etude experimentale d`un moteur a courant continu

ETUDE EXPERIMENTALE D'UN MOTEUR A COURANT CONTINU
Présentation du système
On dispose d'un ensemble moteur - dynamo tachymétrique ESCAP 28HL18-219/264
dont on donnera les caractéristiques constructeur pertinentes. Cet ensemble, commandé par
l'induit, est alimenté par un générateur basse fréquence. La tension d'alimentation u(t) a la
forme d'un créneau, et vaut 0.0 au début de l'expérience. L'achat d'un ensemble moteur et
dynamo tachymétrique sous un même carter permet au constructeur de garantir que tous les
enroulements sont identiques.
v DT(t)
u(t)
Jm ω(t)
Oscilloscope
numérique
+ imprimante
Travail à réaliser
→ A partir du relevé expérimental ci-dessous, en utilisant la partie montante du
V (p)
créneau sur la tension d'alimentation u(t), montrer que la fonction de transfert DT
est du
U (p)
K
et déterminer les deux paramètres K et τ.
type
1 + τp
→ Etablir le schéma fonctionnel de ce système entre u(t) et vDT(t). En déduire la
V (p)
fonction de transfert théorique DT
en négligeant l'inductance du circuit d'induit et les
U (p)
frottements visqueux sur l'arbre moteur. Les caractéristiques constructeurs donnent :
• Fiche moteur : Résistance aux bornes = 5,8 Ohm et Constante de couple = 22 milliNm/A.
• Fiche moteur – dynamo tachymétrique : Pour une tension à vide de 12 Volts, on relève
une vitesse à vide de 5100 tours/mn, une inertie du rotor de 10,7 10-7 kgm2 et une
constante de temps mécanique de 13 ms.
Déterminer les paramètres de la fonction de transfert théorique à partir de ces données (il y a
trois façons de déterminer la constante de temps ; vérifier qu'ils donnent des résultats
cohérents).
→ Comparer les valeurs expérimentales et théoriques obtenues pour la constante de
temps. Proposez un explication pour la différence.
→ Comparer les valeurs expérimentales et théoriques obtenues pour le gain. Pour
trouver une explication on s'aidera de la courbe de ralentissement (passage de u(t) à zéro).
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
CORRECTION
Détermination de la fonction de transfert expérimentale.
On examine l'allure de la réponse à l'échelon de 2,5 volts :
La tangente à l'origine est non nulle ⇒ c'est donc un système du 1er ordre.
Il n'y a pas de dépassement ⇒ le système du 1er ordre n'a pas de zéro.
La fonction de transfert s'écrit donc :
VDT ( p )
K
=
U ( p ) 1 + τp
Calcul du gain K :
3
2.4
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
0
0.05
0.1
D'où un gain égal à : K =
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
2.4 − 0
= 0.96
2.5 − 0
Calcul de la constante de temps τ :
Il faut choisir une méthode. Vu la courbe expérimentale (échelon) trois méthodes sont
possibles.
1. La première est le tracé de la tangente à l'origine qui coupe l'asymptote de la valeur
finale de vDT(t) pour t=τ. Cette méthode est à éviter lorsque seul un enregistrement
"papier" est disponible et qu'une autre méthode est possible. En effet le tracé d'une
tangente au moyen d'une règle sur un tracé expérimental est très difficile et conduit
à des résultats imprécis (parfois 50 à 100% d'erreur).
2. La deuxième consiste à tracer une droite à 95% de la valeur finale de vDT(t).
Lorsque la courbe vDT(t) coupe cette droite, alors le temps mesuré est égal à 3τ.
3. La dernière ici consiste à mesure le temps t pour lequel vDT(t) atteint 63% de sa
valeur finale. Alors t=τ.
3
2.4
2.5
-5%
2
1.5
63%
1
0.5
0
-0.5
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
τ
3τ
On trouve une valeur τ = 28 ms
Mise en équation du système
Rappel des équations d'un moteur à courant continu commandé par l'induit :
•
Equation électrique :
di
U = Ri + L + E
où E est la fcem
dt
Après transformée de Laplace, on obtient U ( p ) − E ( p ) = (R + Lp )I ( p )
Ainsi, la différence de tension entre U et la force contre-électromotrice E
passée à travers le filtre 1/(R+Lp) est la cause du courant i dans l'induit.
•
•
•
1ère équation de liaison :
γ m = ki
Après transformée de Laplace, on obtient Γm ( p ) = kI ( p )
Ainsi, le courant i dans l'induit génère grâce au flux magnétique le couple
moteur sur l'arbre mécanique.
Equation mécanique :
dω
J
= γ m − fω
dt
Après transformée de Laplace, on obtient Γm ( p ) = ( f + Jp )Ω( p )
Ainsi, le couple moteur entraîne l'arbre mécanique et crée la vitesse de rotation.
ème
2 équation de liaison :
E = kω
Après transformée de Laplace, on obtient E ( p ) = kΩ( p )
Ainsi, la vitesse de l'arbre moteur crée la force contre-électromotrice E.
Equations pour la dynamo tachymétrique :
•
•
•
Equation mécanique : l'arbre est commun au moteur et à la dynamo ; cette
équation a donc déjà été écrite.
Equation électrique : la charge de la dynamo est un appareil de mesure à forte
impédance. Par conséquent vDT(t) est la f.e.m. délivrée par la dynamo.
Il n'y a donc qu'une seule équation de liaison à écrire qui concerne la
transformation de ω(t) en vDT(t) : VDT ( p ) = kΩ( p ), avec le même coefficient "k"
que pour le moteur (le constructeur garanti que les enroulements sont identiques).
Par conséquent, il existe un schéma fonctionnel sous jacent à ces équations :
1
R + Lp
U +
i
γm
k
ω
1
f + Jp
k
VDT
−
E
k
En négligeant l'inductance L du circuit d'induit et les frottements f sur l'arbre moteur,
le schéma fonctionnel devient :
1
R
U +
i
k
−
E
k
γm
1
Jp
ω
k
VDT
On obtient l'équation différentielle suivante :
Ω
(p) = 1 . 1
RJ
U
k
1+ 2 p
k
D'où :
VDT
(p) = 1
RJ
U
1+ 2 p
k
Détermination des paramètres de la fonction de transfert à partir des données
constructeur :
Le gain de la fonction de transfert est unitaire.
La fiche moteur – dynamo tachymétrique donne la valeur de la "constante de temps
RJ
mécanique". On a donc τ = 2 = 13ms .
k
La fiche moteur indique R = 5,8 Ohm et k = 22 10-3 NmA. La fiche moteur – dynamo
tachymétrique donne J = 10,7 10-7 kgm2. On en déduit :
RJ
τ = 2 = 12,8ms .
k
Il existe enfin une deuxième méthode pour trouver la valeur de k, en exploitant
l'information sur les spécifications constructeur : on mesure une tension de 12V pour une
vitesse à vide de 5100 tours/mn. Alors k = 12V / (5100 tours/mn), et l'on retrouve en unités SI
k = 22 10-3 V/(rad/s).
Comparaison des constantes de temps expérimentales et constructeur
On a τexp = 28ms et τcons = 13ms.
La courbe expérimentale étant bien du type premier ordre, nous n'avons pas a priori à
remettre en cause le fait que l'inductance du circuit d'induit, L, et les frottements visqueux f
soient négligeables.
Les paramètres J et k sont propres au moteur, ne peuvent être modifiés par l'utilisateur
et sont certifiés par le constructeur. Ils peuvent donc être considérés comme sûrs.
Par contre la résistance du circuit d'induit, R, résulte de la résistance propre au moteur,
et d'éventuelles résistances supplémentaires ajoutées par l'utilisateur. En effet, pour les
besoins de la manipulation, on a ajouté une résistance sur le circuit d'induit afin de ralentir le
moteur.
La résistance effective sur la manipulation est R = 12,6 Ohm.
12,6 * 10,7.10 −7
= 29,7 ms
Un nouveau calcul de τ donne : τ cons =
2
22.10 −3
On retrouve deux valeurs cohérentes.
(
)
Comparaison des gains expérimentaux et constructeur
On a Gexp = 0.96 et Gthéo = 1.
Examinons la courbe de ralentissement. Elle correspond à un échelon descendant sur
l'alimentation U du moteur (de 2,5 à 0 volts). On s'attend donc à observer l'allure d'une
réponse d'un premier ordre à un échelon (exponentielle décroissante qui tend vers 0 lorsque t
tend vers l'infini). Or on constate au contraire un arrêt brusque du moteur.
3
ε
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
Ce phénomène est typique de frottement secs sur un système mécanique en rotation
(exemple des freins). Prenons en compte ce phénomène dans le schéma fonctionnel du
moteur :
γs
1
R
U +
i
k
−
γm
+
1
Jp
ω
k
VDT
−
E
k
L'échelon montant de U appliqué au moteur sert à créer un couple moteur γm qui
entraîne l'arbre. Cependant l'existence de γs fait que le couple moteur effectif entraînant l'arbre
est γm - γs . Ainsi une partie de l'échelon U sert à compenser les frottements secs γs. L'écart ε
entre vDT et U sur l'enregistrement expérimental, correspond à l'équivalent en tension des
frottements secs. C'est la raison pour laquelle on mesure sur la courbe un gain apparent de
0.96 au lieu du gain unitaire effectif.
On mesure ε = 0.1 volt. Le coefficient pour passer de U à γs selon le schéma
fonctionnel vaut "k/R". On a donc :
k
0,0022 * 0,1
ε = 0,1 volts
γs = ε =
= 1,75e − 5 Nm
R
12,6
Pour le ralentissement, on retrouve bien la réponse à un échelon d'un système du 1er
ordre de gain unitaire. Cependant, lorsque la vitesse diminue, la force contre électromotrice
E diminue. Elle finit par avoir une valeur critique qui crée un γm juste égal à γs et le moteur
atteint une vitesse ω nulle. Le moteur n'étant plus alimenté, il ne peut repartir en sens inverse,
et le moteur s'arrête brutalement.