Notes de cours - Ceremade - Université Paris

Université Paris-Dauphine Année 2013/2014
M1MMD
Analyse convexe approfondie
Joseph Lehec

Table des matières
1 Ensembles convexes 2
2 Théorème de Carathéodory, théorème de Helly 5
3 Propriétés topologiques des convexes 7
4 Fonctions convexes 10
5 Le théorème de Hahn-Banach 12
6 Polarité 15
7 Transformée de Legendre-Fenchel 17
8 Convexité et différentiabilité 21
9 Le théorème de Krein-Milman 24
10 Optimisation convexe 27
11 Le théorème de John 33
12 Espaces en dualité et programmation linéaire 38
Annexe 1. Espaces vectoriels topologiques 42
Annexe 2. Lemme de Zorn 43
Annexe 3. Dualité. Topologies faible et faible ∗45
1

1 Ensembles convexes
Soit Eun espace vectoriel réel.
Définition 1. On dit qu’un sous-ensemble Ade Eest un sous-espace affine s’il contient toutes
les droites passant par deux de ses points :
(1 −t)x+ty ∈A, ∀x, y ∈A, ∀t∈R.
Un espace affine est stable par combinaisons affines : si x1, . . . , xm∈Aet λ1, . . . , λmsont des
réels vérifiant Pm
i=1 λi= 1 alors
m
X
i=1
λixi∈A.
Ceci se déduit de la définition en raisonnant par récurrence sur m.
Définition 2. Un sous-ensemble Kde Edit convexe si pour tous x, y dans Kle segment [x, y]
est inclus dans K:
∀x, y ∈K, ∀t∈[0,1], tx + (1 −t)y∈K.
Un sous-espace affine est donc un exemple d’ensemble convexe.
Exemple. Soit k·kune norme sur E. Les boules de E, ouvertes ou fermées, sont des convexes de
E.
Un ensemble convexe Kest stable par combinaison convexe : si x1, . . . , xm∈Ket λ1, . . . , λm
sont des réels positifs vérifiant Pm
i=1 λi= 1 alors
m
X
i=1
λixi∈K.
Il est clair d’après la définition qu’une intersection quelconque d’espaces affines est un espace
affine, et qu’une intersection quelconque d’ensembles convexes est un ensemble convexe.
Définition 3. Soit Aune partie de E. On appelle enveloppe affine de A, notée aff(A)l’intersec-
tion de tous les espaces affines contenant A. On appelle enveloppe convexe de A, notée conv(A)
l’intersection de tous les sous-ensembles convexes contenant A.
Par stabilité par intersection aff(A)est un espace affine. C’est le plus petit espace affine conte-
nant A: si Fest un sous-espace affine contenant Aalors aff(A)⊂F. De même conv(A)est le plus
petit ensemble convexe contenant A.
Proposition 4. Soit Aune partie de E. Alors aff(A)est égal à l’ensemble des combinaisons affines
d’éléments de A. De même conv(A)est égal à l’ensemble des combinaisons convexes d’éléments de
A.
Démonstration. Soit Cl’ensemble des combinaisons convexes d’éléments de A. Alors Cest convexe
et contient Adonc conv(A)⊂C. Réciproquement, comme conv(A)est convexe et contient Ail
contient toutes les combinaisons convexes d’éléments de A.
La démonstration est la même pour aff(A).
Définition 5 (Somme de Minkowski).Soient A, B des sous-ensembles de E, on pose
A+B={a+b, a ∈A, b ∈B}.
Lemme 6. Soient a, b > 0et Kun ensemble convexe. Alors
aK +bK = (a+b)K.
2

Démonstration. Soient x, y ∈K. Alors par convexité de K
a
a+bx+b a+by∈K,
et donc ax +by ∈(a+b)K. Donc aK +bK ⊂(a+b)K. L’inclusion réciproque est évidente.
Remarque. L’inclusion (a+b)K⊂aK +bK est vraie sans hypothèse sur K, mais elle est en général
stricte. Par exemple si K= [−2,−1] ∪[1,2], alors K+K= [−4,4] et
2K= [−4,−2] ∪[2,4].
Si Fest un sous-espace affine et x∈Falors F−xest un sous-espace vectoriel de E, de plus
F−xne dépend pas de x∈F.
Définition 7. Soit Fun sous-espace affine et xun point de F. On appelle dimension de F, notée
dim(F), la dimension de l’espace vectoriel F−x(ceci ne dépend pas du point xchoisi).
Définition 8. Une famille (xi)i∈Ide point de Eest dite affinement indépendante si
xi/∈aff {xj, j ∈I\{i}},∀i∈I.
Il est facile de voir que les {xi, i ∈I}sont affinement indépendants si et seulement si les
{xj−xi, j ∈I\{i}}
sont linéairement indépendants (cette propriété ne dépend pas de i).
Définition 9. On appelle dimension d’un ensemble convexe Kla dimension de l’espace affine
engendré par K.
Définition 10. On appelle simplexe de dimension nl’enveloppe convexe de n+1 points affinement
indépendants.
Exemple. Un simplexe de dimension 1est un segment, un simplexe de dimension 2est un triangle,
un simplexe de dimension 3est un tétraèdre.
Lemme 11. Soit Kun convexe de dimension nalors il contient un simplexe de dimension n.
Démonstration. Soit x1...,xmune famille affinement indépendante d’éléments de Kde cardinal
maximal. Alors
conv{x1, . . . , xm} ⊂ K
D’autre part, par maximalité
K⊂aff{x1, . . . , xm}
et donc
aff(K) = aff{x1, . . . , xm}.
Par conséquent m=n+ 1, ce qui termine la preuve.
Exercice 1. Montrer qu’un ensemble convexe est stable par combinaisons convexes.
Exercice 2. Soit K⊂Rnvérifiant
x, y ∈K⇒x+y
2∈K
pour tous x, y ∈Rn.
1. Montrer par un exemple que Kn’est pas forcément convexe.
2. Montrer que si de plus Kest fermé, alors Kest convexe.
3

Exercice 3. Soit K⊂Eun ensemble convexe. On dit que x∈Kest un point extrémal de Ksi
y+z
2=x⇒y=z=x, ∀y, z ∈K.
Montrer que xest un point extrémal de Ksi et seulement si K\{x}est convexe.
Exercice 4. Soit A⊂Eet soit xun point extrémal de conv(A), montrer que x∈A.
Exercice 5. Montrer que la somme de deux sous-espaces affines est un sous-espace affine. Montrer
que la somme de deux convexes est convexe.
Exercice 6. Soit p∈[1,+∞]. Pour x∈Rnon pose
kxkp= n
X
i=1 |xi|p!1/p
, p < +∞
kxk∞= max{|xi|;i≤n}.
1. Montrer que ceci définit une norme sur Rn. L’espace vectoriel normé (Rn,k·kp)est noté `n
p.
Sa boule unité fermée est notée Bn
p.
2. Montrer que Bn
p⊂Bn qpour tout p≤q.
3. On dit qu’un espace vectoriel normé est strictement convexe si sa norme vérifie
(kxk=kyk= 1 et x6=y)⇒
x+y
2
<1.
Pour quelles valeurs de ples espaces `n
psont-ils strictement convexes ?
Exercice 7 (Projection sur un convexe).Soit Hun espace de Hilbert et Cun convexe fermé de
H. Soit x∈H. On pose
α= inf {ky−xk;y∈C},
et on se donne une suite (xn)d’éléments de Ctelle que
lim
nkxn−xk=α.
1. En utilisant l’égalité du parallélogramme, montrer que (xn)est une suite de Cauchy.
2. En déduire qu’il existe un unique x∈Cqui minimise la distance à x. Ce point est appelé
projeté de xsur C.
3. Montrer que le projeté xde xsur Cest caractérisé par la propriété suivante :
hx−x, y −xi ≤ 0,∀y∈C.
4