M1_TD_Systeme_Dynami.. - L3 Mécanique de l`Université Paris Sud

Master 1 de M´ecanique Physique Universit´e Paris Sud
Syst`emes Dynamiques et Chaos
— P-MEC-414A —
Travaux dirig´es
(Version du 23 novembre 2007)
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Y
X
Z
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Table des mati`eres
1 — Un syst`eme dynamique mod`ele : le pendule pesant 3
2 — Quelques exemples de syst`emes dynamiques 4
3 — Vari´et´e centrale 5
4 — Bifurcations 6
5 — Applications it´er´ees 7
6 — Application logistique I 9
7 — Application logistique II 11
8 — L’attracteur de H´enon 12
9 — Le syst`eme de Lorenz 13
10 — ´ Etude de solutions faiblement non-lin´eaires 15
11 — ´ Equation de Ginzburg-Landau 17
12 — M´ecanique c´eleste 18
A — Examen de janvier 2005 20
B — Examen de janvier 2006 23
C — Examen de janvier 2007 25
2

1 — Un syst`eme dynamique mod`ele : le pendule pesant
Le syst`eme est une boule Massimilable `a un point mat´eriel de masse m, suspendue `a l’extrˆemit´e d’un
fil rigide de longueur l. L’autre extr´emit´e du fil est accroch´ee `a un point Ofixe (voir figure). On ´etudiera la
dynamique du pendule `a l’aide de la variable θqui mesure l’´ecart angulaire du fil par rapport `a la verticale. La
position verticale basse correspond `a θ= 0.
l
M
O
T
g
m
Fig. 1 – Pendule pesant.
1) Etude ´energ´etique pr´eliminaire.
a) Montrer que l’´equation du mouvement du pendule peut s’´ecrire :
¨
θ+ω2
0sin θ= 0,(1)
o`u l’on explicitera ω0en fonction de m,g, et l. L’´equation est-elle lin´eaire ?
b) On pose le changement de variables t→ω0t. Que devient l’´equation dans ce cas ?
c) On consid`ere de petites oscillations : θ¿1. Montrer que dans ce cas l’´equation devient en premi`ere
approximation celle d’un oscillateur harmonique. Ecrire les solutions de cette ´equation.
d) R´esoudre le probl`eme pour des oscillations faibles autour de θ=π. Commenter.
e) En calculant l’int´egrale premi`ere de l’´equation, ´ecrire l’´energie m´ecanique Edu pendule en fonction de
θ,˙ θ. Tracer les lignes ´equipotentielles dans l’espace des phases (θ, ˙ θ) du syst`eme.
2) Mise sous la forme d’un syst`eme dynamique.
a) R´e´ecrire l’´equation (1) sous la forme d’un syst`eme dynamique, en posant y=˙ θ.
b) D´eterminer les points fixes (solutions stationnaires) du syst`eme, et ´etudier leur stabilit´e.
c) Le vecteur ~v tangent aux lignes de niveau d’´energie dans l’espace des phases a pour coordonn´ees :
~v =µ˙
θ
˙y¶.(2)
En d´eduire les lignes ´equipotentielles dans le plan (θ, ˙ θ), et retrouver le r´esultat pr´ec´edent.
3) Dissipation visqueuse. Le pendule subit en fait une dissipation de son ´energie m´ecanique par frottements
visqueux dans l’air. La force de frottements est proportionnelle `a la vitesse du pendule :
~
fν=−ν˙ θˆ θ. (3)
a) R´e´ecrire l’´equation dynamique v´erifi´ee par le pendule.
b) Ecrire les solutions dans le cas de petites oscillations (θ¿1).
c) Que devient le portrait de phase du syst`eme ? Quels sont les ´etats finaux possibles du pendule ?
4) Pendule amorti forc´e. Le pendule subit `a pr´esent un for¸cage p´eriodique. L’´equation dynamique s’´ecrit :
¨
θ+γ˙ θ+ sin θ=Acos ωt. (4)
a) ´ Ecrire le syst`eme sous la forme d’un syst`eme dynamique.
b) Quels sont les points fixes lorsque ω6= 0 est impos´e de l’ext´erieur ?
c) Montrer que div f=−γ. Le syst`eme est-il dissipatif ?
3

2 — Quelques exemples de syst`emes dynamiques
2.1 La dynamique pr´edateur/proie.
Soient les ´equations de Lokta-Volterra :
½˙x=ax −αxy,
˙y=−cy +γxy, (1)
o`u les coefficients a,c,α,γ, et les variables dynamiques xet y, sont positives. Dans ces ´equations, xrepr´esente
la population des proies, ycelle des pr´edateurs.
1) Quelle est la signification physique des param`etres aet c?
2) D´eterminer les deux points fixes du syst`eme. De quelle nature sont-ils ? (On ´etudiera leurs propri´et´es de
stabilit´e.)
3) Montrer qu’en ´eliminant ydans les ´equations, on obtient une ´equation de la forme :
¨x+g(x, ˙x) = 0.
Montrer que :
F(x) = c
a³γx c−log x´−˙x ax −log µ1−˙x ax¶=C(2)
est une int´egrale premi`ere de cette ´equation.
4) ´ Ecrire un programme (sous Matlab par exemple) qui permet de dessiner le portrait de phase du syst`eme
pour a= 2, α= 1, c= 3, γ= 1.
2.2 Circuit ´electronique.
On consid`ere le circuit de Chua :
˙x=α(y−x−f(x)),
˙y=x−y+z,
˙z=−βy,
(3)
avec f(x) = bx + 0.5(a−b) (|x+ 1|−|x−1|). On suppose que a=−8/7, b=−5/7, β= 100/7 et α > 0
(param`etre de bifurcation). Trouver les points fixes du syst`eme et ´etudier leur stabilit´e.
2.3 R´eaction chimique auto-catalys´ee.
Ce type de r´eaction peut ˆetre parfois mod´elis´e par le syst`eme dynamique du Bruxellateur :
½˙x=a−(b+ 1)x+x2y,
˙y=bx −x2y, (4)
o`u a,bsont des coefficients r´eels positifs.
1) Rechercher le point fixe du syst`eme.
2) Sous quelle condition le point fixe est-il r´epulsif ?
2.4 R´egulation de la fonction glycolytique dans l’organisme.
On consid`ere le syst`eme dynamique :
½˙x=−x+ay +x2y,
˙y=b−ay −x2y, (5)
avec aet bdes constantes r´eelles positives, qui mod´elisent le processus biochimique de la glycolyse (au cours
duquel le sucre est d´egrad´e pour produire de l’´energie exploitable par les muscles).
1) Tracer les courbes y=x/(a+x2) et y=b/(a+x2). En d´eduire que le syst`eme poss`ede un point fixe.
2) Soit C=b4+ (2a−1)b2+a+a2. Montrer que le point fixe est stable pour C > 0, et instable pour C < 0.
En d´eduire que si C < 0, le syst`eme poss`ede un cycle limite.
4

3 — Vari´et´e centrale
On s’int´eresse dans ce probl`eme au syst`eme de Duffing non forc´e, dont l’´equation du mouvement peut se
mettre sous la forme :
¨x+δ˙x−²x +x3= 0,(1)
o`u δest un param`etre constant positif, et ²est le param`etre de contrˆole.
1) Combien le syst`eme poss`ede-t-il de degr´es de libert´e ?
2) ´ Ecrire l’´equation (1) sous la forme d’un syst`eme dynamique.
3) S’agit-il d’un syst`eme dissipatif ?
4) Rechercher les points fixes du syst`eme, et ´etudier leur stabilit´e.
5) Le syst`eme subit-il une bifurcation lorsque ²varie ? Si oui, de quel type est-elle ?
6) Pour quelle valeur de ²existe-t-il une vari´et´e centrale ? Quelle est sa dimension ? D´eterminer son expression
au voisinage de l’origine. Comment ´evolue la dynamique du syst`eme sur cette vari´et´e centrale ?
7) Comment est modifi´ee la vari´et´e centrale lorsque ²varie ? Que devient la dynamique du syst`eme dans ce
cas ? Comparer le r´esultat obtenu `a celui de la question (5) et conclure.
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