Spécialité TS Exercices pour préparer la composition du premier trimestre 2010-2011 Exercice 1 1) Montrer que, pour tout entier n : pgcd(5n3 – n ; n + 2) = pgcd(n + 2 ;38) 2) Déterminer l’ensemble des entiers n tels que n + 2 divise 5n3 – n. 3) Quelles sont les valeurs possibles du PGCD de 5n3 – n et n + 2 ? 4) Déterminer l’ensemble des entiers n tels que le pgcd de 5n3 – n et de n + 2 soit égal à 19. Exercice 2 Pour tout entier naturel supérieur ou égal à 5, on considère les nombres : a = n3 –n² - 12n et b = 2n² -7n – 4. 1) Montrer, après factorisation, que a et b sont des entiers naturels divisibles par 4. 2) On pose α = 2n + 1 et β = n + 3. a) Etablir une relation entre α et β indépendante de n. b) Démontrer que d est un diviseur de 5. c) Démontrer que les nombres α et β sont multiples de 5 si, et seulement si, n – 2 est un multiple de 5. 3) Montrer que 2n + 1 et n sont premiers entre eux. 4) a) Déterminer, suivant les valeurs de n et en fonction de n le PGCD de a et b. On admettra le résultat suivant : si a et c sont premiers entre eux alors PGCD(ab ;c) = PGCD(b ;c). b) Vérifier les résultats obtenus dans les cas particuliers : n = 11 et n = 12. 1 Spécialité TS Exercices pour préparer la composition du premier trimestre CORRECTION 2010-2011 Exercice 1 1) 5n3 - n = (n+2)(5n² – 10n + 19) – 38 Donc d’après le lemme d’Euclide, PGCD(5n3 – n ; n + 2) = PGCD(n + 2 ; 38) 2) Si n + 2 divise 5n3 – n alors pgcd(5n3 –n ; n + 2) = n + 2 Donc pgcd(n + 2 ;38) = n + 2 D’où n + 2 divise 38. Donc n + 2 ∈ {-38 ;-19 ;-2 ;-1 ;1 ;2 ;19 ;38} Soit n ∈ {-40 ;-21 ;-4 ;-3 ;-1 ;0 ;17 ;36} 3) Le pgcd de 5n3 – 3 et n + 2 est un nombre entier naturel qui divise 38. Donc pgcd(5n3 – 3 ; n+ 2) = 1 ; 2 ; 19 ou 38. 4) Si pgcd(5n3 – 3 ; n + 2) = 19 alors pgcd(n+2 ;38) = 19 Alors 19 divise n + 2 et n + 2 doit être impair (sinon le pgcd serait égal à 38) Soit n + 2 = 19k avec k entier et n impair. Soit n = 19k – 2 avec k entier et n impair. Soit n = 19(2q + 1) – 2 avec q entier. Soit n = 38q + 17 avec q entier. Exercice 2 1) a = n3 – n² - 12n = n(n² - n – 12)=n(n – 4)(n + 3) : donc a est divisible par n – 4. b = 2n² – 7n - 4 = (n – 4)(2n + 1) : donc b est divisible par n – 4. Pour n ≥ 5, n(n – 4)(n + 3) ≥ 0 donc a est bien un entier naturel. Pour n ≥ 5, (n – 4)(n + 3) ≥ 0 donc b est bien aussi un entier naturel. 2) a) 2β - α = 2(n + 3) – (2n + 1) = 6 - 1 = 5 b) d = PGCD(α ;β) Donc d divise α et d divise β. Donc d divise 2β - α. Donc d divise 5. c) Si α et β sont des multiples de 5, alors il existe des entiers k et k’ tels que α = 5k et β = 5k’. Soit 2n + 1 = 5k et n + 3 = 5k’ En soustrayant membre à membre ces deux égalités, on obtient : (2n + 1) – (n + 3) = 5k – 5k’ Soit n – 2 = 5(k – k’) Donc n – 2 est un multiple de 5 (n – n’ étant bien un entier). Réciproquement, si n – 2 est un multiple de 5, alors il existe un entier k tel que n – 2 = 5k. Alors : α = 2n + 1 = 2(5k + 2) + 1 = 10k + 5 = 5(5k + 2) et α est un multiple de 5. β = n + 3 = 5k + 2 + 3 = 5(k + 1) et β est un multiple de 5. 2 Spécialité TS Exercices pour préparer la composition du premier trimestre CORRECTION 2010-2011 Conclusion : α et β sont multiples de 5 si, et seulement si, n – 2 est un multiple de 5. 3) Soit d = PGCD(2n+1 ;n) d divise 2n + 1 et d divise n Donc d divise (2n + 1) – 2n = 1 Donc d = 1. Donc les nombres 2n+1 et n sont premiers entre eux. 4) a) PGCD(a ;b) = PGCD(n(n-4)(n+3);(n-4)(2n+1)) = (n-4)×PGCD(n(n+3);2n+1) Soit PGCD(a ;b) = (n-4)×PGCD(n+3 ;2n+1) car n et 2n + 1 sont premiers entre eux. Soit PGCD(a ;b) = (n – 4)×d avec d = PGCD(n + 3 ;2n + 1) Or d divise 5 d’après la question 2)b) Donc d = 1 ou 5. Si n – 2 est un multiple de 5, alors d = 5 et donc PGCD(a ;b) = 5(n – 4) Si n – 2 n’est pas un multiple de 5, alors d = 1 et PGCD(a ;b) = n – 4 b) Pour n = 11, a = 113 – 11² - 12×11 = 1078 et b = 2×11² - 7×11 – 4 = 161 L’algorithme d’Euclide pour déterminer le PGCD de a et b donne : 1078 = 6×161 + 112 161 = 1×112 + 49 112 = 2×49 + 14 49 = 3×14 + 7 17 = 2×7 + 0 Donc PGCD(1078 ;161) = 7 et on vérifie que n – 2 = 9 n’est pas un multiple de 5 et que n – 4 = 7. Pour n = 12, a = 123 – 12² - 12×12 = 1440 et b = 2×12² - 7×12 – 4 = 200 L’algorithme d’Euclide pour déterminer le PGCD de a et b donne : 1440 = 7×200 + 40 200 = 5×40 + 0 Donc PGCD(1140 ;200) = 40 et on vérifie que n – 2 = 10 est un multiple de 5 et que 5(n – 4)= 5×8 = 40. 3