Etude des op De Schrödinger avec c Etude des opérateurs De

République Algérienne Démocratique Et Populaire
Ministère de L’enseignement supérieure et de la
Recherche scientifique
UNIVERSITE D’ORAN ES-SENIA
ES
FACULTE DES SCIENCES
DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES
Mémoire présenté
senté en vue de l’obtention du Diplôme de Magister
Intitulé :
Etude des opérateurs
De Schrödinger avec champ magnétique
Option : Mathématiques.
Spécialité : Analyse Mathématique appliquée
Présenté Par Melle : ABBAS HAFIDA
Devant le jury composé de :
Président :
Mr B.MESSIRDI
Professeur
Université d’Oran
Rapporteur :
Mr MEFTAH MOKHTAR
Maitre de conférences A
Université d’Oran
Examinateurs : Melle Y.MILOUDI
Melle K.NACHI
HI
Mr EL HAFFAF
Maitre de conférences A
Maitre de conférences A
Maitre de conférences A
Université d’Oran
Université d’Or
d’Oran
Université d’Oran
Soutenu : NOVEMBRE 2011
Table des Matieres
1 Préliminaires
08
1.1 Rappel sur des notions d'analyse fonctionnelle
1.2 Opérateur symétrique et opérateur auto-adjoint
1.3 Forme quadratique et extension de Friedrich
1.4 Perturbation d'une forme quadratique
1.5 Spectre et résolvante d'un opérateur
1.6 Perturbation d'opérateurs auto-adjoints
08
11
13
16
17
19
2-Opérateur de Schrödinger
2.1 Opérateur de Schrödinger sans champ magnétique
2.2 Opérateur de Schrödinger avec champ magnétique
2.3 Invariance de jauge
2.4Borne spectrales d'un opérateur de Schrödinger
21
22
27
30
32
3-Propriétés spectrales d’opérateurs de Schrödinger
3.1 Conditions nécessaires pour la compacité de la résolvante de l'opérateur
de Schrödinger avec champ magnétique
3.2 Exemple
3.3 Condition nécessaire et suffisante pour la compacité de
la résolvante de l'opérateur de Schrödinger sans champ magnétique
3.4 Conditions suffisantes pour la compacité de la résolvante
de l'opérateur de Schrödinger avec champ magnétique
3.5 Conclusion et Perspectives
34
35
Bibliographie
51
37
42
50
L'équation de Scrődinger a fait rêver ou cauchemarder des générations d'étudiants qui
abordaient la physique quantique. Sa forme est assez simple mais ses implications sont
fondamentales et pour tout dire très exotiques. Et sa compréhension intime est indispensable à
celle du cours de physique quantique.
Dans ce mémoire, On va essayer de présenter de façon simple l'équation de Schrödinger.
Notre but était de découvrir une notion de physique mathématique en prenant tout le
temps nécessaire pour étudier le pré requis. Nous nous sommes intéressés aux opérateurs de
Schrődinger qui interviennent de manière significative dans la théorie quantique.
L étude de ces opérateurs nécessitait un apprentissage des bases de la théorie spectrale
des opérateurs non bornés Comme ces notions s' utilisent dans d’autres domaines nous avons
tenu à les étudier précisément et à leur donner une certaine place dans la rédaction de ce
mémoire ,nous donnons toujours les références précises des résultats utilisés.
L études de l’équation de Schrődinger a commencé dans des articles fondateur
"Quantification et valeurs propres " dans les célèbres "Annalen der Physik " - vol 79 - fin
1926, d'erwin Schrödinger. On y retrouve la formulation de l’équation, le calcul des niveaux
d'énergie de l’hydrogène et le début d’une théorie des perturbations appliquée à l’étude des
effets Stark et Zeeman.
La théorie mathématique de la mécanique quantique et des opérateurs de Schrődinger
revient plutôt à J .Von Neumann dans un livre publié en 1932. Dans celui ci Von Neumann
introduit le cadre hilbertien de la mécanique quantique et démontre l'équivalence avec
l'approche matricielle de Heisenberg et celle de Schrődinger. Une des contributions
remarquables de cet ouvrage est la théorie mathématique des opérateurs auto adjoints non
bornés. Von Neumann insiste beaucoup sur le fait que les opérateurs de Schrődinger doivent
toujours être auto -adjoints.
La vision de Von Neumann a été développée et appliquée avec succès durant les années
50. Les résultats les plus remarquables ont sans aucun doute été ceux de T .Kato, qui débuta
une étude rigoureuse des opérateurs de Schrődinger et démontra que les opérateurs
correspondant aux atomes les plus simples sont bien auto- adjoints.
Plusieurs autres thèmes furent développés dans les décennies qui suivirent.
Ce mémoire est divisé en trois parties :
Le premier chapitre pose les bases les plus classiques : définition des opérateurs non
bornés de l’adjoint ....... jusqu’a théorème spectral qui donne une représentation de tout
opérateur auto -adjoint, Nous introduisons aussi la construction d'une extension auto-adjoint
de cet opérateur et les théorèmes de perturbation.
Le deuxième chapitre: introduit des outils qui seront utiles pour l’étude des opérateurs de
Schrődinger.On s'intéresse surtout à opérateurs de Schrődinger avec champ magnétique.
On se donne un opérateur de Schrődinguer de la forme:
Et
sont des opérateurs de multiplication par les fonctions réelles
et
on
suppose que :
Pour
et
Et
Il s’agit principalement de donner des conditions pour les quelles on peut trouver des
extensions auto adjointes satisfaisant notre étude.
Ainsi, On va parler de principe de l'invariance de jauge, ses propriétés et leurs importances
dans notre étude.
Le troisième chapitre:
Dans cette partie on va donner les conditions nécessaires sur le potentiel électrique pour
que l'opérateur de Schrődinguer sans champ magnétique soit à résolvante compacte donnée
par malchanov
Par la suite on se donne un opérateur de Schrődinguer avec champ magnétique introduit
au chapitre 2.
On va donner les conditions nécessaire pour que cet opérateur de Schrődinguer soit à
résolvante compacte, et on va s'intéressé à des exemples particuliers et leurs appliquer les
résultats obtenus.
Notre dernière étape sera une généralisation de ces résultats et de donner un exemple qui
donnera les limite de ces conditions suffisantes.
chapitre 1
Rappel des principales notions et résultats utilisés
Définition
1 :Espace de Hilbert
Espace vectoriel possède un produit scalaire vérifiant:
1-
2-
3-
4-
sauf
Pour
La norme de
est définit à partir du produit scalaire par :
est en fait un espace complet.
Definition2:Opérateur non borné dans
On appelle opérateur non borné dans
Où
tout couple
est un sous espace vectoriel de
Opérateur linéaire définie sur
et
est un
à valeur dans
.
est dit domaine de
Notation:
Dans la suite on suppose que
dense dans
.
Definition3: Le graphe d'un opérateur
Le graphe de
Dans
est le sous espace vectoriel
définie par :
Définition4: Opérateur fermé
L’opérateur
est dit fermé si
est fermé dans l'espace
Muni de produit scalaire défini par:
Et la norme correspondante.
Definition5: Extension de
Soit
un autre opérateur dans
tel que
alors:
Est appelé Extension de
Dans ce cas on écrit
De
, il est clair que
si est seulement si:
Definition6:Opérateur fermable
est une extension
L’opérateur
est dit fermable s'il existe une extension fermé de
.
Definition7:
Soit
un opérateur fermable alors:
Il existe une extension
Autre extension fermé
de
telle que :
pour toute
de
Est le plus petite extension fermée de
On note au passage que tout extension fermée de
est une extension de
Definition8: fermeture d'un opérateur
Si
est fermable alors :
Est dite fermeture de
Definition9:
Soit
de
dans
core
un opérateur de domaine
si l'emsemble
.
on dit que
est dense
est un
core
définition de l'adjoint d'un opérateur et d'un opérateur symétrique :
Definition2-1: opérateur auto-adjoint
Un opérateur
Lemma
l'adjoint de
est dite auto-adjoint si
Soit
un opérateur, et
son graphe. Si
désigner le graphe de
, on a:
Lemma
:
est un opérateur fermé
Caractérisation
Theorem
Soit
un opérateur symétrique dans
1-
est auto-adjoint
2-
est fermé et
alors les propriétés suivantes sont équivalentes:
3Proposition
2-1 :
L'espace
est dense dans
si et seulement si
est fermable.
Dans ce cas l'adjoint de
est
, on note:
.
De plus on a:
Definition2-2 : Opérateur essentiellement auto-adjoint
Soit
un opérateur symétrique. On dit qu’
Auto-adjoint si sa fermeture
Lemma
est essentiellement
est auto-adjointe.
Si l'opérateur symétrique
est essentiellement auto adjoint, alors il admet
une unique extension auto adjointe.
Soit
un sous-espace dense dans
et
une forme hermitienne c'est à
dire :
Pour tout
Dans ce cas, on définit la forme quadratique associé au domaine notée
Si
est un autre forme quadratique avec un domaine
telle que :
sur
par
Pour tout
Alors
est appelée extension de . Dans ce cas on écrit
Définition 3-1
Une forme quadratique est dite semi-bornée inférieurement s'il existe une constante
tell que :
Définition 3-2:
Une forme quadratique semi -bornée
Si
est fermée et
Est un
core
dense dans
est dite fermé si l'espace
est complet pour la norme:
pour la norme précédente alors :
pour .
Définition 3-3:
Soit
une forme quadratique symétrique bornée inférieurement à domaine dense et
fermée.
Il existe un unique opérateur auto-adjoint
,
=
,
core
pour
avec :
,
.
De plus
est un
.
On appelle
l'opérateur associé à la forme quadratique
Proposition 3-2
Soit
une forme quadratique associée à un opérateur symétrique
telle que :
Proposition :
Alors :
Est fermable est sa fermeture vérifie
:
Soit
une forme quadratique fermée semi-bornée inférieurement définie sur un
domaine .
Alors il existe un unique opérateur auto-adjoint
Est confondue avec
tel que la fermeture de la forme:
.
Cette opérateur est défini par :
Théorème
et
Définition : Soit
Alors :
un opérateur symétrique positif et posons :
Est une forme quadratique fermable .Sa fermeture
est la forme quadratique
d'unopérateur auto-adjoint unique
Est une extension positive de
La proposition
et le théorème
permettent de construire une extension Auto-
adjointe pour tout opérateur symétrique semi-borné
En effet d'après la proposition
Soit
sa fermeture et
théoreme
.alors les relation
implique que:
au sous-espace
est confondue avec
.
s'appelle l'extension de Friedrich de l'opérateur
Soit
Une forme
est fermable .
l'opérateur auto-adjoint construit dans le
et la restriction de
L’opérateur
la forme quadratique définie par
est dite
+
une fonction quadratique symétrique bornée inférieurement .
-bornée si il existe
tel que :
......
La borne inférieure des
vérifiant
telle que est la borne relative de
par rapport à
.
Proposition 4-1:
Soit
une
forme
quadratique
symétrique
bornée
une fonction quadratique symétrique
alors la forme
de domaine
inférieurement
et
fermé
avec borne relative
est fermé
Definition4-2: opérateur compact
Soit
un opérateur linéaire de
Si pour tout suite bornée
de
est dite compact
la suite
admet une sous suite convergente.
un opérateur non-borné de domaine dense dans
Definition5-1: Soit
On note:
dans
l'ensemble des
tels que:
1.
est injectif,
2.
est dense dans
3.
est borné.
est dit ensemble résolvant de
Définition 5-2 : Le spectre
Lorsque
de
est le complémentaire de
est un opérateur fermé, on peut remarquer que
tels que
,
.
est l'ensemble des
et bijectif, et d'inverse borné. En effet dans ce cas, si
s'étend automatiquement en un opérateur borné sur
On se limite maintenant aux opérateurs fermés.
Définition 5-3 : Soit
dans
un opérateur fermé. L'application
.
Est appelé la résolvante de A.
Lemma
Soit
un opérateur fermé, et
1
sa résolvante. On a les Propriétés suivantes :
et
2. Pour
3. Pour
Proposition 5-1 :
Soit
un opérateur fermé symétrique. Si
est auto adjoint alors :
Proposition 5-2 :
Soit
un opérateur auto adjoint.
Au spectre de
Appartient
si et seulement si il existe une suite
de
Telle que:
Et
.
Définition 5-4:
On appelle spectre discret d'un opérateur
sont isolés dans
de
l'ensemble des valeurs propres de
et de multiplicité finie. On le note
son complémentaire dans
.
qui
, on appelle spectre essentiel
Définition 5-5:
On appelle spectre continu
d'image
l'ensemble
des
tels que
soit injectif
dense mais non fermée.
Le spectre continu est inclus dans le spectre essentiel sans que la réciproque ne soit
toujours vraie.
Deux opérateurs linéaire définie sur
et
respectivement denses dans un
espace de Hilbert
D'un point de vue très général, on dit que l'opérateur
l'opérateur
lorsque
a les mêmes propriétés que
est une perturbation de
.
On donne ici deux critères concernant les perturbations d'un opérateur auto adjoint
premier permet de dire que
de
: le
est encore auto-adjoint, et le Second que le spectre essentiel
est le même que celui de .
Il faut remarquer que en général le spectre discret ne peut pas rester stable par
perturbation, aussi petite soit-elle.
L'avantage de ces théorèmes est de fournir des moyens efficaces pour montrer qu'un
opérateur est auto- adjoint, ou pour décrire son spectre, en se servant d’opérateurs connus.
Definition6-1: soit
un opérateur auto-adjoint alors
12-il existe deux constante
tell que:
est dite
si:
Definition : la borne inferieure de tous les
est appelée
Definition6-2: compacité relative d'opérateur soit
relativement compact à
ou plus simplement
et
de
un opérateur fermé, un opérateur
est
si :
alors:
admet une sous suite convergente.
:
Définition : soient
symétrique et
L’opérateur
Définition : si
un opérateur auto-adjoint dans un espace de Hilbert et
de borne relative
de domaine
est auto-adjoint et
un opérateur
alors:
est auto-adjoint.
est symétrique et
Alors:
Théorème
L’opérateur
est auto-adjoint de domaine
Théorème
Soient H et K deux opérateurs auto adjoints positifs. On suppose que l’opérateur
soit compact On a alors :
Chapitre 02
Opérateur de Schrödinger
La plupart des opérateurs non bornée sont considérés différentiels ou des opérateurs aux
dérivée partielles. il est généralement facile de choisir le domaine sur lequel ces opérateurs
deviennent symétriques, mais souvent il est difficile de voir s'ils sont auto-adjoint ou s'ils ont
une extension auto - adjointe.
Même si c'est le cas, nous aimerions être en mesure de classer les différentes extensions
auto -adjoint afin de choisir celles qui ont une application dans les problèmes physiques.
Une des premières questions à étudier étant le caractère auto-adjoint ou a défaut du
caractère essentiellement auto -adjoint d'un opérateur.
Il y'a au moins une bonne raison d'en parler:
Si
est auto-adjoint on a déjà une première information spectrale importante: le spectre de
l'opérateur
Le
est une partie de
postulat de la représentation de Schrödinger dans les principes fondamentaux est
que :
A tout grandeur physique d'un système (au quel correspond
auto-adjoint dans
) est associé un opérateur
.
Et la valeur d'une grandeur physique ne peut être que l'un des points du spectre de
l'opérateur qui lui est associe (position, énergie...ect)
1-opérateur de Schrödinger :
Dans cette partie, on étudie dans un premier temps des opérateurs de Schrödinger de la
forme
(c'est à dire sans champ magnétique) qui agissent sur
On va commencer par étudier l'opérateur
où
On étudiera cet opérateur sur les domaines notés
On note
par
et
est le la placien dans
définie par :
par
Definitionn 1-1:
On appelle opérateur de Schrödinger un opérateur H agissant sur
de la forme :
où V est une fonction à valeurs réelles appelée potentiel .Pour des raisons
historiques
est appelé hamiltonien.
L' Hamiltonien est un opérateur de Schrödinger obtenue lorsque l'on étudie en négligeant
le spin de l'atome d'hydrogène et de l'hélium et les interactions de deux particules chargées.
Une grande partie des motivations de l'étude des opérateurs de Schrödinger provient de la
théorie quantique.
En particulier nous verrons qu’ 'il est absolument nécessaire que le hamiltonien soit auto adjoint. Lorsque
n'a pas de propriété trop précise
On peut donner un sens à
dense dans
.
a partir
.
Par une intégration par partie, cet espace étant
Est évidemment symétrique En revanche on ne sait pas s’il est essentiellement autoadjoint ou s’il admet une extension auto- adjointe.
Toutes les dérivées de fonctions
sont considérées entendues au sens des distributions.
Definition1-2:
On pose :
Si
Sinon
: La fonction signe.
1-1 :
Lemma
soit
telle que:
On’ a alors:
Lemma
Soit T un opérateur symétrique et positif Alors :
T est essentiellement auto adjoint si et
Seulement si
Proof
Pour la démonstration on peut se ramener au cas ou T est fermé.
Si T est auto -adjoint alors:
Car : T est positif donc:
Mais comme
est fermé on déduit que
est fermé:
Montrons maintenant que:
Donc:
est fermé et borné donc que :
Soit
. Comme
Or
. Il existe
tel que :
donc on déduit que :
C’est à dire que:
On’ a donc :
Théorème : On suppose que V est une fonction positive de
Alors: l’opérateur de Schrödinger
défini sur
est essentiellement auto -
adjoint.
Proof
En accord avec le lemme précédent on montre donc que :
.
Comme
. On a, pour tout
Donc:
Comme
on a
On peut donc appliquer le lemme de Kato on obtient:
Re
Re
Re
Soit
En particulier, on a
Soit maintenant
une approximation de l'identité. On a:
Comme
On déduit aussi que
Le calcul suivant a donc un sens:
Pour tout
on a :
dans
est une constante pour tout
En faisant tendre
au sens de distributions. C’est -à-dire:
Mais comme cette fonction est dans
vers 0, on obtient
on déduit :
ce qui termine la démonstration.
1-3:
L'opérateur
défini dans le théorème précédent est auto- adjoint et son spectre est égal
2-opérateur de Schrödinger avec champ magnétique:
Dans cette deuxième partie on s'intéresse à l'opérateur définie par :
où
dit opérateur de Schrödinger avec champ magnétique.

est définie comme étant le potentiel magnétique par :
pour
A est considéré comme une 1-forme différentielle définie par

On appelle champ magnétique la 2-forme différentielle fermé

coefficient réels définie par:
à

est le potentiel électrique tel que:
Dans la suite, partant de
on va montrer que l'opérateur admet un prolongement
unique en un opérateur auto-adjoint sur
dés que
vérifie certaines hypothèses de
régularité, cet opérateur s'appelle opérateur de Schrödinger avec champ magnétique.
On pourra affaiblir considérablement les hypothèses sur , en imposant la condition de
jauge-coulomb
On peut définir
dans
avec la seul hypothèse,
qui est
néssecaire.
La condition supplémentaire diva=0 est assez fréquente physique (ca correspond à champ
magnétique nul).

pour :
,
On peut considérer l'expression :
Comme une forme quadratique.
Appelée forme maximal définie sur :
par:
Remarque:
Comme
dense dans
alors
Proposition2-1:
est une forme positive et fermée sur
Proof
Proof
,
Soit
On montre que :
une suite dans
est aussi dance dans
Par passage à la limite on’ a:
Alors:
Est fermé.
Theorem
Est un
core
de notre opérateur
Théorème
Soit
avec
et
on suppose que
Alors:

tel que
est
borné avec une borne relative
et avec
est essentiellement auto-adjoint sur
On considère le potentiel magnétique comme la 1-forme différentielle avec
composantes.
Et le champ magnétique
est associé à la 2-forme définie par:
oŭ
On pose :
Alors :
oŭ
désigne le crochet de Poisson.
est une matrice antisymétrique.
La norme de
est définie par:
Definition 3-1:
deux potentielles magnétique
et
sont dit équivalentes sous transformation de jauge si :
Définition :
On a alors
:
Ce que signifie que
C’est à dire le champ magnétique est invariant.
est une fonction de jauge telle que :
Ce qui nous donne l'invariance de jauge:
Ce qui implique :
donc:
Donc :
On en déduit :
et
sont formellement unitairement équivalents.
les opérateur
équivalente.
3-2 bornes spectrales d'un opérateur de Schrödinger
Soit :
On définit:
Et
et
sont unitairement
et
sont les bornes spectrales de Dirichlet et de Newman respectivement pour
Proposition3-1
Pour
simplement connexe on a:
chapitre 03
Propriétés spectrales de l'opérateur de Schrődinger
Les résultats dans ce chapitre ont leur origine dans les travaux concernant l'opérateur de
Schrödinger avec champ magnétique
A la suite des travaux de
et
,
un théorème de
,
, et surtout des plus récent de
,combiné avec une condition nécessaire
caractérise les champ magnétiques pour lesquels la résolvante de
est compact lorsque
le champ électrique est nul.
Notre objectif sera fournir des conditions suffisantes pour le caractère discret du spectre
de
Ces conditions devront porter sur le potentiel électrique
et sur le champ magnétique
ceci permet d'affirmer que le spectre est constitué de valeurs propres de multiplicité finie.
Théorème
Les conditions suivantes sont équivalentes:
1-
est à résolvante compact.
2-
quand
3-
avec
quand
Oŭ
4-il existe une fonction réelle continue sur
Quand
Et telle que :
telle que:
Toutes ces conditions données pour étudier le spectre des opérateurs de Schrödinger, se
basent sur un théorème ‹‹fondamental››, qui est le théorème de Peerson.
Théorème
‹‹
n'est pas affecté par ce qui se passe dans un domaine compact››

Le cas

ce cas a souvent été étudié, on mettant des hypothèses assurant le contrôle de la
est à résolvante compacte correspond au cas Oŭ
=
.
dérivé de
Le théorème
a donné des conditions équitantes pour la compacité de la résolvante
de l'opérateur de Schrödinger, généralisant la condition de
et que l'on retrouve dans
la condition 4.
Théorème
On suppose qu'il existe une fonction f, f
Et
quand
tels que:
Alors : l'opérateur
est à résolvante compacte.
Tout revient donc à trouver la fonction vérifiant la relation
Schrödinger associe soit à résolvante compacte.
On donne cet exemple dans le cas n=2
Dans le cas ou n=2
On considère
,
On remarque que :
pour que l'opérateur de
La compacité de la résolvante de l'opérateur de Schrödinger associé est assurée par le
théorème
en considérant
Rappelons aussi quelques résultats concernant l'opérateur de Schrödinger
c'est à dire :
Dans le cas ou le champ magnétique est nul
On a le résultat classique de Friedrich. K
Proposition
Soit V une fonction à valeurs réels. Pour n=1
La condition
quand
.........
:
Implique
Un deuxième résultat a été formulé par
potentiel
. C’est à dire le
est semi -borné inférieurement. Sans perte de généralité nous pouvons donc
supposer que
Proposition
Dans le cas
quand
la condition
et la condition
est au fait nécessaire et suffisante.
Pour un potentiel magnétique nul on’ a :
Théorème
Soit
Si
Alors:
la boule ouverte avec le rayon
et de centre
alors :
On remarque que cette condition est nécessaire, mais ne donne pas les conditions
suffisantes pour la compacité de la résolvante.
Par la suite
trouvé une condition nucléaire et suffisante pour que
, cette condition est intermédiaire entre
de
que nous notons
et
il est formulé en terme de capacité
Nous pouvons concevoir la capacité comme une mesure
d'ensemble.
Soit C un ensemble et B la tribu des boréliens dans C.
Définition
Mesure de Wiener
Une mesure
est dite mesure de weiner sur
si elle vérifie les deux conditions
suivantes:
1-pour tout
et tout
2- pour tout
pour tout
,
Pour tout
les variables aléatoires
définie pour tout
Sont indépendantes par rapport à la mesure
La capacité d'un ensemble
est toujours prise par rapport à une boule
d'un rayon fixe
On a le théorème suivant:
Théorème
L'opérateur
a un spectre discret si et seulement s'il existe
Tels que : Pour tout
Quand
et
par:
Dans ce cas
nous dirons que la fonction
fournit une valeur particulière de
satisfaite
,en faite
en considérant
Dans la suite on énonce un lemme qui donne une condition nécessaire pour la compacité
de la résolvante de l'opérateur
dans le cas ou
Soit
lemma
lemma
si l'opérateur
est à résolvante compacte et
régulier on’ a alors:
Quand
Si l'opérateur
est a résolvante compacte alors:
Quand
Si
on retrouve les résultats du théorème
la démonstration de cette lemme nécessite
la lemme suivante:
Soit b une matrice antisymétrique à composantes
Et
un ouvert convexe borné de
Où
telle que:
et vérifiant :
.
Alors il existe une constante c dépendant de
potentiel b
définie sur
sur
diam
et un vecteur
Proof
On pose
alors pour tout
x, il existe un vecteur potentiel
Sur
tel que:
et
Diam
Pas de
donc c ne dépend
alors:
Avec
Le résultat est obtenu en utilisant la proposition
.
On retrouve ce résultat dans le corollaire
les conditions portant
directement sur
Théorème
On suppose qu'il existe une constante
Tend vers l'infini lorsque
tend vers l'infini.
Alors: l'opérateur de Schrödinger dans
On considère:
,
Alors:
tell que
,
est à résolvante compacte.
en considérant :
, on remarque que
dire qu'on ne peut pas appliqué le théorème
ne tend pas vers
c'est à
.
Cependant, au vu des résultats de
l'opérateur associe à un tel potentiel
magnétique est a résolvante compacte. Pour cela on remarque :
Quand
et c'est l'expression:
Qu’on considérant dans cette exemple comme étant la fonction
une première
généralisation de ce résultat a été donnée par

on prendra
oŭ les
sont réels.

Soit
On
sous la forme:
on notera
par
la forme quadratique
note
:
le
domaine de
celui de
Supposons que l'on’ a
et qu'il existe un entier
Théorème
Une constante
tell que l'on’ ait:
Alors il existe une constante
telle que:
et
et
et
corollary
sous les hypothèses de théorème
Alors:
si on’ a :
est a résolvante compacte.
On retrouve la compacité de la résolvante de l'opérateur de l'exemple2. en considérant
r=1, car:
On remarque donc la différence fondamentale entre l'exemple
la puissance de
et l'exemple
dans
.
Alors : quelle est la puissance maximale de
pour laquelle l'opérateur de
Schrödinger associe est à résolvante compacte?
On considère :
Soit
une fonction de poids définie sur
tell que :
On’ a alors le :
Théorème
Supposons que l'on’ ait les hypothèses de théorème 8 et il existe
constante positives
tel que:
,
et des
Alors :
Il existe une constante
tel
que: Ou
Supposons que l'on’ ait:
corollary
et qu'il existe un entier
que: la fonction
,
tel que:
de sorte
soit continue et vérifie :
Alors: il existe une constante
telle que :
Où
corollary
Sous les hypothèse du théorème
Quand
ou de corollaire
,et si de plus :
et
Alors:
Est à résolvante compacte.
Remarque :
1. dans le cas ou
on trouve les résultats du corollaire
2. la remarque de
corollaire
correspond à
.
3. lorsque
Lorsque
Alors :
et s'il existe
le corolaire
et
est à résolvante compact. .
tels que:
dit que:
et
dans le
Bibiographie

j-avron,i herbest ,b.simon: schrődinguer operator with magnetic fields.
general interactions duke math. journal 45

p. bolley, m. dauge, b.helffer : conditions suffisantes pour i'injection
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Résumé
 Nous nous intéressons dans ce travail à l’opérateur de Schrödinger avec
champ magnétique :
ú
( )=
−
+
Sont des opérateurs de multiplication par les fonctions réelles
V( ) .
( ) et
On suppose que :
(1)
(2)
=(
……..
( )∈
)
̸
( )∈
(ℝ )
(ℝ ) pour = 1 … …
∀ ∈ℝ
( )≥0
On s’intéresse aux points suivants :
1. L’opérateur
( , ) = (− ∇ + ) +
est il auto-adjoint.
2. Le champ magnétique B définie par :
=∇ =
+
Et invariant par transformation de jauge.
3. Que devient le spectre de l’opérateur ( , ) sous certaines conditions
ainsi que leurs dérivées ?
Mots clés :
Opérateur de Schrödinger, champ magnétique ,potentiel électrique, invariance de
) , Hamiltonien ,
jauge , résolvante compacte , spectre (
,
opérateurs auto-adjoint.
Résumé
Nous nous intéressons dans ce travail à l’opérateur de Schrödinger avec
champ magnétique
 On s’intéresse aux points suivants :
1. L’opérateur de Schrödinger est il auto-adjoint.
2. Le champ magnétique B Et invariant par transformation de
jauge.
3. Que devient le spectre de l’opérateur de Schrödinger avec
champ magnétique sous certaines conditions ainsi que leurs
dérivées ?
Mots clés :
Opérateur de Schrödinger, champ magnétique, potentiel électrique,
),
invariance de jauge, résolvante compacte, spectre (
,
Hamiltonien , opérateurs auto-adjoint.