Dynamique des Fluides - L3 Mécanique de l`Université Paris Sud

Master 1 de M´ecanique Physique Ann´ee 2007–2008
— P-MEC-402A —
Dynamique des Fluides
Travaux dirig´es
(Version du 18 juillet 2007)
Fig. 1 – En vrac et dans le d´esordre : Daniel Bernoulli, Pierre Simon de Laplace, Osborne Reynolds,
Leonhard Euler, Archim` ede, George Stokes...
1

Table des mati`eres
1 — Introduction `a la dynamique des fluides 3
2 — Analyse Dimensionnelle 5
3 — Ressaut hydraulique dans un canal 8
4 — ´ Equations de continuit´e 10
5 — Statique des fluides 12
6 — ´ Ecoulements potentiels 16
7 — Dynamique de fluides parfaits 18
8 — ´ Ecoulements de Bernoulli 22
9 — Dynamique des gaz 26
10 — Fluides visqueux 28
11 — Couche limite visqueuse 30
12 — ´ Ecoulements avec vorticit´e 34
A — Vidange d’un r´eservoir dans un long tube capillaire 40
B — ´ Ecoulement dans un amortisseur visqueux 42
C — Effet Marangoni 44
D — ´ Ecoulement d’un fluide visqueux 45
E — Croissance d’une bulle 48
F — ´ Ecoulement d’un fluide visqueux 50
G — ´ Eolienne 52
H — Effet siphon 55
I — Formulaire 59
J — A propos du th´eor`eme du transport de Reynolds 63
2

1 — Introduction `a la dynamique des fluides
1.1 D´efinitions
D´efinir ce que sont les :
(i) lignes de courant ;(ii) lignes d’´emission ;(iii) trajectoires des particules fluides.
Indiquer de quelle mani`ere il est possible de mettre chacune d’elles en ´evidence dans un ´ecoulement. Dans
quel cas sont-elle toutes les trois confondues ?
1.2 Manipulation de l’op´erateur ∇dans R3
1) ´ Etablir les formules suivantes :
a) ∇ ∧~r = 0 ;
b) ∇ ·~r = 3 ;
c) ∇ · ˆr
r2= 0 ;
d) ∇f(r) = f0(r)ˆr;
e) ∇ ∧ (f(r)~r) = 0 ;
f) ∇ · (f(r)~r) = 3f(r) + rf0(r) ;
g) ∇ · (rn~r) = (n+ 3)rn;
h) ∇2f(r) = f00(r) + 2
rf0(r).
2) Montrer alors que :
a) ∇2(f(r)~r) = (4f0(r) + rf00(r)) ˆr,
b) ∇2(rm~r) = m(m+ 3)rm−2~r.
3) ´ Etablir les relations suivantes lorsque ~a d´esigne un vecteur de R3:
a) (~a · ∇)~r =~a ;
b) ∇(~a ·~r) = ~a ;
c) ∇ · (~a ∧~r) = 0 ;
d) ∇ ∧ (~a ∧~r) = 2~a ;
e) ∇ · (f(r)~a ∧~r) = 0 ;
4) ´ Etablir les relations suivantes :
a) ∇ · a~ V=a∇ · ~ V+~ V· ∇a;
b) ∇ · ~ A∧~ B=~ B∇ ∧ ~ A−~ V∇ ∧ ~ B;
c) ∇ ∧ ~ A∧~ B=~ B∧ ∇~ A−~ B∇ · ~ A−~ A· ∇~ B+~ A∇ · ~ B.
1.3 Propri´et´es g´en´erales d’´ecoulements particuliers
1) D´emontrer les deux ´egalit´es suivantes :
a) −→ rot −−→ grad f=~ 0 ;
b) div −→ rot ~ A= 0.
2) En d´eduire qu’un champ de vitesse d´erivant d’un potentiel ~v =−−→ grad φ, correspond `a un ´ecoulement
de vorticit´e ~ω =−→ rot ~v uniform´ement nulle (´ecoulement irrotationnel), et que le champ de vitesse d’un
´ecoulement incompressible (`a divergence nulle) r´esulte de la circulation d’un champ vectoriel ~ ψsur un
contour ferm´e (fonction courant).
3

1.4 Champ ´electromagn´etique
Dans le vide, le champ ´electrique ~ Eet le champ magn´etique ~ Hsatisfont aux ´equations de Maxwell :
∇ · ~ E= 0,∇ · ~ H= 0,∇ ∧ ~ E=−∂~
H
∂t ,∇ ∧ ~
H=∂~
E
∂t .
1) Montrer qu’ils satisfont alors aussi `a l’´equation d’onde :
∇2~u =∂2~u
∂t2.
2) R´eciproquement, montrer que si ~u v´erifie cette ´equation d’onde, alors :
(~
E=∇ ∧ (∇ ∧ ~u)
~
H=∇ ∧ ∂~u
∂t
et (~
E=−∇ ∧ ∂~u
∂t
~
H=∇ ∧ (∇ ∧ ~u)
sont deux solutions des ´equations de Maxwell.
4

2 — Analyse Dimensionnelle
Rappels sur le th´eor`eme π, ou th´eor`eme de Buckingham : soit une relation homog`ene en dimension u1=
f(u1,··· , uk) reliant kgrandeurs physiques faisant intervenir rgrandeurs dimensionellement ind´ependantes (r
est la dimension minimum n´ecessaire pour d´ecrire les grandeurs physiques ui). Cette relation peut ˆetre r´eduite `a
une relation π1= Φ(π2, π3,··· , πk−r) o`u les k−rgrandeurs sans dimension (adimensionn´ee) πisont des termes
form´es `a partir d’une grandeur dimensionn´ee et de rautres grandeurs dimensionellement ind´ependantes. Les
termes πsont de la forme π=uaα
α·uaβ
β·uaγ
γ···o`u aα, aβ··· sont des relatifs entiers ou fractionnaires.
2.1 Chute libre dans un fluide visqueux
On consid`ere la chute lente, `a la vitesse Vconstante, d’une particule sph´erique de diam`etre ddans un fluide
visqueux de viscosit´e dynamique µ. On veut d´eterminer l’expression de la force de frottement Fen fonction
de d,V,µ(grandeurs caract´eristiques du probl`eme). Les forces d’inertie sont n´egligeables devant la force de
viscosit´e.
1) ´ Ecrire les ´equations aux dimensions de F,d,V,µen fonction de (M,L,T) (masse, longueur, temps).
2) D´eduire le nombre minimum rde variables n´ecessaires pour exprimer les grandeurs F,d,V,µ, puis le
nombre de grandeurs adimensionn´ees ind´ependantes.
3) Chercher le(s) terme(s) πcomme un produit des puissances des rgrandeurs ind´ependantes et de la
quatri`eme grandeur restante.
4) Comparer la relation trouv´ee avec la loi de Stokes (F= 3πµdV ). Conclure.
2.2 D´ebit d’un d´eversoir
Fig. 1 – Vue de cˆot´e et de face du d´eversoir
On suppose que le d´ebit Q(m3/s) d’un d´eversoir rectangulaire, en ´ecoulement permanent, est une fonction
de la hauteur hdu fluide en amont du d´eversoir, de la largeur bdu d´eversoir et de l’acc´el´eration de la gravit´e g
(le fluide ne s’´ecoule que sous l’action de son poids).
1) ´ Ecrire les ´equations aux dimensions de Q,h,b,g.
2) D´eduire le nombre minimum rde variables n´ecessaires pour exprimer les grandeurs Q,h,b,gpuis le
nombre de grandeurs adimensionn´ees ind´ependantes.
3) A partir de la liste des grandeurs h, b, g s´electionner rgrandeurs ind´ependantes.
4) Chercher les termes πcomme le produit des puissances de ces rgrandeurs ind´ependantes et d’une autre
grandeur.
5) D´eduire la relation adimensionn´ee Q
pgh5= Φ h
b.
5