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TES/spé TL Eléments de correction du Bac Blanc n°2 de Mathématiquesdu Lundi 8 Avril2013
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Vous n’oublierez pas de rendre le sujet avec votre copie. Bon courage.
Le barème est noté sur 20 points.
Exercice 1 : Probabilités (5 points)
Lorsque le taux de calcium dans une bouteille d’eau minérale dépasse 65 mg par litre, on dit que l’eau de cette
bouteille est calcaire.
On estime que, dans un stock important de bouteilles, 7,5% des bouteilles contiennent de l’eau calcaire.
Sauf indication contraire dans une question, on donnera les résultats arrondis à 10‒3près.
Partie A :
On prélève au hasard 40 bouteilles dans le stock pour vérifier le taux de calcium.
Le stock est assez important pour qu’on assimile ce prélèvement à un tirage avec remise.
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de bouteilles de ce prélèvement qui contiennent de l’eau calcaire.
1. Donner la loi suivie par X. (sans explication)
Il s’agit ici de la répétition de 40 épreuves de Bernoulli dont le succès est « la bouteille contient
de l’eau calcaire » de probabilité 0,075. (voir dans l’énoncé « dans un stock important de
bouteilles, 7,5% des bouteilles contiennent de l’eau calcaire »)
X étant le nombre de bouteilles de ce prélèvement qui contiennent de l’eau calcaire, X est donc le
nombre de succès.
X suit donc la loi binomiale de paramètres 40 (n=40) et 0,075 (p = 0,075)
2. a) Calculer la probabilité de prélever que des bouteilles contenant de l’eau non calcaire.
Si on prélève que des bouteilles ayant de l’eau non calcaire, cela signifie qu’il y a « zéro »
bouteille contenant de l’eau calcaire
On cherche donc p(X = 0) = 0,92540 ≈ 0,044
La probabilité de prélever que des bouteilles contenant de l’eau non calcaire est d’environ
0,044
b) En déduire la probabilité de prélever au moins une bouteille contenant de l’eau calcaire.
On cherche donc p( X ≥ 1) = 1 ‒ p( X = 0) = 1 ‒ 0,92540 ≈ 0,956
La probabilité de prélever au moins une bouteille contenant de l’eau calcaire est d’environ
0,956
Partie non
demandée

Partie B :
On note Y la variable aléatoire qui, à chaque bouteille prélevée au hasard associe le taux de calcium (en mg) de
l’eau qu’elle contient. On suppose que Y suit la loi normale d’espérance 50,6 et d’écart type 10.
1. Quelle est la probabilité d’avoir un taux de calcium égal à 50,6 mg ?
p (Y = 50,6) = 0 car X suit une loi à densité.
2. Calculer p (Y > 65). Interpréter ce résultat. Celui-ci est-il cohérent avec les données du
problème ? Expliquer.
Y suit la loi normale N (50,6 ; 102) donc
p (Y> 65) = 0,5 ‒ p (50,6< Y <65) ≈ 0,075
Ceci signifie que la probabilité d’avoir un taux de calcium supérieur à 65 mg est d’environ 0,075,
c’est-à-dire que la probabilité d’avoir une bouteille qui contient une eau calcaire est
d’environ 0,075. Ceci est cohérent avec l’hypothèse donnée : « dans un stock important de
bouteilles, 7,5% des bouteilles contiennent de l’eau calcaire ».
Partie C :
L’eau minérale provient de deux sources S1 et S2.
La probabilité que l’eau soit calcaire est 0,064 pour les bouteilles provenant de la source S1 et 0,10 pour les
bouteilles provenant de la source S2 .
La source S1fournit 70% de la production totale des bouteilles d’eau et la source S2 le reste de la production.
On prélève au hasard une bouteille d’eau parmi la production totale d’une journée.
Toutes les bouteilles d’eau ont la même probabilité d’être tirées.
1. Calculer la probabilité que l’eau contenue dans la bouteille soit calcaire. On détaillera le
raisonnement et on donnera la valeur exacte de cette probabilité.
0,064
C
0,7
S1
0,936
C
0,3
0,10
C
S2
0,90
C
S1 et S2 forment une partition de l’univers donc d’après la formule des probabilités totales , on a
p ( C) = p ( S1 C) + p ( S2 C)
= p ( S1) × p
1
S
(C) + p ( S2)× p
2
S
(C) = 0,7 × 0,064 + 0,3 × 0,10 = 0,0448 + 0,03 = 0,0748
La probabilité que l’eau contenue dans la bouteille soit calcaire est de 0,0748

2. On a analysé une bouteille d’eau et il s’avère qu’elle contient de l’eau calcaire. Quelle est la
probabilité que’elle provienne de la source S2 ?
On cherche donc ici : pC (S2)
pC (S2) = p(C
S2)
p(C) = p ( S2)× p
2
S
(C)
p( C) = 0,3 × 0,10 0,0748 = 0,03 0,0748 = 300 748 = 75 187 ≈ 0, 401
On a analysé une bouteille d’eau et il s’avère qu’elle contient de l’eau calcaire. La
probabilité qu’elle provienne de la source S2 est égale à environ 0, 401

Exercice 2 : ( 6,5 points)
Partie A : QCM sans justification (3 points) : les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Le candidatportera dans la dernière colonne, sans
justification, la lettre correspondant à la réponsechoisie.
Il est attribué 0,75 point si la réponse est exacte, 0,25 point est enlevé pour une réponse inexacte et aucun point n’est enlevé pour
une absence de réponse.
Soit une fonction f définie sur IR et dont
voici la représentation graphique
dans un repère orthogonal.
Parmi les représentations graphiques
données ci-contre, quelle est celle d’une
primitive de f sur IR ?
Réponse A
Réponse B
Réponse C
B
Soit la suite (un) définie pour tout entier
n par : un = 5×0,25n
Soit Sn = u0 + u1 + …… + unalors
Sn = 20
3(1 ‒ 0,25n+1)
Réponse A
Sn = 4
3(5 ‒ 1,25n+1)
Réponse B
Sn = 20
3(1 ‒ 0,25n)
Réponse C
A
Voici des courbes représentant les
fonctions de densité de variables
aléatoires qui suivent une loi normale
N (μ, σ2)
μ > 1 et σ > 1
Réponse A
μ > 1 et σ>1
Réponse B
μ > 1 et σ = 1
Réponse C
B
Pour tout réel x,
e2x+ 3ex ‒ 4 s’écrit aussi :
ex (ex + 3 ‒ 4)
Réponse A
e2x+ 3x ‒ 4
Réponse B
( ex + 4) (ex ‒ 1)
Réponse C
C

Explications : Pour la question 1 :
Soit une fonction f définie sur IR et dont
voici la représentation graphique
dans un repère orthogonal.
Parmi les représentations graphiques
données ci-contre, quelle est celle d’une
primitive de f sur IR ?
Réponse A
Réponse B
Réponse C
B
x
‒ ∞
……
……
…..
+ ∞
Signe de f(x)
donc de F’(x)
+
0
‒
0
+
0
‒
Variation de F
Pour la question 2 :
Soit la suite (un) définie pour tout
entier n par : un = 5×0,25n
Soit Sn = u0 + u1 + …… + unalors
Sn = 20
3(1 ‒ 0,25n+1)
Réponse A
Sn = 4
3(5 ‒ 1,25n+1)
Réponse B
Sn = 20
3(1 ‒ 0,25n)
Réponse C
A
Sn = u0 + u1 + …… + un = 5+ 5×0,251+ 5×0,252+………………. + 5×0,25n
= 5 (1 + 0,25+ 0,252+………………. + 0,25n)
Or si b est différent de1, ce qui est le cas ici avec b = 0,25, on a
1+b+ b2+………………. + bn = 1‒ bn+ 1
1 ‒ b
On a donc : Sn = 5 × 1‒ 0,25n+ 1
1 ‒ 0,25 = 5 × 1‒ 0,25n+ 1 0,75 = 5 × 1‒ 0,25n+ 1 3
4
= 5 × 4
3 × ( 1 ‒ 0,25n+1)
Sn= 20
3(1 ‒ 0,25n+1)