Le point de rencontre des deux droites est appelé le

VISION 7
~Notes de cours~
Des comparaisons pour décider
Mathématique 3e secondaire
Collège Regina Assumpta
2015 – 2016
Nom : _____________________________
Groupe : _____
2
VISION 7 – NOTES DE COURS
SECTION 7.1
Référence : Manuel VISIONS mathématique, volume 2, éditions CEC, pages 135 et 136
1. Résolution d’équations
Exemples : Résous les équations suivantes. Donne la réponse exacte.
a) −4(3𝑧 − 6) − (2𝑧 + 4) = 8(𝑧 − 6)
2
b)
2
3
𝑥=
c) 7 – (3𝑥 2 – 7)(2𝑥 + 4) = (6𝑥 – 1) – 2𝑥(24𝑥 – 13)
d) 5𝑦 −
e) 2(3𝑥 – 4)(2𝑥 + 7) = 5𝑥(𝑥 + 6) – (𝑥 + 2)2
f)
VISION 7 – NOTES DE COURS
𝑥−6
4
3𝑦−4
−2(𝑥+5)
3
5
=
2(𝑦+1)
3
2
− 3𝑥 = 8 − 5 𝑥
3
2. Résolution de problèmes avec des équations à une variable
Chaque problème, en résolution de problèmes, demande de bien étudier la mise en situation.
Il y a quatre étapes afin de compléter tout le processus. Tu dois :
 Identifier l’inconnue ou les inconnues;
 Écrire l’équation appropriée;
 Résoudre cette équation;
 À partir de la mise en situation, donner une réponse complète.
Exemples : Résous les problèmes suivants.
a) Un terrain vaut cinq fois moins que la valeur de la maison. L’achat total est estimé à
310 000$. Quelle est la valeur de la maison, sachant que notre nouveau propriétaire
doit payer 10 000$ pour les infrastructures?
Identification :
Équation et résolution:
Substitution dans l’expression algébrique :
Solution :
4
VISION 7 – NOTES DE COURS
b) Trouve trois nombres pairs consécutifs dont le quadruple du plus grand moins le
double du second donne 44.
Identification :
Équation et résolution:
Substitution dans l’expression algébrique :
Solution :
VISION 7 – NOTES DE COURS
5
c) Un examen, noté sur 100 points, comporte deux parties. Dans la première partie,
chaque bonne réponse donne 2 points. Dans la seconde partie, chaque bonne
réponse donne 4 points. La seconde partie compte cinq questions de moins que la
première. Combien y a-t-il de questions en tout dans cet examen?
Identification :
Équation et résolution:
Substitution dans l’expression algébrique :
Solution :
6
VISION 7 – NOTES DE COURS
d) Une mère a 40 ans et sa fille, 16 ans. Il y a combien d’années que l’âge de la mère
était trois fois l’âge de sa fille?
Identification :
Équation et résolution:
Substitution dans l’expression algébrique :
Solution :
VISION 7 – NOTES DE COURS
7
e) L’âge actuel de Stéphane est sept fois celui de Robert. Dans six ans, l’âge de
Stéphane sera cinq fois celui de Robert. Trouve l’âge actuel de chacun.
Identification :
Équation et résolution:
Substitution dans l’expression algébrique :
Solution :
8
VISION 7 – NOTES DE COURS
3. Les systèmes d’équations
Un système d’équations est un ensemble de deux ou plusieurs équations.
Exemples :
a)
𝑦 = 4𝑥 + 6
} Ces deux équations forment un système d’équations.
𝑦 = −𝑥 − 2
b)
3𝑦 = 2 + 2𝑥
} Ces deux équations forment un système d’équations.
𝑥+𝑦 =9
c) Pour réserver un terrain de tennis à un club public, il en coûte 20$ de l’heure à un
joueur non membre contre 10$ de l’heure pour un joueur membre du club. Il faut savoir
que la carte de membre coûte 50$ pour l’année.
1. Quelles sont les variables contenues dans le texte?
*Identifie respectivement la variable indépendante et celle qui est indépendante à
l’aide des lettres x et y.
2. Quels sont les éléments clé du texte (éléments mathématico-importants!)?
a.
b.
c.
d.
Le d est sous-entendu!
3. Détermine une équation (règle) permettant de calculer la somme totale
déboursée par un joueur non membre selon le temps de location d’un terrain.
4. Détermine une équation (règle) permettant de calculer la somme totale
déboursée par un joueur membre selon le temps de location d’un terrain.
VISION 7 – NOTES DE COURS
9
5. Détermine le système d’équations qui représente mathématiquement le texte
que tu viens de lire.
Équation 1 :
Équation 2 :
On remarque qu’un système d’équations peut être « camouflé » à l’intérieur d’un texte.
6. Représente dans le plan cartésien ci-dessous, chaque équation que tu as
obtenue.
Le point de rencontre des
deux droites est appelé le
______________________
________
7. Après combien d’heures de location, les montants totaux déboursés par un
joueur membre et un joueur non membre seront les mêmes?
La solution de ce système d’équations est donc : 𝑥 = ______ et 𝑦 = ______.
10
VISION 7 – NOTES DE COURS
8. Pour 10 heures de location de terrain, combien en coûtera-t-il de plus pour un
non membre que pour un membre?
9. Pour 13 heures de location d’un terrain, combien en coûtera-t-il de plus pour un
non membre que pour un membre?
4. Résolution graphique d’un système d’équations
La résolution d’un système d’équations consiste à déterminer les coordonnées du ou des
points de rencontre entre les droites décrites par les équations.
Exemple :
David est le nouveau propriétaire d’une maison qui nécessite plusieurs réparations. Il doit
entre autre effectuer des travaux de plomberie de grandes envergures. Comme il n’a pas
l’habileté pour le faire lui-même, il hésite entre deux compagnies qu’il a trouvées. La
compagnie Des gars d’eau demande un tarif horaire de 35$ et un coût fixe de déplacement de
20$, tandis que la compagnie Allô plomberie demande quant à elle 50$ de frais de
déplacement et un tarif horaire de 30$. Pour quel temps de travail du plombier le prix sera-t-il
identique pour ces deux compagnies?
Ce qu’il faut faire :
1) Tracer le ____________________ correspondant à chaque situation dans un
même plan cartésien.
2) Trouver le _________________________________ sur le graphique.
VISION 7 – NOTES DE COURS
11
Réponse :
Après _____ heures de travail, le coût sera identique pour les 2 compagnies et il
sera de ______.
12
VISION 7 – NOTES DE COURS
5. Construction d’un système d’équations
Pour résoudre un problème, il est parfois avantageux d’avoir recours à un système
d’équations. On procède comme suit :
Création du système
Débuter par une _______________
attentive du problème.
_________________________ de
manière claire et complète les
variables.
Résolution du système
Chercher dans le texte les éléments
mettant en __________________ les
variables.
Représenter le système
d’équations dans un
_______________________.
OU
Écrire le
______________________________.
Utiliser des méthodes
______________ de résolution.
VISION 7 – NOTES DE COURS
13
SECTION 7.2
Référence : Manuel VISIONS mathématique, volume 2, éditions CEC, page 145
6. Résolution algébrique de systèmes d’équations
La section 7.1 de ce document nous a permis de résoudre, à l’aide de la représentation
graphique des droites, des systèmes d’équations.
Par contre, il arrive souvent que des systèmes d’équations aient des solutions qui, d’un point
de vue graphique, soient difficilement identifiables.
En voici un exemple :
(? , ?)
Pour être capable de résoudre avec précision un tel système, nous étudierons deux
méthodes algébriques fiables et simples d’application.
14
VISION 7 – NOTES DE COURS
A. Première méthode : La comparaison
Pour résoudre un système d’équations par la méthode de COMPARAISON :
 Isoler la même variable dans les 2 équations.
 Poser une équation avec les 2 expressions algébriques contenant la variable qui n’est
pas isolée.
 Résoudre l’équation obtenue.
 Remplacer la valeur obtenue dans l’une des équations de départ afin de déterminer la
valeur de l’autre variable.
 Vérifier sa solution en remplaçant le couple trouvé dans les 2 équations de départ.
Exemple :
Dans un immeuble, un ascenseur situé au rez-de-chaussée se met en marche
et commence son ascension. Au même moment, un deuxième ascenseur
situé au 7e étage se met également en marche et entame une descente.
Le système d’équations suivant illustre la progression de chaque ascenseur,
où x représente le temps écoulé en secondes depuis leur mise en marche
et y, l’altitude (en étage) à laquelle se situe chaque ascenseur.
5
𝒚𝟏 = 7 𝑥
9
𝒚𝟐 = − 7 𝑥 + 7
a) Après combien de temps se rencontreront-ils?
Une chose est certaine : lorsqu’ils se rencontreront, ils seront à la
________________(au même__________) ! Les 2 « y » seront les mêmes alors nous
pouvons poser l’équation suivante :
𝒚𝟏 = 𝒚𝟐
Résolution de l’équation
Réponse : Ils se rencontreront après ______________.
VISION 7 – NOTES DE COURS
15
b) Où se trouveront-ils lorsqu’ils se rencontreront?
c) La solution de ce système d’équations est donc ___________
d) Représente cette situation dans le plan cartésien suivant.
e) Vérifie si le couple solution qui apparaît dans le graphique correspond bien à
ce que tu as trouvé algébriquement.
16
VISION 7 – NOTES DE COURS
B. Deuxième méthode : La substitution
Pour résoudre un système d’équations par la méthode de SUBSTITUTION :
 Isoler une variable dans une des équations.
 Remplacer, dans l’autre équation, cette variable par l’expression algébrique trouvée à
l’étape 1.
 Résoudre l’équation obtenue.
 Remplacer la valeur obtenue dans l’une des équations de départ afin de déterminer la
valeur de l’autre variable.
 Vérifier sa solution en remplaçant le couple trouvé dans les 2 équations de départ.
Exemple :
Audrey et Joëlle accumulent des magazines de mode. Ensemble, elles possèdent 200
magazines et Audrey possède 110 magazines de plus que la moitié du nombre de magazines
de Joëlle. Désignons par x le nombre de magazines que possède Audrey et y le nombre de
magazines de Joëlle. Détermine le nombre de magazines détenu par chacune d’elles.
Voici le système d’équations représentant cette situation :
𝑥 + 𝑦 = 200
1
{
𝑥 = 𝑦 + 110
2
Nous connaissons une expression algébrique pour la valeur de 𝑥, il s’agit d’aller
cette variable par sa valeur algébrique dans l’autre équation.
Ce qui nous permet d’écrire :
𝑥 + 𝑦 = 200
Résolution de l’équation :
1
𝑦 + 110
2
𝑥=
Solution : x = _____________ et y =
Réponse : Audrey possède donc
VISION 7 – NOTES DE COURS
magazines et Joëlle en possède
.
17
7. Choix de la méthode de résolution d’un système d’équations
Bien que les méthodes de comparaison et de substitution puissent toujours être appliquées
(peu importe le système d’équations donné), il arrive souvent qu’une méthode soit plus
appropriée ou plus efficace que l’autre pour résoudre rapidement un système d’équations.
SECTION 7.3
Référence : Manuel VISIONS mathématique, volume 2, éditions CEC, page 82-83
8. Exposants négatifs
Exemple : 5 ÷ 57 =
Une réponse doit toujours être exprimée avec des exposants positifs.
18
VISION 7 – NOTES DE COURS
Exemple : Complète le tableau suivant.
2𝑛
Puissance
5𝑛
Puissance
…
…
…
…
25
32
55
3 125
24
16
54
625
23
8
53
125
22
52
21
51
0
0
2
5
2−1
5−1
2−2
5−2
2−3
5−3
2−4
5−4
…
…
…
VISION 7 – NOTES DE COURS
Quelle opération dois-tu faire pour
passer d’une ligne vers une autre ?
…
19
9. Théorie des exposants
Lois des exposants
(a  ℝ, b  ℝ, m  ℝ, n  ℝ)
Exemples
Le symbole «  » signifie
appartient à… OU
est élément de…
1) a1 = a
a0
2) a0 = 1
am • an = am + n
3)
4)
am

an
am
= n 
a
R
am – n
a0
2 3 • 2 4 = 27
a 3 • a 2 = a5
55
 52
53
a3
 a-2 = 12
5
a
a
5)
(am)n = am • n = amn m, n  R
(2 4 ) 3 = 212
(a 2 ) 3 = a6
6)
(a • b)m = am • bm = am bm m  R
(32 • 7)5 = 310 • 75
(a • b)3 = a3b3
3
m
m
a
a
  = m
b
b
7)
b0
3
3
3
   3
5
5
4
4
c
c
   4
d
 d
avec d  0
2−7 =______________
𝑎−𝑚 =__________
8)
𝑎≠0
𝑥 −5 =______________
Dans la réponse finale, on ne laissera
jamais d’exposants négatifs!
1
1
9) 𝑎−𝑚 =__________
𝑎≠0
11−3
1
𝑔−5
20
=______________
= _______________
VISION 7 – NOTES DE COURS
Exemples :
1) Rends les exposants positifs et exprime ta réponse en notation exponentielle.
a)
1
3−2
b) (23 )−4 =
=
c) 73 • 2−4 =
d)
e) 74 ÷ 77 =
f)
g) (𝑐 • 𝑑2 )−𝑤 =
5−4
2−7
1
1
5−2
=
=
𝑎 −𝑑
h) (𝑥 )
=
2) Rends les exposants positifs et exprime ta réponse en notation exponentielle.
a) 50 =____________________
b) 𝑥 0 =____________________ (𝑥 ≠ 0)
c) 5−2 =____________________
2 −7
d) (5)
=____________________
e) 34 𝑏 −2 =____________________
f)
g)
h)
1
3−5
1
𝑐 −6
=____________________
=____________________
1
2−2 𝑎−3
=____________________
i) (𝑎2 )−3 • (𝑎3 )−2 =_______________________________________________
𝑎−2
j) (2𝑎−3 )
−2
=____________________________________________________
VISION 7 – NOTES DE COURS
21
10. RAPPEL : Racines carrées et cubiques d’un nombre
25 
5 
81 
9 
8
2
3
2 
64 
3
2 
16 
4
2 
3
3
4
2
3
6
4
5 
9 
2 
2 
2 
1
2 2
2
1
2
1
3 3
1
6 3
4
1
4





2
2
5 
5
2
2
9
3
3
2 
2
6
3
2 
22  4
4
4
2
9 
2 
11. Exposants fractionnaires
10)
11)
12)
𝑚
𝑛
√𝑎 𝑚 = 𝑎 𝑛
𝑛
𝑎
pour 𝑎 ∈ ℝ, 𝑚 ∈ ℤ 𝑒𝑡 𝑛 ∈ ℤ∗
√𝑏 =
pour 𝑎 𝑒𝑡 𝑏 ∈ ℝ 𝑒𝑡 𝑛 ∈ ℕ∗
𝑛
pour 𝑎 𝑒𝑡 𝑏 ∈ ℝ 𝑒𝑡 𝑛 ∈ ℕ∗
√𝑎 • 𝑏 =
Exemple : Simplifie les expressions suivantes.
3
a) √2 =
5
b) √32 =
c) √36 • 43 =
d) √𝑎 =
1
1
e) 𝑎2 • 𝑎3 =
3
𝑎2
1
𝑏
2
f) √𝑏3 • (𝑎) =
22
VISION 7 – NOTES DE COURS
Exemple :
Simplifie et exprime ta réponse en notation exponentielle. N’oublie pas
de rendre tous les exposants positifs dans ta réponse finale.
Voici les 3 étapes à faire pour simplifier une expression algébrique :
1) Enlever les parenthèses et les √
.
2) Multiplier ou diviser les mêmes bases.
3) Rendre tous les exposants positifs.
a)
b)
c)
d)
𝑦8𝑧 9
𝑦 5 𝑧 13
=
(2⦁5)6 𝑤 4
(2⦁5)4 𝑤
5⦁7𝑠2 𝑡 −2
3⦁7𝑠3 𝑡 2
=
=
22 ⦁3𝑎4 𝑏2
(2⦁32 𝑎𝑏 2 )2
=
VISION 7 – NOTES DE COURS
23
e)
f)
g)
h)
23 𝑥 2 𝑦 3 𝑧 −2
(2⦁3𝑥𝑦 −1 )3
(53 𝑎2 𝑏𝑐 3 )
=
−2
(52 𝑎𝑏𝑐 2 )−1
22 ⦁3−4 𝑥𝑦𝑧
3−4 𝑥 −1 𝑦 −1 𝑧 −1
(2⦁3⦁5𝑖 −2 𝑗 4 𝑘 3 )
=
−4
(28 ⦁34 𝑖 4 𝑗 −3 𝑘 −1 )4
22 ⦁3𝑐 3 𝑑−1
i) (2⦁53 𝑐 −2 𝑑3 )
24
=
=
−3
=
VISION 7 – NOTES DE COURS