Chapitre 1 Arithmétique 1. Divisibilité Diviseur Déf : a et b sont deux entiers positifs avec b non nul. On dit que b est un diviseur de a si le quotient 𝑎 𝑏 est un entier. Remarque : si b est un diviseur de a alors il existe un entier n tel que a = b × n Réciproque : si a = b×n alors b est un diviseur de a ou a est un multiple de b. Exemple : 2. Plus grand diviseurs communs a. Déf : le plus grand entier qui divise les deux entiers a et b s’appelle le plus grand commun diviseur. Il se note PGCD (a; b). Exemple : les diviseurs communs à 48 et 40 sont 1, 2, 4, 8 donc PGDC ( 48 ; 40)= 8 Trouver les diviseurs communs de 18 et 24 donc le PGCD (18 ;24) est 6 b. Propriétés : PGCD(a ;a)=1 PGCD (a ; b)= PGCD (b ;a) Si b divise a alors PGCD (a ;b)=b Exemple c. Calcul du PGCD par l’algorithme des soustractions successive : PGCD(𝑎 ; 𝑏) = PGCD(𝑏 ; 𝑎 − 𝑏) a > 𝑏 Calcul du PGCD de 522 et 398. 522 – 348=174 PGCD (522 ; 348) 348 – 174=174 = PGCD (348 ; 174)=174 174 – 174=0 donc le PGCD (522 ; 348)=174 Calcul le PGDC de 159 et 106 159 – 106=53 PGCD (159 ; 106)=53 106 – 53=53 = PGCD (106 ; 53) 53 – 53=0 donc le PGCD (159 ; 106)=53 Autre exemple PGCD (530 ; 371)=159 d. Calcul du PGCD par l’algorithme d’Euclide. http://fr.wikipedia.org/wiki/Euclide (Euclide (mathématicien), (IIIe siècle av. J.-C.), mathématicien grec, auteur du plus célèbre ouvrage de l’histoire des mathématiques, les Éléments. Euclide se distingue également en théorie des nombres, démontrant notamment que l’ensemble des nombres premiers est infini. Il est aussi le premier à pratiquer la division avec le reste, appelée aujourd’hui division euclidienne.) Proposition : A=b×𝑞 +r a>𝑏 PGCD (a ; b)= PGCD (b ; r) Exemple Le calcul le PGCD de 602 et 3870 Principe : On divise le plus grand par le plus petit puis on divise le diviseur par le reste …jusqu’à ce que le reste soit nul. Le PGCD est le dernier reste non nul. On se sert de la touche t ou ÷ 𝑅 3870 = 602 × 6 + 258 PGCD (3870 ; 602) 602= 258× 2 + 86 =PGCD (602 ; 258) 258=86 × 3 + 0 =PGCD (258 ; 86)=86 86 est un diviseur de 258 donc le PGCD (3870 ; 258)=86 Calculer le PGCD (1360 ; 345)=5 Calculer le PGCD (13 ; 5)=1 3. Nombre premier : Définition: Deux nombres entiers dont le PGCD est égal à 1 sont appelés des nombres premiers entre eux (leur seul diviseur commun est 1). Exemple : PGCD (1360 ; 345)=5 donc 1360 et 345 ne sont pas premier entre eux. PGCD (13 ; 5)=1 donc 13 et 5 sont premier entre eux. 4. Fraction irréductible : Def : Une fraction irréductible est une fraction qui ne peut plus être simplifiée. Exemple : 1360 345 1360 272×5 69×5 n’est pas irréductible car ( 345 = = 272 69 est irréductible) 𝑎 Proposition 1: si a et b sont deux nombres premiers entre eux alors 𝑏 est irréductible Exemple : 13 5 est irréductible 9 9 et 8 sont premiers entre eux donc 8 est une fraction irréductible. Proposition2 : Si on simplifie Exemple: 1360 345 𝑎 𝑏 𝑝𝑎𝑟 le PGCD de a et b alors on obtient une fraction irréductible 1360 272×5 69×5 n’est pas irréductible car PGCD (1360 ; 345)=5 ( 345 = = 272 69 est irréductible) Remarque : pour simplifier une fraction pour rendre irréductible on peut Utiliser une calculatrice touche Décomposer le numérateur et le dénominateur en produit de nombre premiers (on utilise les critères de divisibilités). Exemple 60 72 = 2×2×3×5 2×2×2×3×3 = 5 6 Simplifier le PGCD du numérateur et du dénominateur. 657 Exemple : Simplifier la fraction 963 on calcule le PGCD du dénominateur et du dénominateur par l’algorithme d’Euclide. 963=657× 1 + 306 PGCD (963 ; 657)= 657=306× 2 + 45 =PGCD (657 ; 306) 306=45× 6 + 36 = PGCD (306 ; 45) 45=36× 1 + 9 = PGCD (45 ; 36) 36=9× 4 + 0 =PGCD (9 ; 9) = 9 Donc PGCD (963 ; 657) = 9 657 73 × 9 73 = = 963 107 × 9 107 Exercice du Brevet : Julie dispose de 182 brins de muguet et 78 roses. Elle veut faire le plus grand nombre de bouquet identique, en utilisant toutes les fleurs. 1) Combien de bouquets identiques pourra-t-elle faire ? 2) Quelle sera la composition de chaque bouquet. Rep : 1. 26 bouquets 2. 7 brins de muguet et 3 roses.