Géométrie algébrique et espaces de modules - IMJ-PRG

G´eom´etrie alg´ebrique et espaces de modules
Claire Voisin, CNRS et IH´ ES

ii

Table des mati`eres
0 Introduction 3
0.0.1 Vari´et´es complexes compactes . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
0.0.2 Vari´et´es ou sch´emas projectifs polaris´es . . . . . . . . . . . . 5
0.0.3 Faisceaux coh´erents sur une base fix´ee . . . . . . . . . . . . . 6
0.1 Sch´emadeHilbert ............................ 6
1 Th´eorie des d´eformations 7
1.1 Foncteur de d´eformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Famille d’objets, platitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 Pathologies, non-repr´esentabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.3 Familles non born´ees, probl`emes de s´eparabilit´e . . . . . . . . 11
1.2 Foncteur de d´eformation sur une base artinienne . . . . . . . . . . . 13
1.2.1 Espace tangent et M or (k[]/2, .)................ 13
1.2.2 Etude formelle et Mor (Spec A, .), obstructions et singularit´es 13
1.3 D´eformations des vari´et´es complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.1 Le point de vue de Kuranishi (cf [12]) . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2 Les obstructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 D´eformations des vari´et´es complexes ou alg´ebriques, le point de vue
sch´ematique................................ 17
1.4.1 Classe de Kodaira-Spencer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.2 Obstructions : Le “principe de rel`evement T1” ........ 20
1.5 D´eformations de sch´emas polaris´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5.1 Faisceauxdejets......................... 25
1.5.2 Calcul de l’espace tangent, interpr´etation des diff´erents termes 25
1.6 D´eformation des faisceaux coh´erents . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.6.1 Espacetangent.......................... 27
1.6.2 Obstructions ........................... 28
2 Polynˆome de Hilbert et sch´ema Quot 29
2.1 Polynˆomes de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.1 D´efinition des polynˆomes de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.2 Modules plats sur un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.3 Polynˆome de Hilbert et platitude . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 R´egularit´e au sens de Mumford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.1 D´efinitions et propri´et´es g´en´erales . . . . . . . . . . . . . . . 34
iii

iv TABLE DES MATI ` ERES
2.2.2 Polynˆome de Hilbert et r´egularit´e . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3 Sch´emaQuot ............................... 40
2.3.1 FoncteurQuot .......................... 40
2.3.2 Exemple, grassmanniennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.3 Exemple, sch´ema de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.4 Finitude des faisceaux engendr´es `a polynˆome de Hilbert fix´e . 42
2.3.5 Equations pour le sch´ema QuotX,N,P comme sch´ema quasi-
projectif.............................. 43
2.4 Projectivit´e ................................ 46
2.4.1 Crit`ere valuatif de propret´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.4.2 V´erification du crit`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3 Stabilit´e 49
3.1 Classes de Chern, intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.1.1 D´eterminant, groupe de Picard, classes de Chern . . . . . . . 49
3.1.2 Cas des faisceaux coh´erents, r´esolutions libres . . . . . . . . . 51
3.1.3 Intersection............................ 52
3.2 Stabilit´e.................................. 53
3.2.1 Pentes............................... 53
3.2.2 Propri´et´es g´en´erales des faisceaux µ-(semi)-stables . . . . . . 54
3.2.3 Filtration de Harder-Narasimhan . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3 Sections des faisceaux stables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3.1 Formule de Riemann-Roch et polynˆome de Hilbert . . . . . . 57
3.3.2 La dualit´e de Serre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3.3 Sections des faisceaux semi-stables . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.4 Retour `a notre probl`eme de modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4 Quotients en g´eom´etrie alg´ebrique 65
4.1 Actions de groupes et quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.1.1 Quotients cat´egoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.1.2 “Bons”quotients......................... 66
4.1.3 Quotients g´eom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2 Groupesr´eductifs............................. 68
4.2.1 Groupes alg´ebriques affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2.2 Actions sur des sch´emas affines, actions lin´earis´ees . . . . . . 68
4.2.3 Groupes r´eductifs, op´erateurs de Reynolds . . . . . . . . . . . 70
4.3 Quotients par les groupes r´eductifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.3.1 Casaffine ............................. 72
4.3.2 Le quotient de An
k\ {0}par Gm................ 73
4.3.3 Cas projectif, points stables et semi-stables . . . . . . . . . . 73
4.4 Crit`ere de Hilbert-Mumford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.4.1 Sous-groupes `a un param`etre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.4.2 Pentes et crit`ere de Hilbert-Mumford . . . . . . . . . . . . . . 76
4.4.3 Diviseurs de P1et M0,d ..................... 77

TABLE DES MATI ` ERES 1
5 Stabilit´e g´eom´etrique et stabilit´e GIT 79
5.1 Actions de groupes sur certaines grassmanniennes . . . . . . . . . . . 79
5.1.1 Etude du crit`ere de Hilbert-Mumford . . . . . . . . . . . . . 80
5.1.2 Application aux points du sch´ema Quot ............ 81
5.2 Stabilit´e des faisceaux coh´erents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.2.1 Une autre caract´erisation de la µ-(semi)-stabilit´e . . . . . . . 83
5.2.2 Comparaison des stabilit´es-pentes et stabilit´es GIT . . . . . . 85
5.2.3 Points semi-stables non stables . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6 Stabilit´e et m´etriques d’Hermite-Einstein 89
6.1 Rappels de g´eom´etrie complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.1.1 Vari´et´es complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.1.2 Fibr´es vectoriels holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.1.3 Op´erateur ∂........................... 90
6.1.4 M´etriques hermitiennes et connexions de Chern . . . . . . . . 91
6.1.5 Th´eorie de Chern-Weil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.2 G´eom´etrie k¨ahl´erienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.2.1 M´etriques k¨ahl´eriennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.2.2 Op´erateurs de Hodge et Lefschetz . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.2.3 Op´erateur de Hodge et formes primitives . . . . . . . . . . . 99
6.3 Le th´eor`eme d’Uhlenbeck-Yau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.3.1 M´etriques d’Hermite-Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.3.2 Polystabilit´e et m´etriques d’Hermite-Einstein . . . . . . . . . 104
6.3.3 In´egalit´e de Bogomolov-L¨ubke . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.3.4 Une application : Produits tensoriels . . . . . . . . . . . . . . 108