Etude des op De Schrödinger avec c Etude des opérateurs De

République Algérienne Démocratique Et Populaire
Ministère de L’enseignement supérieure et de la
Recherche scientifique
UNIVERSITE D’ORAN ES
FACULTE DES SCIENCES
DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES
Mémoire pré
senté en vue de
Etude des opérateurs
De Schrödinger avec champ magnétique
Option
:
Mathématiques.
Spécialité : Analyse
Mathématique appliquée
Devant le jury
Président
: Mr B.MESSIRDI
Rapporteur
: Mr MEFTAH MOKHTAR
Examinateurs : Melle
Y.MILOUDI
Melle K.NAC
HI
Mr
EL HAFFAF
République Algérienne Démocratique Et Populaire
Ministère de L’enseignement supérieure et de la
Recherche scientifique
UNIVERSITE D’ORAN ES
-SENIA
FACULTE DES SCIENCES
DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES
senté en vue de
l’obtention du Diplôme de Magister
Intitulé
:
Etude des opérateurs
De Schrödinger avec champ magnétique
Mathématiques.
Mathématique appliquée
Présenté Par Melle
: ABBAS HAFIDA
Devant le jury
composé de :
: Mr B.MESSIRDI
Professeur
: Mr MEFTAH MOKHTAR
Maitre de conférences A
Y.MILOUDI
Maitre de conférences A
HI
Maitre de conférences A
Université d’Or
EL HAFFAF
Maitre de conférences A
Université d’Oran
Soutenu
République Algérienne Démocratique Et Populaire
Ministère de L’enseignement supérieure et de la
l’obtention du Diplôme de Magister
De Schrödinger avec champ magnétique
: ABBAS HAFIDA
Université d’Oran
Université d’Oran
Université d’Oran
Université d’Or
an
Université d’Oran
Soutenu
:
NOVEMBRE
2011

Table des Matieres
1 Préliminaires 08
1.1 Rappel sur des notions d'analyse fonctionnelle 08
1.2 Opérateur symétrique et opérateur auto-adjoint 11
1.3 Forme quadratique et extension de Friedrich 13
1.4 Perturbation d'une forme quadratique 16
1.5 Spectre et résolvante d'un opérateur 17
1.6 Perturbation d'opérateurs auto-adjoints 19
2-Opérateur de Schrödinger 21
2.1 Opérateur de Schrödinger sans champ magnétique 22
2.2 Opérateur de Schrödinger avec champ magnétique 27
2.3 Invariance de jauge 30
2.4Borne spectrales d'un opérateur de Schrödinger 32
3-Propriétés spectrales d’opérateurs de Schrödinger 34
3.1 Conditions nécessaires pour la compacité de la résolvante de l'opérateur
de Schrödinger avec champ magnétique
3.2 Exemple
35
3.3 Condition nécessaire et suffisante pour la compacité de
la résolvante de l'opérateur de Schrödinger sans champ magnétique
37
3.4 Conditions suffisantes pour la compacité de la résolvante
de l'opérateur de Schrödinger avec champ magnétique
42
3.5 Conclusion et Perspectives 50
Bibliographie 51

L'équation de Scrődinger a fait rêver ou cauchemarder des générations d'étudiants qui
abordaient la physique quantique. Sa forme est assez simple mais ses implications sont
fondamentales et pour tout dire très exotiques. Et sa compréhension intime est indispensable à
celle du cours de physique quantique.
Dans ce mémoire, On va essayer de présenter de façon simple l'équation de Schrödinger.
Notre but était de découvrir une notion de physique mathématique en prenant tout le
temps nécessaire pour étudier le pré requis. Nous nous sommes intéressés aux opérateurs de
Schrődinger qui interviennent de manière significative dans la théorie quantique.
L étude de ces opérateurs nécessitait un apprentissage des bases de la théorie spectrale
des opérateurs non bornés Comme ces notions s' utilisent dans d’autres domaines nous avons
tenu à les étudier précisément et à leur donner une certaine place dans la rédaction de ce
mémoire ,nous donnons toujours les références précises des résultats utilisés.
L études de l’équation de Schrődinger a commencé dans des articles fondateur
"Quantification et valeurs propres " dans les célèbres "Annalen der Physik " - vol 79 - fin
1926, d'erwin Schrödinger. On y retrouve la formulation de l’équation, le calcul des niveaux
d'énergie de l’hydrogène et le début d’une théorie des perturbations appliquée à l’étude des
effets Stark et Zeeman.
La théorie mathématique de la mécanique quantique et des opérateurs de Schrődinger
revient plutôt à J .Von Neumann dans un livre publié en 1932. Dans celui ci Von Neumann
introduit le cadre hilbertien de la mécanique quantique et démontre l'équivalence avec
l'approche matricielle de Heisenberg et celle de Schrődinger. Une des contributions
remarquables de cet ouvrage est la théorie mathématique des opérateurs auto adjoints non
bornés. Von Neumann insiste beaucoup sur le fait que les opérateurs de Schrődinger doivent
toujours être auto -adjoints.
La vision de Von Neumann a été développée et appliquée avec succès durant les années
50. Les résultats les plus remarquables ont sans aucun doute été ceux de T .Kato, qui débuta
une étude rigoureuse des opérateurs de Schrődinger et démontra que les opérateurs
correspondant aux atomes les plus simples sont bien auto- adjoints.

Plusieurs autres thèmes furent développés dans les décennies qui suivirent.
Ce mémoire est divisé en trois parties :
Le premier chapitre pose les bases les plus classiques : définition des opérateurs non
bornés de l’adjoint ....... jusqu’a théorème spectral qui donne une représentation de tout
opérateur auto -adjoint, Nous introduisons aussi la construction d'une extension auto-adjoint
de cet opérateur et les théorèmes de perturbation.
Le deuxième chapitre: introduit des outils qui seront utiles pour l’étude des opérateurs de
Schrődinger.On s'intéresse surtout à opérateurs de Schrődinger avec champ magnétique.
On se donne un opérateur de Schrődinguer de la forme:
Et sont des opérateurs de multiplication par les fonctions réelles et on
suppose que :
Pour et
Et
Il s’agit principalement de donner des conditions pour les quelles on peut trouver des
extensions auto adjointes satisfaisant notre étude.
Ainsi, On va parler de principe de l'invariance de jauge, ses propriétés et leurs importances
dans notre étude.
Le troisième chapitre:
Dans cette partie on va donner les conditions nécessaires sur le potentiel électrique pour
que l'opérateur de Schrődinguer sans champ magnétique soit à résolvante compacte donnée
par malchanov
Par la suite on se donne un opérateur de Schrődinguer avec champ magnétique introduit
au chapitre 2.

On va donner les conditions nécessaire pour que cet opérateur de Schrődinguer soit à
résolvante compacte, et on va s'intéressé à des exemples particuliers et leurs appliquer les
résultats obtenus.
Notre dernière étape sera une généralisation de ces résultats et de donner un exemple qui
donnera les limite de ces conditions suffisantes.