Seq 5 : équations cartésiennes

I. Equation cartésienne d'une droite
1. vecteurs directeurs d'une droite
Définition : On appelle vecteur directeur
⃗
u
d'une droite (d) tout vecteur non nul dont la direction est celle de (d).
Conséquence :
•Si A et B sont deux points distincts d'une droite (d) , les vecteurs directeurs de (d) sont les vecteurs
…...................... au vecteur …...........
(d)
•On peut définir une droite (d) de manière unique par la donnée d'un point A et d'un vecteur directeur
⃗
u
.
Exemple .
La droite (d) d'équation y = …........................
1 passe par les points A(-1;3) et B(1,-1).
(d) admet comme vecteur directeur
⃗
AB
(
2
−4
)
, ou
⃗
u
(
…
…
)
⃗
u
(d)
2. équation cartésienne d'une droite
Propriété 1:
Dans un repère,
•toute droite (d) admet une équation de la forme
ax+by+c=0
, avec
a≠0, oub≠0
.
Cette équation est appelée équation cartésienne de la droite (d).
•Réciproquement, l'ensemble des points M du plan dont les coordonnées (x;y) vérifient
ax+by+c=0
avec
(a ;b)≠(0;0)
est une droite.
Preuve :
•Soit (d) une droite passant par
A(xA; y A)
, de vecteur directeur
⃗
u
(
α
β
)
.
Pour tout point M(x;y) du plan,
M∈(d)⇔ ⃗ AM
(
x−xA
y−yA
)
et
⃗
u
(
α
β
)
sont colinéaires.
⇔
⇔
⇔
•Réciproquement, on cherche l'ensemble des points M (x;y) tels que
ax+by+c=0
avec
a≠0
ou
b≠0.
Si
b≠0
,
ax+by+c=0
⇔
y=...
... x+... ...
( on reconnaît l'équation réduite d'une droite).
Si b=0, alors
a≠0
et l'équation
ax+by+c=0
équivaut à
x=...
...
: l'ensemble cherché est alors
dans ce cas un droite parallèle à l'axe des …............................... ■
Exercice : Déterminer l'équation cartésienne de la droite (d) passant par A(-2;3) et de vecteur directeur
⃗u
(
2
5
)
.
voir savoir faire p. 205.
Seq 5 : équations cartésiennes
y
A
B
1

Remarque : Une droite admet une infinité d'équations cartésiennes, dont les coefficients sont 2 à 2 proportionnels.
Propriété 2 : Toute droite (d) d'équation
ax+by+c=0
admet comme vecteur directeur
⃗
u
(
−b
a
)
.
Exemple : la droite (d) d'équation
3x+4y −10=0
admet comme vecteur directeur
⃗
u
(
…
…
)
.
propriété 3 : Deux droites sont parallèles si et seulement si leur vecteurs directeurs sont colinéaires.
3. lien entre équation réduite et équation cartésienne.
Propriété:Soit (d) une droite d'équation
ax+by+c=0
avec
(a ;b)≠(0;0)
.
•Si
b≠0
, alors (d) est une droite qui admet pour unique équation réduite
y=mx+p
, où m est le
coefficient directeur et p l'ordonnées à l'origine de la droite. Le vecteur de coordonnées
(
1
m
)
est alors un
vecteur directeur de la droite (d).
•Si
b=0
, alors (d) est une droite parallèle à l'axe des ordonnées qui admet une équation réduite de la forme
y=k
, où k est un réel. Le vecteur de coordonnés
(
0
1
)
est alors un vecteur directeur de la droite (d).
preuve : grâce à la preuve de la propriété 1 du paragraphe IV.2.
interprétation graphique :
Si
b≠0
Si
b=0
x=k
(d)
y=mx+p
.
------
On retrouve l'interprétation graphique du coeff. Directeur :
lorsqu'on augmente de 1 en abscisse, l'ordonnée varie de m.
Savoir faire p. 207
II. équation cartésienne d'un cercle
Propriété : Le plan est muni d'un repère orthonormal.
Soit
C
le cercle de centre
Ω(xO; yO)
et de rayon
r
.
Alors tout point M de
C
a ses coordonnées qui vérifient l’équation
(x−xO)2+ ( y−yO)2=r2
.
Preuve : Par définition
ΩM=r
ce qui équivaut à
ΩM2=r2
, d'où l'équation.
Exercice :
1. Déterminer l'équation du cercle
C
de centre
Ω(2;−3)
et de rayon
r=5.
2. Préciser le centre et le rayon du cercle ayant pour équation
x2+y2−2y=4
.
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