TD2 - Fonctions de la variable réelle

IUFM du Limousin
Master MEFE - S1
S. Vinatier
2012-13
Exercices
TD2 - Fonctions de la variable réelle
Exercice 1
Pour chacune des affirmation suivantes, préciser si elle est vraie ou si elle est fausse puis :
— si elle est vraie, la démontrer ;
— si elle est fausse, donner un contre-exemple.
1. Toute suite réelle convergente est monotone à partir d’un certain rang.
2. Soient f et g deux fonctions définies de R dans R. Dans le plan muni d’un repère
→
− →
−
orthonormé direct (O, i , j ), on considère M (t) le point de coordonnées (f (t), g(t))
et on note Γ la courbe décrite par le point
M (t) lorsque t décrit R.
(
x = f (t)
Ainsi Γ est la courbe paramétrée par
, t variant dans R.
y = g(t)
L’affirmation est la suivante : si les fonctions f et g sont paires, la courbe Γ est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées y 0 Oy.
q
3. La fonction x 7→ x |x| est dérivable sur R.
4. Pour une fonction f continue sur l’intervalle [0; 1], si
fonction nulle sur l’intervalle [0; 1].
R1
0
f (t)dt = 0, alors f est la
Exercice 2
Soit f une fonction dérivable sur [0, +∞[ vérifiant f (0) = 1 et
∀x ∈ [0, +∞[, f (x)f 0 (x) = 1 .
1. a) Vérifier que f ne s’annule pas sur [0, +∞[.
b) On suppose qu’il existe un réel a > 0 tel que f (a) < 0. Montrer que l’équation
f (x) = 0 admet au moins une solution dans [0, a]. Conclusion ?
2. a) Montrer qu’il existe un réel C tel que, pour tout x ≥ 0, f (x)2 = 2x + C.
b) Déterminer l’ensemble de toutes les fonctions satisfaisant les conditions données
pour f .
Exercice 3
Pour tout réel x 6= 0, on pose f (x) =
x
.
−1
1. a) Démontrer que f est continue et dérivable sur ] − ∞, 0[ ∪ ]0, +∞[.
ex
1
b) Montrer que f se prolonge en une fonction continue sur R.
Pour simplifier les notations, on note encore f ce prolongement.
c) Donner f (0). Étudier la dérivabilité de f en 0.
d) Après avoir donné les limites de f en −∞ et +∞, donner son tableau de variations
(on pourra être amené à étudier le signe sur R de h : x 7→ (1 − x)ex − 1).
e) Démontrer que la courbe représentative C de f admet au voisinage de −∞ une
asymptote dont on donnera une équation cartésienne.
f) Tracer la courbe dans un repère orthonormé d’unité égale à 2 cm.
2. a) Démontrer que f a un développement limité d’ordre n, pour tout n ∈ N, au voisinage
de 0.
b) Trouver ce développement limité pour n = 4.
3. a) Démontrer que
1
f
est développable en série entière sur R et donner ce développement.
b) En déduire que f est de classe C ∞ sur R.
c) Calculer f (k) (0) pour 0 ≤ k ≤ 4.
Exercice 4
Le but de ce problème est l’étude de quelques spécificités des fonctions numériques c et s
de la variable réelle x définies sur R respectivement par :
c(x) =
ex + e−x
2
et
s(x) =
ex − e−x
.
2
Les deux parties de ce problème peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre.
Partie I : Majorations, minorations, encadrements
1. Calculer c(0) et s(0) ; donner une valeur approchée de c(1) et de s(1) à 10−2 près.
2. Démontrer que la fonction c est paire et que la fonction s est impaire.
3. a) Justifier que, pour tout réel x, on a c(x)2 − s(x)2 = 1 et c(x) ≥ 1.
b) Vérifier que, pour tout réel x positif, on a : 0 ≤ s(x) ≤ c(x).
4. a) Justifier que les fonctions c et s sont dérivables sur R ; déterminer les fonctions
dérivées correspondantes.
b) Dresser le tableau de variations de chacune des fonctions c et s.
c) Tracer les courbes représentatives des fonctions c et s dans un même repère orthonormal du plan d’unité graphique 1 cm.
5. a) Démontrer que, pour tout réel x positif, on a x ≤ s(x).
b) En déduire les inégalités suivantes, pour tout réel x positif :
x2
1+
≤ c(x)
2
et
2
x3
x+
≤ s(x) .
6
6. a) Démontrer que, pour tout réel x compris entre 0 et 1, on a :
s(x) ≤ 2x
et
c(x) ≤ 1 + x2 .
b) En déduire les inégalités suivantes, pour tout réel x compris entre 0 et 1 :
s(x) ≤ x +
x3
3
et
c(x) ≤ 1 +
x2 x 4
+
.
2
12
c) Justifier que, pour tout réel x compris entre 0 et 1, on a :
x2
0 ≤ c(x) − 1 +
2
!
≤
1
.
12
Qu’en est-il pour s(x) ?
Partie II : Les fonctions c et s et l’hyperbole
On admettra que si une fonction continue sur l’intervalle [1; +∞[ est monotone ou
strictement monotone sur l’intervalle ]1; +∞[, il en est de même sur l’intervalle [1; +∞[.
→
− →
−
Le plan étant muni d’un repère orthonormal (0, i , j ), on considère la courbe H
d’équation x2 −y 2 = 1. On note H+ l’ensemble des points de H admettant des coordonnées
x et y positives.
→
− →
−
1. Justifier que la courbe H+ est la courbe représentative dans
√ le repère (0, i , j ) de la
fonction f qui à tout réel x de l’intervalle [1; +∞[ associe x2 − 1.
2. Démontrer que la droite d’équation y = x est asymptote à la courbe H+ .
3. Démontrer que la courbe H peut être obtenue à partir de la courbe H+ par des symétries que l’on précisera.
→
− →
−
4. Tracer la courbe H dans le repère (0, i , j ).
Un nombre réel positif a étant donné, on cherche, dans la suite de cette partie, à montrer
que les coordonnées du point M de H+ tel que l’aire hachurée représentée ci-dessous soit
égale à 2a sont (c(a), s(a)).
3
5. On note :
• F la primitive de la fonction f : x 7→
nulle en 1 ;
√
x2 − 1 définie sur l’intervalle [1; +∞[ et
• A la fonction qui à tout réel x supérieur ou égal à 1 associe l’aire de la partie
hachurée représentée ci-dessus et correspondant au point M d’abscisse x de la
courbe H+ ;
• g la fonction numérique de la variable réelle x définie sur l’intervalle [1; +∞[ par :
√
x x2 − 1
− F (x) .
g(x) =
2
a) Justifier la relation suivante, pour tout réel x strictement supérieur à 1 : A(x) =
4g(x).
b) Démontrer que la fonction A est strictement croissante sur l’intervalle [1; +∞[.
c) Justifier l’inégalité suivante, pour tout réel x supérieur ou égal à 1 :
g 0 (x) ≥
1
.
2x
d) Déduire de ce qui précède :
• limx→+∞ g(x) = +∞ ;
• quel que soit le réel a positif, il existe un unique réel xa supérieur ou égal à 1
tel que A(xa ) = 2a.
→
− →
−
→
− →
−
→
−
→
−
i + j
i − j
√
√
et J =
.
6. Soient I =
2
2
→
− →
−
Pour tout point M du plan de coordonnées (x, y) dans le repère (O, i , j ), on note
→
− →
−
(X, Y ) ses coordonnées dans le repère (O, I , J ).
→
− →
−
a) Prouver que (O, I , J ) est un repère orthonormal du plan.
b) Exprimer x et y en fonction de X et Y .
→
− →
−
c) En déduire que, dans le repère (O, I , J ), H est la courbe représentative de la
1
fonction h : X 7→ 2X
, définie sur R∗ .
→
− →
−
7. On note A le point de coordonnées (1, 0) dans le repère (O, i , j ).
→
− →
−
a) Quelles sont les coordonnées de A dans le repère (O, I , J ) ?
→
−
b) Tracer la courbe H, le point A, la droite (O, i ) et représenter la partie hachurée
→
− →
−
précédente dans le repère (O, I , J ).
c) Calculer l’aire A(c(a)) en fonction de a.
d) Conclure.
4