Thermodynamique

Thermodynamique
➤ L’équation de la diffusion thermique est une équation aux dérivées partielles. Sa solution est
unique pour des conditions aux frontières données.
➤ La non invariance de cette équation par renversement du temps (changement de variable
Diffusion thermique
t → −t ) traduit l’irréversibilité de la conduction thermique.
Régime stationnaire : résistance thermique
Loi de Fourier
Sans terme de production (pi = 0), l’équation de diffusion thermique s’écrit
On définit le flux thermique Φ à travers une surface S par
dT
T2 − T1
j th
Φ
= cte =
=−
= − , en notant T1 = T(x1 ), T2 = T(x2 ) et x2 − x1 = L.
dx
L
λ
λS
➤ En régime stationnaire, le flux thermique Φ est constant.
On a donc
δQ = Φ dt ,
où δQ est le transfert thermique non convectif traversant S pendant le temps dt .
➤ Le flux thermique Φ est une grandeur algébrique ; c’est une puissance, qui s’exprime en watts.
− est défini par
Le vecteur densité de courant thermique →
th
On définit la résistance thermique du matériau par Rth =
La loi de Fourier s’énonce
δQ
=
dt
Ï
S
1
.
Rth
➤ Les résistances thermiques en série s’ajoutent ; les conductances thermiques en parallèles
s’ajoutent.
−
→
− · d→
S
th
Le bilan d’énergie en régime stationnaire appliqué au volume V délimité par la surface S s’écrit sous
forme intégrale :
Ó
Ñ
−
→
− · d→
0=−
S + dt
pi dτ .
th
−−−→
→
−
 th = −λ gradT ,
S
où λ > 0 (en W · m−1 · K−1 ) est la conductivité thermique du matériau. Un matériau bon conducteur
de la chaleur est caractérisée par une conductivité thermique λ élevée.
➤ La loi de Fourier (1815) est phénoménologique. Elle est valable si les écarts températures ne
sont si trop forts ni trop faibles (réponse linéaire du système à un gradient de température).
➤ Le signe − rend compte de l’orientation du flux thermique vers les basses températures.
∂T(x,t )
➤ À une dimension, la loi de Fourier s’écrit j th = −λ
.
∂x
➤ La diffusion thermique est le mode de transfert de la chaleur caractéristique des solides ; elle
existe aussi dans les liquides et les gaz, mais souvent associée à la convection.
➤ La conduction thermique se fait sans transport macroscopique de matière ; il s’agit d’un transfert d’énergie cinétique microscopique de proche en proche entre les particules. les bons conducteurs de l’électricité sont aussi des bons conducteurs thermiques (les électrons de conduction
contribuent à la diffusion thermique).
Eddie S AUDRAIS — Auxerre 2003-2004
Le bilan d’énergie à une dimension s’écrit
∂ j th (x,t )
∂ρu(x,t )
=−
+ pi (x,t ) ,
∂t
∂x
où ρ est la masse volumique du matériau étudié, u(x,t ) son énergie interne massique et p i le taux de
production d’énergie interne par unité de temps et par unité de volume.
Si le milieu est incompressible (ρ constante), l’introduction de la loi de Fourier conduit à l’équation
de la diffusion thermique, ou équation de la chaleur,
∂T(x,t )
∂2 T(x,t )
=a
+ pi (x,t ) ,
∂t
∂x 2
λ
est la diffusivité thermique du matériau, c étant sa chaleur massique.
ρc
V
Analogies : diffusion thermique, diffusion particulaire et conduction électrique
Eddie S AUDRAIS — Ne pas apprendre son cours est un délit.
Équation de la diffusion thermique
où a =
L
.
λS
➤ On définit la conductance thermique Gth =
➤ Si la surface S est fermée, le flux thermique est positif s’il est sortant.
− k
 th s’exprime en W · m−2 .
➤ k→
T1 − T2
.
Φ
➤ La résistance thermique d’un cylindre de longueur L et de section S est R th =
→
−
→
−
dΦ =  th · d S .
➤ La puissance thermique traversant une surface S s’écrit Φ =
d2 T
= 0.
dx 2
Conduction électrique
Diffusion thermique
Diffusion particulaire
charge q
transfert thermique Q
densité particulaire n
−
vecteur densité de courant →
→
−
th
→
−
n
intensité électrique
Ï
− dq
→
− · d→
I=
S =
dt
flux thermique
Ï
− δQ
→
− · d→
Φ=
S =
th
dt
flux particulaire
Ï
− dn
→
− · d→
Φ=
S =
n
dt
loi d’Ohm
−−→
→
− = −γ −
gradV
loi de Fourier
−−−→
→
− = −λ gradT
th
loi de Fick
−−−→
→
− = −D grad
n
n
conductivité électrique γ
conductivité thermique λ
diffusivité D
potentiel électrique V
température T
densité particulaire n
résistance électrique R
résistance thermique Rth
V1 − V2 = RI
T1 − T2 = Rth Φ
L
R=
γS
Rth =
L
λS
Pour en savoir plus...
Joseph Fourier (1768-1830). Publication de l’ouvrage Théorie analytique de la chaleur en 1822. La
résolution de l’équation de la chaleur le conduit à définir la représentation en série de Fourier d’une
fonction sur un certain domaine.