RACINES CARRÉES Tous les exercices ci- dessous sont tirés des épreuves du brevet 1 - Ecrire les nombres suivants sous la forme a b avec a et b entiers : A = 2 72 – 200 B = 27 + 7 75 − 300 C = 27 + 2 75 – 4 3 D = 12 – 3 75 + 2 3 + 5 27 E = 5 15 F = 500 – 7 45 – 80 G = 45 – 5 I = 12 − 75 – 2 27 K = 3 + 3 27 J = 6 12 – 27 + 192 L = 4 2 × 90 M = 2 5 + 2 125 – 7 45 H = (6 + 2 3 )2 – ( 4 3 )2 N = 6 28 + 10 7 – 8 63 2 - Ecrire les nombres suivants sous la forme a b avec a et b entiers ; b est un entier naturel le plus petit possible : A = 50 B = 72 C = 300 D = 16 + 9 − 25 E = 50 + 72 F = 8 + 50 − 18 G = 2 12 – 27 H=2 3 6 I= J = 7 6 – 2 24 +5 54 K = 2 3 + 75 – 6 27 L = 3 50 – 18 + 4 8 M = 3 54 + 2 24 – 5 96 N = −4 18 + 128 – 3 32 O = 5 3 – 2 48 + 2 27 P = 15 × 10 Q = 5 27 – 2 75 + 3 3 R = 2 75 × 6 S = 3 20 + 45 – 180 T = 12 + 4 75 – 6 48 U = 98 – 2 50 + 3 8 V = 20 – 4 45 + 180 W = 500 + 3 5 – 3 45 X=5 6×2 3 Y = 75 + 7 3 – 2 27 Z = 8 50 18 AA = 75 – 2 12 + 2 27 AB = 2 32 – 50 AC = 5 12 – 3 + 27 AD = 20 – 125 + 2 245 AE = 45 + 2 80 – 5 AF = 7 15 × 2 35 × 3 AG = ( 2 – 3 5 )( 15 + 2 5 ) AH = 2 32 – 18 + 8 AI = 200 – 4 3 × 6 21 × 14 AJ = 3 75 + 2 3 – 2 48 AK = 45 – 7 5 + 20 AL = 500 – 2 5 + 3 20 AM = -5 54 + 3 150 – 96 AN = 75 – 12 AO = 7 75 – 5 27 + 4 48 AP = 8 × 50 × 18 AQ = 18 + 50 + 18 AR = 6 × 42 3 - Ecrire les nombres sous la forme a + b c : AT = 2 12 – 5 27 + 7 75 AU = ( 2 + 3)2 – 5 A = 25 – 75 + 5 27 – 36 × 3 + 2 9 ; c = 3 AW = 7 3 – 3 48 + 5 12 B=(3 3–2)(4– 3);c=3 BAC==(6 49 2)+2 + 28 3 + 63 ; c = 7 AY = Error! × Error! BB = ( 5 + 1 ) ( 5 – 1 ) AS = 2 18 – 3 50 + 100 2 4 - Développer et réduire : AV = 7 – 7 700 + 28 A = ( 3 – 2 )2 AZ = Error! B = ( 3 – 5 )2 BC = 15 × 10 C=(2 5–3)(3 5+2) BDD==3(2277–+ 1) 12 2 - ( 3 - 1) ( 3 + 1) ; c BE = 7 = 3 28 – 7 BF = 180 + 3 80 – 2 125 D=(2 3–1)(6– 3) BGE==32 × 28( –2 3 – 2700 5 )2 ; c = 5 BI = 2 108 – 5 3 + 48 E=(3 2–1)(3 2+1) BH = 2 12 – 5 27 + 7 75 F = 81 + 7 3 – 27 F = ( 2 + 3 )2 – 11 G= 3(5– 3)–( 3+3) G = ( 6 – 3 )2 H=5+ 6 2(3 2+4) I = ( 7 2 – 4 )2 J = ( 3 – 2 )2 H = ( 3 – 5 )2 + 2( 25 + 45 ) I = ( 5 + 2 )2 Ex 5 On considère les nombres : D = (2 3 + 1) (2 3 − 1) et E = 8 5 − 20 −2 45 . En indiquant le détail des calculs, écrire D et E sous forme de nombres entiers. a 5 + b , avec a et b entiers, puis calculer le produit A B en donnant le résultat sous la forme d'un nombre entier. Ex 13 1) Sachant que A = 2 5 + 4 et B = 2 5 – 4 , calculer la valeur exacte de A + B et de A B. Ex 6 2) On donne : C = 147 – 2 75 + 12 1) Ecrire 5 × 125 sous la forme d'un nombre entier. Ecrire C sous la forme a b, où a est un entier relatif et où b est un entier naturel le plus petit possible. 2) Ecrire ( entier. Ex 14 5+ 125 ) × 2 sous la forme a 5 où a est un Ex 7 On donne x = 72 et y = 98. Sans utiliser les valeurs approchées, montrer que trois de ces nombres sont égaux : 1) Ecrire x et y sous la forme a b où a et b entiers, a étant le plus grand entier possible. A = 5 + 5 ; B = Error! ; C = 2Error!Error! ; D = Error! ; E = 2) Ecrire sous la forme la plus simple possible x2 − y2 et x + y. 5 + 5. Ex 15 Ex 8 A= ( 2 – 5 )2 et B = 250 – 490 + 2 81 On donne les nombres D = 5 – 3 2 et E = 4 + 5 2 1) Ecrire A et B sous la forme, a + b c, a, b et c étant des entiers relatifs. Calculer D − E ; D E. On donnera les résultats sous la forme a + b 2 où a et b sont des nombres entiers relatifs. 2) En déduire que A − B est un nombre entier relatif. Ex 16 Ex 9 Soit C = 2x2 − 3. Calculer C pour x = 3. On pose A = 48 + 20 et B = 108 – 45 Ex 17 1) Montrer que A s'écrit sous la forme a 3 + b 5 et que B s'écrit sous la forme c 3 + d 5 où a, b, c, d sont des entiers relatifs. En indiquant le détail des calculs, écrire chacun des nombres C et D sous forme d'un entier ou d'une fraction la plus simple possible. 2) Montrer que le produit AB est un nombre entier. C = Error! ; D = ( Error! + Error! )2 Ex 10 Ex 18 On pose A = 27 + 1 ; B = 2 3 – 5 1) On considère C = 2 5 + 125 – 6 45 Ecrire sous la forme a 3 + b, où a et b sont deux entiers relatifs, les nombres suivants : A − B et A2. Ecrire C sous la forme a b, a et b étant deux nombres entiers, b étant le plus petit possible. Ex 11 2) A l'aide d'un calcul, montrer que le nombre : Les dimensions d'un rectangle sont : D = ( 3 2 + 3 ) ( 2 – 1 ) est un nombre entier. longueur L = 245 ; largeur l = 80. Ex 19 1) Calculer son périmètre P ; donner le résultat sous la forme a 5, a étant un nombre entier. 1) Calculer : B = ( 4 – 2 3 ) ( 4 + 2 3 ) 2) Calculer son aire A ; donner le résultat sous la forme d'un nombre entier. Ex 12 2) Ecrire sous la forme a + b 3 où a et b sont des entiers les expressions : C = ( 4 – 2 3 )2 et D = Error! × ( 28 – 16Error! ) Ex 20 On donne les nombres : A = 2 5 + 3 et B = 2 5 – 3 Exprimer chacun des nombres c et d sous forme d'une fraction irréductible en faisant apparaître les étapes du calcul Calculer le carré A2 en donnant le résultat sous la forme c = Error! + Error! ; d = Error! ( Error! – 1 ) ( Error! + 1 ) Ex 21 Calculer et donner le résultat sous la forme d'un entier relatif ou d'une fraction irréductible : A=(2+3 5)(2–3 5) B = Error! Ex 22 Sur un terrain rectangulaire AEFG, on a aménagé un parking carré ABCD bordé de deux allées comme l'indique le schéma ci-dessous : 1) Donner la valeur exacte du côté AB sachant que le carré ABCD a une aire de 1200 m2. 2) a) Calculer le périmètre du rectangle AEFG. b) Calculer l'aire du rectangle AEFG. (On exprimera chaque résultat sous la forme a + b 3 où b sont des nombres entiers.) Ex 23 Calculer et donner la valeur exacte la plus simple des nombres suivants : B = 4 75 – 5 3 ; D = (2 3 – 5)(2 3 + 5) ; E = 100 – 64 Ex 24 Ecrire B sous forme de fraction irréductible : B= Error! a et