Loi d`ohm - etudenet

Electromagnétisme en regime statique M.JANAN
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Problème EM1:loi d’ohm locale (d’après E3A)
Dans le modèle phénoménologique de Drude ,un électron libre de masse m et de charge q=-
e, est soumis d’une part à une force électrique si le métal (milieu conducteur ) est plongé dans
un champ électrique
E
et à une force de frottement fluide :
m
F v
τ
= −
ou
v
est le vecteur vitesse
du porteur de charge dans le référentiel lié au métal supposé galiléen et
τ
une constant de temps
qui modélise L’interaction de l’électron avec son environnement (un électron subit des collisions
de la part du réseau cationique), la pesanteur est négligée.
Données:
• Masse d’un électron : m=9,1.10
-31
kg
• Charge d’un électron : -e=-1,6.10
-19
C
• Constante d’Avogadro:
A
N
=6,02.10
23
mol
-1
.
• Masse molaire de cuivre : M=64 g/mol,
6 1
59.10 .
S m
γ
−
=
• La masse volumique de Cuivre :
3 3
8.9.10 .
kg m
ρ
−
= ;
• La constante de Boltzmann
23 1
1.38.10 .
B
K J K
− −
=
Conductivité statique.
1. comment soumettre les électrons d’un métal à un champ électrique ?
2. Etablir l’équation différentielle de la vitesse
v( )
t
à laquelle est soumise la charge q et donner
sa solution en admettant que le régime transitoire est très bref (hypothèse que l’on justifiera par
la suite).
3. Donner la relation
( , , )
j f n q v
=
et en déduire en régime stationnaire la relation
j E
γ
=
dite loi
d’ohm locale, en précisant l’expression de la conductivité
γ
en fonction des données du problème.
4. Dans un métal, les porteurs de charges sont les électrons de conduction de densité
volumique
e
n. Exprimer
e
n
en fonction de ,
A
N M et
ρ
Calculer
τ
et commenter.
5. Evaluer, pour un très bon conducteur comme le cuivre métallique, l’ordre de grandeur de la
vitesse de dérive v des électrons de conduction, dans un fil de section S=1mm
2
, Parcouru par un
courant I=10A. La comparer à la vitesse d’agitation thermique d’un électron libre à la température
ambiante T=300k.
Conductivité dynamique.
6. Le champ électrique appliqué au milieu est sinusoïdal de la forme
j t
0
E=E e
ω
en notation
complexe. Montrer que le modèle précédent nous permet de définir une conductivité dynamique
complexe
( )
j
ω
Γ
en régime sinusoïdal établi. Comment évolue le module de
( )
j
ω
Γ
en fonction de
la pulsation
ω
? Analyser qualitativement les comportements à basses et hautes fréquences puis
représenter le graphe de
( )
j
ω
Γ en faisant apparaitre une pulsation critique.
7. Dans quel domaine de fréquence sera-t-il possible d’assimiler la conductivité complexe du
milieu à sa valeur en régime stationnaire ?
8. On considère un métal ohmique de conductivité
γ
.Soit
( , )
M t
ρ
la densité volumique de charges

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au point M du métal, à la date t.
8.1. Etablir l'équation différentielle satisfaite par
(
)
,
M t
ρ en un point M donné.
8.2. Suite à une perturbation
(
)
,
M t
ρ prend à la date t
0
la valeur
0
ρ
au point M
0
. Etudier son
évolution temporelle en M
0
. Définir le temps de relaxation du milieu matériel (constante de temps
du phénomène).
8.3. Dans le cas du cuivre
7 1 1
5,810
m
γ
− −
= Ω . Calculer le temps nécessaire pour que la densité de
charges en M
0
soit inférieure à 0,01
0
ρ
et conclure.