Arithmétique et problèmes de codages (suite)

1
Séquence 3 – MA03
Séquence 3
Arithmétique
et problèmes de codages
(suite)
Cette séquence fait suite à la
séquence 1. En utilisant à nouveau
des problèmes de codages, nous
allons introduire ou approfondir des
éléments d’arithmétique.
Sommaire
1. Prérequis
2. Plus grand commun diviseur (PGCD)
3. Entiers premiers entre eux
4. Retour sur les nombres premiers
et application au chiffrement RSA
5. Synthèse
© Cned - Académie en ligne

3
Séquence 3 – MA03
Congruence
Soit n un entier naturel non nul donné, et soit x et y deux entiers relatifs quel-
conques.
On dit que
x est congru à y modulo n si la différence xy − est un multiple
de
n .
Dans ce cas, on note :
xy n ≡mod ou encore xyn ≡[] ou encore xyn ≡()
et on lit «
x congru à y modulo n ».
Définition
t Un nombre est congru à 0 modulo n si, et seulement si, c’est un multiple de n.
t Tout nombre pair est congru à 0 modulo 2; tout nombre impair est congru à 1
modulo 2.
t Tout nombre est congru à son chiffre des unités modulo 10.
t Tout nombre est congru modulo
n au reste de sa division euclidienne par n.
Conséquences
Si
xyn ≡[]
et
yzn ≡[]
alors
xzn ≡[].
Transitivité
Si
xyn ≡[]
et ′≡′
xyn []
alors
xx yyn +′≡+
′[],
xx yyn −′≡−
′[]
et
xx yy n
′≡′[].
Compatibilités
Si
xyp ≡[]
alors, pour tout entier naturel
n , on a:
xyp
nn
≡[].
Propriété
A
1Prérequis
© Cned - Académie en ligne

4
Séquence 3 – MA03
Calcul matriciel
Une matrice de dimension
np × est un tableau de nombres à
n
lignes et
p
colonnes.
A
aa a
aa a
aa a
=
p
p
nn np
11 12 1
21 22 2
12
Si
np = la matrice est dite carrée.
La matrice unité d’ordre
n
est une matrice carrée à
n
lignes et n colonnes dont
la diagonale principale est composée de 1 et dont les autres coefficients sont nuls.
Généralement, elle est notée
I .
II
23
=10
01,=
100
010
001
.
Définitions
Opérations
Multiplication par un réel
k
d’une matrice : on multiplie par
k
chaque coefficient.
Addition de matrices de mêmes dimensions: on ajoute les coefficients correspon-
dants.
Multiplication de deux matrices
A
et
B
: lorsque le nombre de colonnes de
A
est
égal au nombre de lignes de
B , le produit de la ligne
i
de
A
par la colonne
j
de
B
donne le coefficient du produit
AB ⋅ correspondant.
Définitions
En général, le produit n’est pas commutatif :
AB BA ⋅≠⋅.
Puissance
n -ième d’une matrice carrée non nulle A :
AI
p
0= et
AAAAn
n
n
=1⋅⋅⋅ ≥... .
fois
si
Inverse d’une matrice carrée : s’il existe une matrice
B
telle que
AB BA I ⋅⋅==
alors
A
est inversible et son inverse notée
A
−1 est
B .
B
© Cned - Académie en ligne

5
Séquence 3 – MA03
Matrices
22×
Si
Aab
cd
=
 et det( ) = 0
Aadbc −≠
alors
A
est inversible et
AA
db
ca
−−
−
1=1
()det .
Propriétés
Décomposition en produit
de facteurs premiers
Soit n un entier naturel strictement supérieur à 1 dont la décomposition en produit
de facteurs premiers est:
np p p
kk
=×××
12
12
αα α
... .
Alors les diviseurs de
n dans
N
sont les entiers naturels
pp p
kk 12
12
ββ β
×××... où
pour tout 1≤≤
ik ,0≤≤
βα
ii
.
Théorème
Soit n un entier naturel strictement supérieur à 1 dont la décomposition en produit
de facteurs premiers est:
np p p
kk
=×××
12
12
αα α
... .
Alors le nombre de diviseurs positifs de
n est ( 1) ( 1) ... ( 1).
k 12
αα α +× +×× +
Corollaire
C
© Cned - Académie en ligne

6
Séquence 3 – MA03
2Plus grand commun
diviseur (PGCD)
Objectifs du chapitre
À travers des problèmes de pavages, nous allons revoir la notion de PGCD déjà
vue en classe de troisième.
Pour débuter
Carrelage (1)
Dans une maison nouvellement construite, on veut carreler les sols de certaines
pièces.
 Le sol de la salle à manger est un rectangle de longueur 4,54 m et de largeur
3,75 m. On veut carreler cette pièce avec des carreaux carrés de 33 cm de
côté. On commence la pose par un coin de la pièce, comme le suggère la figure
ci-dessous:
Calculer le nombre de carreaux non découpés qui auront été posés.
 Le sol de la cuisine est un rectangle de longueur 4,55 m et de largeur 3,85m.
On veut carreler cette pièce avec un nombre entier de dalles carrées, sans
aucune découpe.
a) Donner la liste des diviseurs de 455 puis la liste des diviseurs de 385.
b) Donner la liste des diviseurs communs à 455 et 385.
c) Quel est alors le plus grand côté possible des dalles carrées pour carreler
cette cuisine sans découpe ?
A
B
Activité 1
© Cned - Académie en ligne