Loi d`ohm - etudenet

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Electromagnétisme en regime statique
M.JANAN
Problème EM1:loi d’ohm locale (d’après E3A)
Dans le modèle phénoménologique de Drude ,un électron libre de masse m et de charge q=e, est soumis d’une part à une force électrique si le métal (milieu conducteur ) est plongé dans
m
un champ électrique E et à une force de frottement fluide : F = − v ou v est le vecteur vitesse
τ
du porteur de charge dans le référentiel lié au métal supposé galiléen et τ une constant de temps
qui modélise L’interaction de l’électron avec son environnement (un électron subit des collisions
de la part du réseau cationique), la pesanteur est négligée.
Données:
• Masse d’un électron : m=9,1.10-31kg
• Charge d’un électron : -e=-1,6.10-19C
• Constante d’Avogadro: N A =6,02.1023mol-1.
• Masse molaire de cuivre : M=64 g/mol, γ = 59.106 S .m −1
• La masse volumique de Cuivre : ρ = 8.9.103 kg .m −3 ;
• La constante de Boltzmann K B = 1.38.10−23 J .K −1
Conductivité statique.
1. comment soumettre les électrons d’un métal à un champ électrique ?
2. Etablir l’équation différentielle de la vitesse v(t ) à laquelle est soumise la charge q et donner
sa solution en admettant que le régime transitoire est très bref (hypothèse que l’on justifiera par
la suite).
3. Donner la relation j = f (n, q, v) et en déduire en régime stationnaire la relation j = γ E dite loi
d’ohm locale, en précisant l’expression de la conductivité γ en fonction des données du problème.
4. Dans un métal, les porteurs de charges sont les électrons de conduction de densité
volumique ne . Exprimer ne en fonction de N A , M et ρ Calculer τ et commenter.
5. Evaluer, pour un très bon conducteur comme le cuivre métallique, l’ordre de grandeur de la
vitesse de dérive v des électrons de conduction, dans un fil de section S=1mm2, Parcouru par un
courant I=10A. La comparer à la vitesse d’agitation thermique d’un électron libre à la température
ambiante T=300k.
Conductivité dynamique.
6. Le champ électrique appliqué au milieu est sinusoïdal de la forme E=E 0 e jω t en notation
complexe. Montrer que le modèle précédent nous permet de définir une conductivité dynamique
complexe Γ( jω ) en régime sinusoïdal établi. Comment évolue le module de Γ( jω ) en fonction de
la pulsation ω ? Analyser qualitativement les comportements à basses et hautes fréquences puis
représenter le graphe de Γ( jω ) en faisant apparaitre une pulsation critique.
7. Dans quel domaine de fréquence sera-t-il possible d’assimiler la conductivité complexe du
milieu à sa valeur en régime stationnaire ?
8. On considère un métal ohmique de conductivité γ .Soit ρ (M , t ) la densité volumique de charges
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au point M du métal, à la date t.
8.1. Etablir l'équation différentielle satisfaite par ρ ( M , t ) en un point M donné.
8.2. Suite à une perturbation ρ ( M , t ) prend à la date t0 la valeur ρ0 au point M0. Etudier son
évolution temporelle en M0. Définir le temps de relaxation du milieu matériel (constante de temps
du phénomène).
8.3. Dans le cas du cuivre γ = 5,8107 Ω −1m −1 . Calculer le temps nécessaire pour que la densité de
charges en M0 soit inférieure à 0,01 ρ0 et conclure.
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