Note de TD1

Université Claude Bernard Lyon 1 Licence Sciences & Technologies
43, boulevard du 11 novembre 1918 Spécialité : Mathématiques
69622 Villeurbanne cedex, France UE : Analyse III Automne 2011
Enseignant : M.Caldero.
TD 1
- Mise en bouche -
Feuille d’exercice 0.
Exercice 1. Trouver des bases de l’espace des lignes et de l’espace des colonnes de la matrice.
Quelles sont les dimensions des noyaux de l’application linéaire représentée par A et de celle
représentée par sa transposée. Déterminer des bases de ces noyaux.
mineur : déterminant de sous-matrice carrées.
① ② Lorsqu’un mineur est non nul les vecteurs sont indépendants
4 -1 L’espace des colonnes est de dimension 2.
⑤ ③
On constate que relation de liaison
A = Comme non proportionnels < > est un plan.
rg A := dim = 2 = rg tA = dim< >
On peut trouver cette relation en résolvant un système.
a + b + c = 0 tA . =
On calcule le noyau de tA.
dim ker tA = dim E – rg A = 3 – 2 = 1
On résout le système par le pivot de Gauss comme rg A = 2, on va avoir l’élimination de 3 – 2 = 1
équation.
S = {(a,b,c) = (λ, λ,- λ) , λ }
(puisque l’on a déjà )

Exercice 2. Soit (resp. ) l’ensemble des matrices triangulaires supérieures (resp. inférieures) de
( ).
1. Montrer que sont sous espaces vectoriels de ).
= ss-e.v. stable par ? + ? et par λ. ?
On peut faire et sont toujours des .
resp. .
2. Montrer que . Cette somme est-elle directe ?
= +
La somme est-elle directe ? Non car .
En fait = D = ensemble des matrices diagonales.
3. Quels sont les dimensions des sous-espaces et ?
dim = dim = 1 + 2 +3 + … + n = = (n au triangle)
4. Montrer que toute matrice triangulaire supérieure est semblable à une matrice inférieure.
Rappels (cours) : SEMBLABLE
définition : A et B matrices semblables ssi P inversible t.q. B= AP
autre définition : A et B sont semblables ssi elles représentent les mêmes endomorphismes
(dans des bases différentes).
(φ)
(φ)
=
exemple :
A = A = φ)
B = φ) =
A est semblable à B
P = pass(( ,( ) P= passage(AB,NB) = NB colonne dans AB
P’=
Commentaire [Q1]: Endomorphisme
E  F où dim E = dim F.

Exercice 3. Donner les dimensions des sous-espaces vectoriels de ) suivants.
i. Le sous-espace vectoriel des matrices à coefficients constants, = 1
ii. Le sous-espace vectoriel des matrices diagonales, = n
iii. Le sous-espace vectoriel des matrices symétriques, =
iv. Le sous-espace vectoriel des matrices antisymétriques, =
Rappels (cours) : SYMETRIQUE & ANTI-SYMETRIQUE
Anti-symétrique Symétrique.
)
Exercice 4. Soit Π le plan de d’équation x+3y+5z = 0 et soit Δ la droite d’équation 3x=5y=15z.
Notons u la projection de sur le plan Π parallèlement à la droite Δ.
1. Ecrire la matrice de l’endomorphisme u dans la base canonique de
(u) = ? BC de = (
On cherche donc u( ) , u( , u(
ou u(x,y,z) = (x’,y’,z’) d v d’
u(v)
Δ =
(x’,y’,z’) est le vecteur t.q.
(x+5λ) + 3(y+3λ) + 5(2+λ) = 0
λ = (-x -3y -5z)
x’= x – + y – + z –
y’= x – + y – + z –
z’= x – + y – + z –
A =

2. Sans calcul, trouver une base de dans laquelle la matrice de u est la plus simple possible,
i.e., ayant le plus grand nombre de coefficients nuls.
On cherche la base la mieux adaptée à u.
2 vecteurs (libres) de Π est un vecteur (non nul) de Δ .
Π x + 3y + 5z = 0 (équation cartésienne)
Base de Π
Base : (-3,1,0) , (-5,0,1), (5,3,1)
C’est bien une base car(-3,1,0) et (-5,0,1) est une base du plan et Δ Π.
Rappels (cours) : THEOREME DE LA BASE INCOMPLETE
Recette construire une base.
Théorème de la base incomplète
Libre 0
Libre ( ) , λ λ
Libre ( ) , =
Pour montrer que Δ Π
(5,3,1) ne vérifie pas x + 3y + 5 z = 0
Dans ( , , u s’écrit
B =
P = B = AP

Exercice 5. Soient E un -espace vectoriel de dimension finie et u un endomorphisme de E vérifiant
u²= .
1. Montrer que
E = Ker(u- ) Ker(u+ )
a. Montrons que Ker(u- ) Ker(u+ ) = {0}
X Ker(u- ) (u- )(x) = 0
u(x) – x = 0
u(x) = x.
X Ker(u+ ) (u+ )(x) = 0
u(x) + x = 0
u(x) =- x.
X Ker(u- ) Ker(u+ )
u(x) = x u(x) =- x
b. Soit x E, il faut trouver une décomposition x = x’ + x’’ avec x’ Ker(u – Id) et
x’’ Ker(u – Id)
Ker(u+Id)
X
Ker(u – Id) X’’
X’
U(X)
X’ = X’’ =
Mq X’ Ker(u – Id) X’’ Ker(u + Id)
(u - Id)(X’) = (u +Id)(X’’) =
(u – Id) = (u + Id) )=
(u – Id) )= =
= =
–= 0.
=
=
0