TD2 - Fonctions de la variable réelle

IUFM du Limousin 2012-13
Master MEFE - S1
S. Vinatier Exercices
TD2 - Fonctions de la variable réelle
Exercice 1
Pour chacune des affirmation suivantes, préciser si elle est vraie ou si elle est fausse puis :
— si elle est vraie, la démontrer ;
— si elle est fausse, donner un contre-exemple.
1. Toute suite réelle convergente est monotone à partir d’un certain rang.
2. Soient fet gdeux fonctions définies de Rdans R. Dans le plan muni d’un repère
orthonormé direct (O, −→ i , −→ j), on considère M(t)le point de coordonnées (f(t), g(t))
et on note Γla courbe décrite par le point M(t)lorsque tdécrit R.
Ainsi Γest la courbe paramétrée par (x=f(t)
y=g(t),tvariant dans R.
L’affirmation est la suivante : si les fonctions fet gsont paires, la courbe Γest symé-
trique par rapport à l’axe des ordonnées y0Oy.
3. La fonction x7→ xq|x|est dérivable sur R.
4. Pour une fonction fcontinue sur l’intervalle [0; 1], si R1
0f(t)dt = 0, alors fest la
fonction nulle sur l’intervalle [0; 1].
Exercice 2
Soit fune fonction dérivable sur [0,+∞[vérifiant f(0) = 1 et
∀x∈[0,+∞[, f(x)f0(x)=1 .
1. a) Vérifier que fne s’annule pas sur [0,+∞[.
b) On suppose qu’il existe un réel a > 0tel que f(a)<0. Montrer que l’équation
f(x) = 0 admet au moins une solution dans [0, a]. Conclusion ?
2. a) Montrer qu’il existe un réel Ctel que, pour tout x≥0,f(x)2= 2x+C.
b) Déterminer l’ensemble de toutes les fonctions satisfaisant les conditions données
pour f.
Exercice 3
Pour tout réel x6= 0, on pose f(x) = x
ex−1.
1. a) Démontrer que fest continue et dérivable sur ]− ∞,0[ ∪]0,+∞[.
1

b) Montrer que fse prolonge en une fonction continue sur R.
Pour simplifier les notations, on note encore fce prolongement.
c) Donner f(0). Étudier la dérivabilité de fen 0.
d) Après avoir donné les limites de fen −∞ et +∞, donner son tableau de variations
(on pourra être amené à étudier le signe sur Rde h:x7→ (1 −x)ex−1).
e) Démontrer que la courbe représentative Cde fadmet au voisinage de −∞ une
asymptote dont on donnera une équation cartésienne.
f) Tracer la courbe dans un repère orthonormé d’unité égale à 2cm.
2. a) Démontrer que fa un développement limité d’ordre n, pour tout n∈N, au voisinage
de 0.
b) Trouver ce développement limité pour n= 4.
3. a) Démontrer que 1
fest développable en série entière sur Ret donner ce développement.
b) En déduire que fest de classe C∞sur R.
c) Calculer f(k)(0) pour 0≤k≤4.
Exercice 4
Le but de ce problème est l’étude de quelques spécificités des fonctions numériques cet s
de la variable réelle xdéfinies sur Rrespectivement par :
c(x) = ex+e−x
2et s(x) = ex−e−x 2.
Les deux parties de ce problème peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre.
Partie I : Majorations, minorations, encadrements
1. Calculer c(0) et s(0) ; donner une valeur approchée de c(1) et de s(1) à10−2près.
2. Démontrer que la fonction cest paire et que la fonction sest impaire.
3. a) Justifier que, pour tout réel x, on a c(x)2−s(x)2= 1 et c(x)≥1.
b) Vérifier que, pour tout réel xpositif, on a : 0≤s(x)≤c(x).
4. a) Justifier que les fonctions cet ssont dérivables sur R; déterminer les fonctions
dérivées correspondantes.
b) Dresser le tableau de variations de chacune des fonctions cet s.
c) Tracer les courbes représentatives des fonctions cet sdans un même repère ortho-
normal du plan d’unité graphique 1cm.
5. a) Démontrer que, pour tout réel xpositif, on a x≤s(x).
b) En déduire les inégalités suivantes, pour tout réel xpositif :
1 + x2
2≤c(x)et x+x3 6≤s(x).
2

6. a) Démontrer que, pour tout réel xcompris entre 0et 1, on a :
s(x)≤2xet c(x)≤1 + x2.
b) En déduire les inégalités suivantes, pour tout réel xcompris entre 0et 1:
s(x)≤x+x3
3et c(x)≤1 + x2 2+x4 12 .
c) Justifier que, pour tout réel xcompris entre 0et 1, on a :
0≤c(x)− 1 + x2
2!≤1 12 .
Qu’en est-il pour s(x)?
Partie II : Les fonctions cet set l’hyperbole
On admettra que si une fonction continue sur l’intervalle [1; +∞[est monotone ou
strictement monotone sur l’intervalle ]1; +∞[, il en est de même sur l’intervalle [1; +∞[.
Le plan étant muni d’un repère orthonormal (0,−→ i , −→ j), on considère la courbe H
d’équation x2−y2= 1. On note H+l’ensemble des points de Hadmettant des coordonnées
xet ypositives.
1. Justifier que la courbe H+est la courbe représentative dans le repère (0,−→ i , −→ j)de la
fonction fqui à tout réel xde l’intervalle [1; +∞[associe √x2−1.
2. Démontrer que la droite d’équation y=xest asymptote à la courbe H+.
3. Démontrer que la courbe Hpeut être obtenue à partir de la courbe H+par des symé-
tries que l’on précisera.
4. Tracer la courbe Hdans le repère (0,−→ i , −→ j).
Un nombre réel positif aétant donné, on cherche, dans la suite de cette partie, à montrer
que les coordonnées du point Mde H+tel que l’aire hachurée représentée ci-dessous soit
égale à 2asont (c(a), s(a)).
3

5. On note :
•Fla primitive de la fonction f:x7→ √x2−1définie sur l’intervalle [1; +∞[et
nulle en 1;
• A la fonction qui à tout réel xsupérieur ou égal à 1associe l’aire de la partie
hachurée représentée ci-dessus et correspondant au point M d’abscisse xde la
courbe H+;
•gla fonction numérique de la variable réelle xdéfinie sur l’intervalle [1; +∞[par :
g(x) = x√x2−1
2−F(x).
a) Justifier la relation suivante, pour tout réel xstrictement supérieur à 1:A(x) =
4g(x).
b) Démontrer que la fonction Aest strictement croissante sur l’intervalle [1; +∞[.
c) Justifier l’inégalité suivante, pour tout réel xsupérieur ou égal à 1:
g0(x)≥1
2x.
d) Déduire de ce qui précède :
•limx→+∞g(x)=+∞;
•quel que soit le réel apositif, il existe un unique réel xasupérieur ou égal à 1
tel que A(xa)=2a.
6. Soient −→ I=−→
i−−→ j
√2et −→
J=−→
i+−→ j
√2.
Pour tout point Mdu plan de coordonnées (x, y)dans le repère (O, −→ i , −→ j), on note
(X, Y )ses coordonnées dans le repère (O, −→ I , −→ J).
a) Prouver que (O, −→ I , −→ J)est un repère orthonormal du plan.
b) Exprimer xet yen fonction de Xet Y.
c) En déduire que, dans le repère (O, −→ I , −→ J),Hest la courbe représentative de la
fonction h:X7→ 1
2X, définie sur R∗.
7. On note Ale point de coordonnées (1,0) dans le repère (O, −→ i , −→ j).
a) Quelles sont les coordonnées de Adans le repère (O, −→ I , −→ J)?
b) Tracer la courbe H, le point A, la droite (O, −→ i)et représenter la partie hachurée
précédente dans le repère (O, −→ I , −→ J).
c) Calculer l’aire A(c(a)) en fonction de a.
d) Conclure.
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