Ondes électromagnétiques dans les métaux

Spé PC G. Monod Questions_metaux.docx 1/2
Ondes électromagnétiques dans les métaux - Exercice
1
ère
partie - Modélisation du métal dans l’ARQS (conducteurs ohmiques)
Hypothèses
Modèle de Drude : électrons libres (masse m
e
, charge –e) avec une densité n
e
soumis à la
force
m
v
τ
− et ions fixes. Champ
E
de période T
τ
≫
≈ 10
-14
s (le milieu réagit
instantanément aux variations du champ aux fréquences électrocinétiques).
1. Densité de charges et densité de courants
1.1. Cf. chapitre « Conduction électrique ».
Être capable de retrouver rapidement l’expression de la conductivité à partir de la
loi fondamentale de la dynamique (cf. chapitre de rappels/compléments sur les charges
et les courants).
La neutralité et le domaine de validité se retrouvent en résolvant l’équation
différentielle en ρ issue de l’équation de Maxwell-Gauss, de l’équation de conservation
de la charge et de la loi d’ohm locale.
On rappelle ici les principaux résultats obtenus.
Densités de charges et de courants dans un métal
Densité de charge - Un conducteur ohmique est localement neutre : ρ
ρρ
ρ (M,t) = 0.
Densité de courant - Loi d’Ohm locale :
j E
σ
= où la conductivité σ =
2
0
e
e
n e
m
τ
σ =
est
réelle dans le domaine de validité de la loi d’Ohm (fréquence f < 10
14
Hz). σ ≈ 10
8
Sm
-1
.
Puissance volumique reçue par les charges (dissipée par effet Joule) :
2
2
d j
j E E
d
σ
τ σ
= ⋅ = =
P
.
2. Relation de dispersion
2.1. Retrouver la relation de dispersion pour un milieu de conductivité σ .
2.2. Injecter la conductivité du métal dans la relation de dispersion et évaluer en ordre de
grandeur le rapport de ( ω /c)
2
et ( ω µ
0
σ ) dans le domaine de validité de la loi d’Ohm
locale avec une conductivité réelle).
Simplifier en conséquence l’équation de dispersion.
2.3. Montrer que k peut s’écrire sous la forme :
1
j
k
δ
−
= ± ; rappel :
2
j
j e
π
−
− = .
Exprimer δ en fonction de µ
0
, σ et ω .
3. Effet de peau
3.1. En considérant un champ électrique se propageant selon
x
e
et polarisé selon
y
e
dans le
demi-espace infini x > 0 (OPPH), montrer que l’une des deux solutions précédentes est
à rejeter et donner l’expression de l’onde.
Justifier l’appellation « épaisseur de peau » pour δ .
3.2. Applications numériques : calculer δ dans le cuivre à 50 Hz et à 5 GHz et comparer au
diamètre des fils utilisés en TP.
3.3. Multiplier l’équation de dispersion par
E
puis revenir à la notation réelle et interpréter
le résultat. Interpréter la quantité
0
1
µ
σ
.
Montrer que l’épaisseur de peau δ s’identifie à une distance caractéristique de diffusion
de la forme
D
τ
où D est un coefficient de diffusion ; que vaut τ dans ce cas ?
Effet de peau
Un champ électromagnétique de pulsation ω ne pénètre dans un conducteur ohmique que sur
une épaisseur de l’ordre de
0
2µ
δ
σω
=
au voisinage de sa surface.
Ce phénomène est appelé effet de peau et présente un caractère diffusif.
4. Interface vide / conducteur ohmique (i.e. ARQS)
L’approximation utilisée pour établir la relation de dispersion simplifiée (2.2) consiste à
écrire :
2
0
2
µ
c
ω
σω
≪ ⇔ k
0
=
1
c
ω
δ
≪ (en utilisant l’expression de δ trouvée en 2.3).
Comme 0
0
2
k
π
λ
=
, on en déduit que la quantité
0
2
1
πδ
ελ
=
≪
dans le domaine f < 10
14
Hz.
Rappel : l’indice complexe et les coefficients de réflexion / transmission sont définis dans
« Ondes dans les plasmas et les métaux ».
4.1. Montrer que l’indice complexe du métal peut s’écrire :
1
j
n
ε
−
= .
4.2. Rappeler les expressions de r
1 → 2
et t
1 → 2
puis les exprimer en fonction de ε .
Donner les valeurs de ces coefficients dans la limite du conducteur parfait ( σ → ∞).
Réflexion / transmission sur un métal parfait dans l’ARQS
Limite du conducteur parfait : r
1 →
→→
→ 2
= -1 et t
1 →
→→
→ 2
= 0

Spé PC G. Monod Questions_metaux.docx 2/2
2
ème
partie – Métal hors ARQS : métal aux fréquences optiques
Hypothèses
Modèle de Drude : électrons libres (masse m
e
, charge –e) avec une densité n
e
soumis à la
force
m
v
τ
− et ions fixes. Champ
( )
0
j t k r
E E e
ω
− ⋅
= .
Il s’agit d’un régime variable dans le domaine des fréquences optiques (f ≈ 10
15
Hz) hors du
domaine de validité de la loi d’Ohm locale (ARQS).
5. Conductivité complexe
5.1. Montrer que le métal soumis à un champ
( )
0
j t k r
E E e
ω
− ⋅
= possède une conductivité
complexe :
0
1
j
σ
σ
ωτ
=+ avec
2
0
e
e
n e
m
τ
σ =
.
5.2. On rappelle que le métal est localement neutre. Établir l’équation de propagation de
E
.
5.3. En déduire la relation de dispersion des pseudo O.P.P.H. et la mettre sous la forme
2
20
2
k j µ
c
ω
ω σ
= − .
5.4. Comment la relation de dispersion se simplifie-t-elle pour ωτ
≫
1 ? Montrer que la
relation de dispersion peut se mettre sous la forme
2
2
2
2
2
P
k
c c
ω
ω
= − et que tout se passe
comme si le métal se comportait comme un plasma avec une pulsation
0
0
P
σ
ω
ε τ
=
.
5.5. Évaluer numériquement ω
P
.
6. Interface vide / métal dans le visible : réflexion parfait et déphasage à la réflexion
6.1. Dans le domaine visible, dans quel domaine de comportement du plasma équivalent au
métal se situe-t-on (prendre f ≈ 10
15
Hz) ? Que vaut alors R
1 → 2
?
6.2. En utilisant les résultats concernant les plasmas, donner l’expression de r
1 → 2
en
fonction de n" et l’expression de n" en fonction de ω et ω
P
. Justifier le déphasage de π
ππ
π
à la réflexion lorsque
P
ω ω
≪.
7. Transparence des métaux dans l’ultraviolet
7.1. Dans le domaine des ultraviolets extrêmes ( λ < 100 nm), dans quel domaine de
comportement du plasma équivalent au métal se situe-t-on ? Que vaut alors T
1 → 2
?
Certains métaux sont donc transparents dans l’ultraviolet.
Est-il possible de bronzer derrière une feuille de
papier aluminium comme semble le suggérer le titre ?
UV extrême
10 nm -120 nm UV lointain
120 nm -200 nm
λ
λλ
λ (nm)
400 300 200 100
Vacuum UV
10 nm - 200 nm
UVC
10
0
-
2
8
0
UVB
280
-
315
UVA
280
-
315
UV moyen
200 nm -300 nm UV proche
300 nm -400 nm