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ESSI1- AUTOMATIQUE JEAN-PAUL STROMBONI, AVRIL 1998, TD 7
Utilisation de la Représentation d’état pour
l’étude de l’asservissement de position
1. Pour un processus de positionnement utilisant un moteur à courant continu, on a obtenu les
équations suivantes en négligeant les frottements ainsi que l’inductance d’induit, à couple
résistant nul ; est la position angulaire, la vitesse,
u
et
i
la tension et le courant d’induit :
05 10
01
. ( )
( )
( ) . ( ) ( )
d
dt d dt u t
d
dt t
i t t u t
Sachant que la résistance d’induit vaut
r1
, calculer la constante de f.e.m., le moment
d’inertie, et la constante de temps mécanique. En régime permanent, pour une entrée
u t U( ) 
constante, que valent vitesse de rotation et courant d’induit ?
2. Ecrire les équations d’état de ce processus sous la forme de commande. Préciser le vecteur
d’état
X t( )
choisi. L’entrée est
u
, on distingue la réalisation
A B C D1 1 1 1, , ,
où la sortie est
,
A B C D2 2 2 2, , ,
avec deux sorties et ,
A B C D3 3 3 3, , ,
avec les sorties
, ,
. Dans
la suite, on considère le premier cas.
3. Analyser les équations du processus : équation caractéristique, valeurs propres, fonction de
transfert associée
F p( )
, découplage des variables d’état, calcul de l’exponentielle matricielle
eAt
, calcul de la réponse indicielle à partir de la solution générale de l’équation différentielle.
4. On étudie la mise en œuvre d’un retour d’état :
u t c t KX t c t a b X t( ) ( ) ( ) ( ) ( )   
, où
c t( )
est un signal de consigne. Réécrire les équations d’état. Calculer le polynôme
caractéristique fonction de
a
et
b
. Choisir le retour
K
pour imposer une valeur propre double
p02 
au système bouclé. Indiquer la réalisation parmi les trois précédentes qui permet de
mettre en œuvre directement ce retour d’état. Prévoir la réponse indicielle.
5. On cherche à appliquer la loi de commande proportionnelle
u t k c t t( ) ( ( ) ( )) 
plus simple.
Quel est le lieu des valeurs propres pour
k0
? Régler
k
pour le régime critique. Comparer ce
système bouclé avec le précédent.
6. Le dispositif réel de positionnement présente un seuil (zone morte), du fait des frottements
« secs », et une saturation de
u
due à l’alimentation électrique. En pratique, pour
  s u s
,
0
(
s
le seuil) et
  V u V
(
V
saturation). Le bloc suivant traduit ces particularités:
expliquer sa signification. Indiquer comment se traduisent ces deux non linéarités sur le
comportement de l’asservissement lors d’un essai indiciel. Quel est l’effet du gain
k
?
xAx Bu
yCx
k
c t( )
+
_
-s
s
V
-V
u t( )
uidéal