Spécialité TS Exercices pour préparer la composition du premier

Spécialité TS Exercices pour préparer la composition du premier trimestre 2010-2011
1
Exercice 1
1) Montrer que, pour tout entier n :
pgcd(5n
3
– n ; n + 2) = pgcd(n + 2 ;38)
2) Déterminer l’ensemble des entiers n tels que n + 2 divise 5n
3
– n.
3) Quelles sont les valeurs possibles du PGCD de 5n
3
– n et n + 2 ?
4) Déterminer l’ensemble des entiers n tels que le pgcd de 5n
3
– n et de n + 2 soit égal à
19.
Exercice 2
Pour tout entier naturel supérieur ou égal à 5, on considère les nombres :
a = n
3
–n² - 12n et b = 2n² -7n – 4.
1) Montrer, après factorisation, que a et b sont des entiers naturels divisibles par 4.
2) On pose α = 2n + 1 et β = n + 3.
a) Etablir une relation entre α et β indépendante de n.
b) Démontrer que d est un diviseur de 5.
c) Démontrer que les nombres α et β sont multiples de 5 si, et seulement si, n – 2 est
un multiple de 5.
3) Montrer que 2n + 1 et n sont premiers entre eux.
4) a) Déterminer, suivant les valeurs de n et en fonction de n le PGCD de a et b.
On admettra le résultat suivant :
si a et c sont premiers entre eux alors PGCD(ab ;c) = PGCD(b ;c).
b) Vérifier les résultats obtenus dans les cas particuliers :
n = 11 et n = 12.

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CORRECTION
2
Exercice 1
1) 5n
3
- n = (n+2)(5n² – 10n + 19) – 38
Donc d’après le lemme d’Euclide, PGCD(5n
3
– n ; n + 2) = PGCD(n + 2 ; 38)
2) Si n + 2 divise 5n
3
– n alors pgcd(5n
3
–n ; n + 2) = n + 2
Donc pgcd(n + 2 ;38) = n + 2
D’où n + 2 divise 38.
Donc n + 2 ∈ {-38 ;-19 ;-2 ;-1 ;1 ;2 ;19 ;38}
Soit n ∈ {-40 ;-21 ;-4 ;-3 ;-1 ;0 ;17 ;36}
3) Le pgcd de 5n
3
– 3 et n + 2 est un nombre entier naturel qui divise 38.
Donc pgcd(5n
3
– 3 ; n+ 2) = 1 ; 2 ; 19 ou 38.
4) Si pgcd(5n
3
– 3 ; n + 2) = 19 alors pgcd(n+2 ;38) = 19
Alors 19 divise n + 2 et n + 2 doit être impair (sinon le pgcd serait égal à 38)
Soit n + 2 = 19k avec k entier et n impair.
Soit n = 19k – 2 avec k entier et n impair.
Soit n = 19(2q + 1) – 2 avec q entier.
Soit n = 38q + 17 avec q entier.
Exercice 2
1) a = n
3
– n² - 12n = n(n² - n – 12)=n(n – 4)(n + 3) : donc a est divisible par n – 4.
b = 2n² – 7n - 4 = (n – 4)(2n + 1) : donc b est divisible par n – 4.
Pour n ≥ 5, n(n – 4)(n + 3) ≥ 0 donc a est bien un entier naturel.
Pour n ≥ 5, (n – 4)(n + 3) ≥ 0 donc b est bien aussi un entier naturel.
2) a) 2β - α = 2(n + 3) – (2n + 1) = 6 - 1 = 5
b) d = PGCD(α ;β)
Donc d divise α et d divise β.
Donc d divise 2β - α.
Donc d divise 5.
c) Si α et β sont des multiples de 5, alors il existe des entiers k et k’ tels que α =
5k et β = 5k’.
Soit 2n + 1 = 5k et n + 3 = 5k’
En soustrayant membre à membre ces deux égalités, on obtient :
(2n + 1) – (n + 3) = 5k – 5k’
Soit n – 2 = 5(k – k’)
Donc n – 2 est un multiple de 5 (n – n’ étant bien un entier).
Réciproquement, si n – 2 est un multiple de 5, alors il existe un entier k tel que n –
2 = 5k.
Alors : α = 2n + 1 = 2(5k + 2) + 1 = 10k + 5 = 5(5k + 2) et α est un multiple de 5.
β = n + 3 = 5k + 2 + 3 = 5(k + 1) et β est un multiple de 5.

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CORRECTION
3
Conclusion : α et β sont multiples de 5 si, et seulement si, n – 2 est un multiple de 5.
3) Soit d = PGCD(2n+1 ;n)
d divise 2n + 1 et d divise n
Donc d divise (2n + 1) – 2n = 1
Donc d = 1.
Donc les nombres 2n+1 et n sont premiers entre eux.
4) a) PGCD(a ;b) = PGCD(n(n-4)(n+3);(n-4)(2n+1)) = (n-4)×PGCD(n(n+3);2n+1)
Soit PGCD(a ;b) = (n-4)×PGCD(n+3 ;2n+1) car n et 2n + 1 sont premiers entre eux.
Soit PGCD(a ;b) = (n – 4)×d avec d = PGCD(n + 3 ;2n + 1)
Or d divise 5 d’après la question 2)b)
Donc d = 1 ou 5.
Si n – 2 est un multiple de 5, alors d = 5 et donc PGCD(a ;b) = 5(n – 4)
Si n – 2 n’est pas un multiple de 5, alors d = 1 et PGCD(a ;b) = n – 4
b) Pour n = 11, a = 11
3
– 11² - 12×11 = 1078 et b = 2×11² - 7×11 – 4 = 161
L’algorithme d’Euclide pour déterminer le PGCD de a et b donne :
1078 = 6×161 + 112
161 = 1×112 + 49
112 = 2×49 + 14
49 = 3×14 + 7
17 = 2×7 + 0
Donc PGCD(1078 ;161) = 7 et on vérifie que n – 2 = 9 n’est pas un multiple de 5 et
que n – 4 = 7.
Pour n = 12, a = 12
3
– 12
²
- 12×12 = 1440 et b = 2×12² - 7×12 – 4 = 200
L’algorithme d’Euclide pour déterminer le PGCD de a et b donne :
1440 = 7×200 + 40
200 = 5×40 + 0
Donc PGCD(1140 ;200) = 40 et on vérifie que n – 2 = 10 est un multiple de 5 et que
5(n – 4)= 5×8 = 40.