Activités numériques I Le partenaire de votre réussite ! Résumé du cours NIVEAU : 1ère année 1°) Ensembles de nombres : ● IN = {0,1,2,3,4,…} = l’ensemble des entiers naturels ● IN* ={1,2,3,4,…} = l’ensemble des entiers naturels non nuls ● = {….,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,….} = l’ensembles des entiers relatifs ● = l’ensemble des nombres rationnels Un nombre est rationnel s’il peut s’écrire sous la forme a avec a b b ● D = l’ensemble des décimaux Un nombre est décimal s’il peut s’écrire sous la forme a avec a 10 n , n ● IR = l’ensemble des nombres réels On a : IN Z D Q IR www.monmath.com : Le partenaire de votre réussite ! 1 * Remarques : Ecriture décimale d’un nombre décimal Exemple x = 5374179,459 (5374179,459=5 ×1000000+3×100000+7×10000+4×1000+1×100+7×10+9+4×0.1+5×0.01+9×0,001) 2°) Division Euclidienne : Soient a et b deux entiers naturels tel que b est différent de 0. Effectuer la division Euclidienne de a par b c’est déterminer le couple d’entiers naturels (q,r) tels que a bq r et 0 r q Exemple : 3°) Diviseur d’un entier naturel Soient a et b deux entiers naturels tel que b est différent de 0. a b est un diviseur de a signifie signifie il existe un entier naturel c tel que a bc b Dans ce cas on dit que a est un multiple de b 4°) Critères de divisibilité : ● Un entier est divisible par 2 s’il est pair. ● Un entier est divisible par 3 si la somme de ces chiffres est divisible par 3. ● Un entier est divisible par 4 si le nombre formé par les deux derniers chiffres est divisible par 4. ● Un entier est divisible par 5 si le chiffre des unités est 0 ou 5. ● Un entier est divisible par 6 s’ il est divisible par 2 et 3. ● Un entier est divisible par 8 si le nombre formé par les trois derniers chiffres est divisible 8. ● Un entier est divisible par 9 si la somme de ces chiffres est divisible par 9. ● Un entier est divisible par 10 si le chiffre des unités est 0. ● Un entier est divisible par 12 s’il est divisible par 3 et 4. ● Un entier est divisible par 25 si le nombre formé par les deux derniers chiffres est divisible par 25. www.monmath.com : Le partenaire de votre réussite ! 2 4°) PGCD.PPCM PGCD de deux entiers naturels no nuls : ( le plus grand commun diviseur) Pour déterminer le PGCD de deux entiers naturels a et b On décompose a et b en produit des facteurs premiers, le PGCD de a et b est alors le produit de facteurs premiers communs affectés des plus petites puissances. PPCM de deux entiers naturels : (le plus petit commun multiple) Pour déterminer le PPCM de deux entiers naturels a et b. On décompose a et b en produit des facteurs premiers, le PPCM de a et b est alors le produit de facteurs premiers communs et non communs affectés des plus grandes puissances. Remarque : PPCM(a,b) PGCD(a,b) a b avec a et b deux entiers naturels. Entiers naturels premiers entre eux Deux entiers naturels sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1. Fraction irréductible Soient a et b deux entiers naturels , (Autrement on dit que a est une fraction irréductible si PGCD(a,b) 1. b a est une fraction irréductible si on ne peut pas la simplifier ) b 5°) Entier naturel premier : Un entier naturel est premier s’il est différent de 1 et s’il possède exactement deux diviseurs 1 et lui-même. 6°) Ecriture scientifique - Valeur approchée – arrondis : a) Ecriture scientifique d’un nombre décimal : Définition : Déterminer l’écriture scientifique d’un nombre décimal signifie l’écrire sous la forme a 10n avec n et a est un décimal ayant un seul chiffre non nul avant la virgule. www.monmath.com : Le partenaire de votre réussite ! 3 Exemples : Nombre (écriture décimale) Ecriture scientifique 923,2531 9,232531 10 2 0,0002537 2,537 10 4 b) Valeur approchée d’un réel : Définition : m IR a D n On a dit que a est une valeur approchée de m à 10 n prés si m a 10n Remarque : Une valeur approchée d’un réel à une précision donnée est obtenue en coupant l’écriture avec la virgule du nombre au rang voulu. Exemples : Soit b = 4329,71592 sa valeur approchée au dixième ( 0,1 prés) est 4329,7. sa valeur approchée au centième ( 0,01 prés) est 4329,71. sa valeur approchée au millième ( 0,001 prés) est 4329,715. sa valeur approchée au dizaine ( 10 prés) est 4320. c) Arrondi d’un nombre réel: Pour trouver l’arrondi d’un nombre à un rang donné , on conserve les chiffres de l’écriture décimale de ce nombre jusqu’au rang indiqué ● Si le chiffre d’après est inférieur ou égal à 4 alors l’arrondi est le nombre obtenu ● Si non on ajoute 1 au dernier chiffre conservé. Exemples : A = 4329,71592 son arrondi à 0,1 près est 4329,7. son arrondi à 0,01 près est 4329,72. son arrondi à 0,001 près est 4329,716. son arrondi à 10 prés est 4330. son arrondi à 100 prés est 4300. www.monmath.com : Le partenaire de votre réussite ! 4