Note de TD1

Université Claude Bernard Lyon 1
43, boulevard du 11 novembre 1918
69622 Villeurbanne cedex, France
Licence Sciences & Technologies
Spécialité : Mathématiques
UE : Analyse III Automne 2011
Enseignant : M.Caldero.
TD 1
- Mise en bouche Feuille d’exercice 0.
Exercice 1. Trouver des bases de l’espace des lignes et de l’espace des colonnes de la matrice.
Quelles sont les dimensions des noyaux de l’application linéaire représentée par A et de celle
représentée par sa transposée. Déterminer des bases de ces noyaux.
①
4
⑤
mineur : déterminant de sous-matrice carrées.
Lorsqu’un mineur est non nul les vecteurs sont indépendants
L’espace des colonnes est de dimension 2.
②
-1
③
On constate que
A=
Comme
relation de liaison
non proportionnels <
> est un plan.
= 2 = rg tA = dim<
rg A := dim
>
On peut trouver cette relation en résolvant un système.
a+
b+
c=0
t
A.
=
On calcule le noyau de tA.
dim ker tA = dim E – rg A = 3 – 2 = 1
On résout le système par le pivot de Gauss comme rg A = 2, on va avoir l’élimination de 3 – 2 = 1
équation.
S = {(a,b,c) = (λ, λ,- λ) , λ
(puisque l’on a déjà
}
)
Exercice 2. Soit
( ).
(resp.
) l’ensemble des matrices triangulaires supérieures (resp. inférieures) de
1. Montrer que
sont sous espaces vectoriels de
=
ss-e.v. stable par ? + ? et par λ. ?
On peut faire
resp.
).
et
sont toujours des
.
.
2. Montrer que
. Cette somme est-elle directe ?
=
+
La somme est-elle directe ? Non car
.
En fait
= D = ensemble des matrices diagonales.
3. Quels sont les dimensions des sous-espaces
dim
= dim
= 1 + 2 +3 + … + n =
et
=
?
(n au triangle)
4. Montrer que toute matrice triangulaire supérieure est semblable à une matrice inférieure.
Rappels (cours) : SEMBLABLE
définition : A et B matrices semblables ssi
P inversible t.q. B=
AP

autre définition : A et B sont semblables ssi elles représentent les mêmes endomorphismes
(dans des bases différentes).
(φ)
(φ)
=
exemple :
A=
B=
A=
φ) =
A est semblable à B
P = pass((
,(
P’=
φ)
)
P= passage(AB,NB) = NB colonne dans AB
Commentaire [Q1]: Endomorphisme
E  F où dim E = dim F.
Exercice 3. Donner les dimensions des sous-espaces vectoriels de
i.
ii.
iii.
iv.
) suivants.
Le sous-espace vectoriel des matrices à coefficients constants, = 1
Le sous-espace vectoriel des matrices diagonales, = n
Le sous-espace vectoriel des matrices symétriques, =
Le sous-espace vectoriel des matrices antisymétriques, =
Rappels (cours) : SYMETRIQUE & ANTI-SYMETRIQUE
Anti-symétrique
Symétrique.
)
Exercice 4. Soit Π le plan de
d’équation x+3y+5z = 0 et soit Δ la droite d’équation 3x=5y=15z.
Notons u la projection de
sur le plan Π parallèlement à la droite Δ.
1. Ecrire la matrice de l’endomorphisme u dans la base canonique de
(u) = ?
BC de
=(
On cherche donc u( ) , u(
ou u(x,y,z) = (x’,y’,z’)
, u(
d v
u(v)
Δ=
(x’,y’,z’) est le vecteur t.q.
(x+5λ) + 3(y+3λ) + 5(2+λ) = 0
λ=
(-x -3y -5z)
+y –
+z –
y’= x –
+y –
+z –
z’= x –
+y –
x’= x
A=
–
+z –
d’
2. Sans calcul, trouver une base de
dans laquelle la matrice de u est la plus simple possible,
i.e., ayant le plus grand nombre de coefficients nuls.
On cherche la base la mieux adaptée à u.
2 vecteurs (libres) de Π est un vecteur (non nul) de Δ .
Π
x
+
3y
+
5z = 0 (équation cartésienne)
Base de Π
Base : (-3,1,0) , (-5,0,1), (5,3,1)
C’est bien une base car(-3,1,0) et (-5,0,1) est une base du plan et Δ
Rappels (cours) : THEOREME DE LA BASE INCOMPLETE
Recette construire une base.
Théorème de la base incomplète
Libre
0
Libre (
),
λ
λ
Libre (
),
=
Pour montrer que Δ Π
(5,3,1) ne vérifie pas x + 3y + 5 z = 0
Dans ( ,
,
u s’écrit
B=
P=
B=
AP
Π.
Exercice 5. Soient E un -espace vectoriel de dimension finie et u un endomorphisme de E vérifiant
u²= .
1. Montrer que
E = Ker(u- ) Ker(u+ )
a. Montrons que Ker(u- ) Ker(u+ ) = {0}
X Ker(u- ) (u- )(x) = 0
u(x) – x = 0
u(x) = x.
X Ker(u+ )
u(x) + x = 0
u(x) =- x.
X Ker(uu(x) = x
(u+
)(x) = 0
) Ker(u+
u(x) =- x
)
b. Soit x E, il faut trouver une décomposition x = x’ + x’’ avec x’
x’’ Ker(u – Id)
Ker(u – Id) et
Ker(u+Id)
X
Ker(u – Id)
X’’
X’
U(X)
X’ =
X’’ =
Mq X’ Ker(u – Id)
(u - Id)(X’) =
X’’ Ker(u + Id)
(u – Id)
(u +Id)(X’’) =
=
(u – Id)
(u + Id)
)=
=
=
–
=
=
0
)=
=
=
0.
2. Montrer que si u
et u , alors il existe une base de E dans laquelle
l’endomorphisme u est représenté par la matrice.
où
et
sont des matrices identités d’ordre p et q.
On prend une base Ker(u – Id) ( , …, )
On prend une base Ker(u + Id) (
, …, )
(On sait que dim Ker(u – Id) + dim Ker(u + Id) = dim E).
On a donc ( , … , ) est une base de E.
Matβ(u)=
u( ) =
u(
u( ) =
)=u( ) =
Exercice 6. Soient E un -espace vectoriel de dimension 2 et B =( , ) une base de E. Soit u
l’endomorphisme de E représenté dans la base B par la matrice
1. Montrer que u² = 0.
=
2. Déterminer le rang, l’image et le noyau de u.
rg u = dim Im u = dim <
> = dim <
> = 1.
Im (u) =
(en général l’image = ss-ev engendré par les colonnes)
Ker = {x, u(x) = 0}
u(x) = 0 

ker u =
)=
Commentaire [Q2]: cartésienne
Commentaire [Q3]: paramétrée
autre méthode.
u(x) Ker u car u(u(x)) = u²(x) = 0
Im u Ker u or dim Im u = rg u = 1 et dim Ker u = 2 – rg u = 1
Im u = Ker u.
3. Montrer qu’il existe une base de E dans laquelle la matrice u est
Montrer qu’il existe une base C de E t.q.
(u)
C=
=
on a par définition :
On pose = (1, -1)
Il faut trouver = (x,y)
u( ) = 2
On pose
)=(
= (1,1).
)