σ ≈ 10 Sm-1. Puissance volumique reçue par les charges (dissipée par effet Joule) : 14 dP dτ 8 2 j 2 = j⋅E =σE = . σ 2. Relation de dispersion 2.1. Retrouver la relation de dispersion pour un milieu de conductivité σ. 2.2. Injecter la conductivité du métal dans la relation de dispersion et évaluer en ordre de 2 grandeur le rapport de (ω/c) et (ωµ 0σ) dans le domaine de validité de la loi d’Ohm locale avec une conductivité réelle). Simplifier en conséquence l’équation de dispersion. 2.3. Montrer que k peut s’écrire sous la forme : k = ± Exprimer δ en fonction de µ 0 , σ et ω. 1− j δ ; rappel : − j = e −j Dτ où D est un coefficient de diffusion ; que vaut τ dans ce cas ? Effet de peau Un champ électromagnétique de pulsation ω ne pénètre dans un conducteur ohmique que sur une épaisseur de l’ordre de δ = 2 µ 0σω au voisinage de sa surface. Ce phénomène est appelé effet de peau et présente un caractère diffusif. 4. Interface vide / conducteur ohmique (i.e. ARQS) L’approximation utilisée pour établir la relation de dispersion simplifiée (2.2) consiste à écrire : ω 2 c 2 ≪ µ 0σω ⇔ k0 = 2 où la conductivité σ = σ 0 = . Montrer que l’épaisseur de peau δ s’identifie à une distance caractéristique de diffusion τ 1. Densité de charges et densité de courants 1.1. Cf. chapitre « Conduction électrique ». Être capable de retrouver rapidement l’expression de la conductivité à partir de la loi fondamentale de la dynamique (cf. chapitre de rappels/compléments sur les charges et les courants). La neutralité et le domaine de validité se retrouvent en résolvant l’équation différentielle en ρ issue de l’équation de Maxwell-Gauss, de l’équation de conservation de la charge et de la loi d’ohm locale. µ 0σ Comme k0 = 2π ω c 1 ≪ δ (en utilisant l’expression de δ trouvée en 2.3). , on en déduit que la quantité ε = 2πδ ≪ 1 dans le domaine f < 1014 Hz. λ0 λ0 Rappel : l’indice complexe et les coefficients de réflexion / transmission sont définis dans « Ondes dans les plasmas et les métaux ». 1− j 4.1. Montrer que l’indice complexe du métal peut s’écrire : n = . ε 4.2. Rappeler les expressions de r1→2 et t1→2 puis les exprimer en fonction de ε. Donner les valeurs de ces coefficients dans la limite du conducteur parfait (σ → ∞). Réflexion / transmission sur un métal parfait dans l’ARQS Limite du conducteur parfait : r1→2 = -1 et t1→2 = 0 π 2 . 3. Effet de peau 3.1. En considérant un champ électrique se propageant selon e x et polarisé selon e y dans le demi-espace infini x > 0 (OPPH), montrer que l’une des deux solutions précédentes est à rejeter et donner l’expression de l’onde. Justifier l’appellation « épaisseur de peau » pour δ. Spé PC G. Monod Questions_metaux.docx 1/2 2ème partie – Métal hors ARQS : métal aux fréquences optiques Hypothèses 7. Transparence des métaux dans l’ultraviolet Modèle de Drude : électrons libres (masse me , charge –e) avec une densité ne soumis à la j (ωt − k ⋅r ) m force − v et ions fixes. Champ E = E 0 e . UVC 100 - 280 τ Il s’agit d’un régime variable dans le domaine des fréquences optiques (f ≈ 1015 Hz) hors du domaine de validité de la loi d’Ohm locale (ARQS). 100 UVB 280 - 315 200 UVA 280 - 315 300 400 λ (nm) 5. Conductivité complexe UV extrême 10 nm -120 nm j (ωt − k ⋅r ) 5.1. Montrer que le métal soumis à un champ E = E 0 e possède une conductivité complexe : σ = σ0 1 + jωτ ne e τ . ω Vacuum UV 10 nm - 200 nm me 2 − jω µ 0 σ . 2 c 5.4. Comment la relation de dispersion se simplifie-t-elle pour ωτ ≫ 1 ? Montrer que la 2 UV proche 300 nm -400 nm 2 avec σ 0 = 5.2. On rappelle que le métal est localement neutre. Établir l’équation de propagation de E . 5.3. En déduire la relation de dispersion des pseudo O.P.P.H. et la mettre sous la forme k = UV lointain 120 nm -200 nm UV moyen 200 nm -300 nm relation de dispersion peut se mettre sous la forme k = 2 ω 2 c 2 ωP 7.1. Dans le domaine des ultraviolets extrêmes (λ < 100 nm), dans quel domaine de comportement du plasma équivalent au métal se situe-t-on ? Que vaut alors T1→2 ? Certains métaux sont donc transparents dans l’ultraviolet. 2 − c 2 et que tout se passe comme si le métal se comportait comme un plasma avec une pulsation ω P = σ0 ε 0τ Est-il possible de bronzer derrière une feuille de papier aluminium comme semble le suggérer le titre ? . 5.5. Évaluer numériquement ωP . 6. Interface vide / métal dans le visible : réflexion parfait et déphasage à la réflexion 6.1. Dans le domaine visible, dans quel domaine de comportement du plasma équivalent au métal se situe-t-on (prendre f ≈ 1015 Hz) ? Que vaut alors R1→2 ? 6.2. En utilisant les résultats concernant les plasmas, donner l’expression de r1→2 en fonction de n" et l’expression de n" en fonction de ω et ωP. Justifier le déphasage de π à la réflexion lorsque ω ≪ ω P . Spé PC G. Monod Questions_metaux.docx 2/2