notes de cours - Département de physique

ÉLECTROMAGNÉTISME AVANCÉ
PHQ421
par
David SÉNÉCHAL
Ph.D., Professeur Titulaire
∇·D=4πρ
∇∧E+
1
c
∂B
∂t
=0
∇·B=0
∇∧H−
1
c
∂D
∂t
=
4π
c
J
UNIVERSITÉ DE SHERBROOKE
Faculté des sciences
Département de physique
10 août 2016

2

Table des matières
1 Équations de Maxwell 7
A Charge électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
A.1 Forces et unités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
A.2 Quantification de la charge électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
A.3 Distributions de charge et de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
B Forces électrique et magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
C Champs électrique et magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
D Lois de Gauss et d’Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
E L’induction électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
F Les équations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Potentiels et énergie électromagnétiques 25
A Les potentiels électromagnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
B Particule chargée dans un champ électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
C Théorème de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
D Potentiels retardés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
D.1 Équation d’onde pour les potentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
D.2 Fonction de Green pour l’équation de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
D.3 Ondes électromagnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
E Électrostatique des conducteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
E.1 Loi d’Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
E.2 Distribution des charges dans un conducteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
E.3 Capacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3 Dipôles électriques et magnétiques 41
A Moment dipolaire électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
B Développement multipolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
C Moment quadripolaire électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
D Énergie d’une distribution de charge dans un potentiel externe . . . . . . . . . . . . . . 45
E Moment dipolaire magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
F Moment dipolaire magnétique et moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
G Force et couple sur un moment dipolaire magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4 Champs macroscopiques 55
A Champs D,P,Het M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
B Conditions de continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
C Potentiel scalaire magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
C.1 Exemple : sphère avec aimantation uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
D Énergie électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3

4 TABLE DES MATIÈRES
5 Ondes planes dans le vide et les diélectriques 65
A Ondes planes et représentation complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
B Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
C Densité et flux d’énergie d’une onde monochromatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
D Décomposition spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
E Lumière partiellement polarisée et paramètres de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6 Théorie de la constante diélectrique 79
A Polarisabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
B Modèle de Drude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
C Équation de Clausius-Mossoti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
D Fréquence de plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
E Plasma en champ magnétique : magnétosphère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
F Dispersion dans les conducteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
G Propagation dans un conducteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7 Réflexion et réfraction 101
A Incidence normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
B Incidence oblique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
C Angle de Brewster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
D Coefficients de réflexion et transmission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
E Réflexion totale interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
F Réflexion et réfraction sur les conducteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
8 Propagation dans un diélectrique anisotrope 113
A Tenseur diélectrique et systèmes cristallins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
B Surface des indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
C Vecteur radial et surface des rayons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
D Polarisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
9 Guides d’ondes et cavités 129
A Équation de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
B Réduction aux composantes longitudinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
C Modes TEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
D Modes TE et TM dans un guide conducteur creux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
E Guide d’onde rectangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
F Guides d’ondes à section circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
F.1 Guide d’onde creux à section circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
F.2 Distribution du courant dans un fil conducteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
F.3 Fibre optique à saut d’indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
G Pertes d’énergie dans les guides d’onde à parois conductrices . . . . . . . . . . . . . . . 150
H Cavités électromagnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
I Facteur de qualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
10 Rayonnement d’ondes électromagnétiques 161
A Rayonnement par une source monochromatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
B Rayonnement multipolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
B.1 Rayonnement dipolaire électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

TABLE DES MATIÈRES 5
B.2 Rayonnement dipolaire magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
B.3 Rayonnement quadripolaire électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
C Antennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
C.1 Antenne linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
C.2 Résistance de rayonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
C.3 Antennes réceptrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
C.4 Réseaux d’antennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
11 Diffraction 181
A Diffraction scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
A.1 Diffraction vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
B Approximation de Fraunhofer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
C Diffraction par une ouverture circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
D Principe de Babinet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
E Formule de Stratton-Chu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
12 Diffusion de la lumière 199
A Diffusion par un électron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
B Théorie générale de la diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
C Facteur de forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
D Fluctuations de densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
13 Rayonnement par des charges ponctuelles 213
A Champs produits par une charge en mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
B Charge en mouvement uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
C Rayonnement non relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
D Cas où la vitesse est parallèle à l’accélération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
E Cas d’une orbite circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
F Rayonnement synchrotron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
14 Formulation relativiste 227
A Quadrivecteurs en relativité restreinte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
A.1 Tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
A.2 Exemples d’invariants et de quadrivecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
B Forme covariante des équations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
B.1 Tenseur de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
C Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
C.1 Formule de Larmor relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
D Formulation lagrangienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
15 Annexes 249
A Formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
A.1 Notation indicielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
A.2 Formules d’analyse vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
A.3 Conversion entre les systèmes SI et gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
B Théorème de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
C Relations de Kramers-Krönig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
D Polynômes de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257