Résolution des systèmes de n équations du premier degré à n

LGL Cours de Mathématiques 2004
____________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________
Beran Systèmes d'équations - Méthode des déterminants - 1 -
Résolution des systèmes de 2 équations du premier degré à 2 inconnues
Méthode des déterminants, Notions de l'écriture matricielle
Par combinaison linéaire, nous trouvons les équations suivantes:
=+
=−
5y2x4
3y7x5 38x = 41 et 38y = 13
Monsieur Cramer a constaté que pour chaque système d'équations de ce type, les facteurs de x et de y sont toujours
égaux. Il a donc recherché une méthode pour les calculer indépendamment de x et y. Cette méthode est appelée
méthode des déterminants ou méthode de Cramer.
Reprenons donc cet exemple et considérons uniquement les coefficients. Ces coefficients peuvent être rassemblés
dans un tableau.
Un tel tableau des valeurs s'appelle alors une matrice.
Une matrice est composée de lignes et de colonnes. Si le nombre de lignes est égal au nombre de colonnes de la
matrice, la matrice est appelée matrice carrée. Dans le cas contraire, la matrice est appelée matrice rectangulaire.
A partir d'une matrice carrée on peut calculer une valeur précise, caractéristique à cette matrice, appelée
déterminant de la matrice.
Le déterminant d'une matrice rectangulaire est toujours nul.
Ecriture matricielle: 57
42
−x
y = 3 5
⇔
⋅
=
AX B
avec:
Matrice A = 5-7
42
, Matrice X = x
y et Matrice B = 3 5
La matrice A est une matrice carrée d'ordre 2 (Nombre de lignes = nombre
de colonnes = 2 et
57 1ere ligne
4 2 2me ligne
−←
←
A
≠
0), tandis que les matrices X et B sont des matrices
rectangulaires.
1ere colonne 2me colonne
Le déterminant de la matrice A, noté A , se calcule de la manière suivante:
Dét A A() ( )=== −=⋅−⋅− = + =∆57
42 5 2 4 7 10 28 38
En étudiant de plus près la provenance des nombres 41 et 13, nous constatons que:
41 32 57 32 5 7 3
57 235
4
3
5
=⋅+⋅=⋅−⋅− = −⋅⋅=( ) et 13 = 5 5 - 4
On obtient ces déterminants, appelés respectivement
∆
x et
∆
y, en remplaçant les colonnes respectives de x et de y
dans la matrice A par la colonne des termes constants (matrice B).
Ceci nous mène donc aux équations: ∆
∆
∆
∆
⋅=
⋅
=
xe
t
y
xy

LGL Cours de Mathématiques 2004
____________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________
Beran Systèmes d'équations - Méthode des déterminants - 2 -
Pour trouver une solution unique, il faut que ∆
≠
0:
xety S==⇒=
F
HI K
R
S
TU
V
W
41
38
13
38
41
38
13
38
,
Coordonnées du point d'intersection des 2 droites
Retenons: Méthode des déterminants
Soit le système de 2 équations du premier degré à 2 inconnues
ax a y b
axa y b
aa
aa
x
y
b
b
11 12 1
21 22 2
11 12
21 22
1
2
,,
,,
,,
,,
+=
+=
R
S
T→
L
N
MO
Q
P⋅=
L
N
MO
Q
P
Les déterminants du système sont donnés par:
∆∆
∆
=aa
aa aa a a ba ba ba b a
et ab
ab
aba b
x
y
11 12
21 22 11 22 21 12
112
222 122 212
11 1
21 2 11 2 21 1
,,
,, ,, ,,
,
,,,
,
,,,
,=⋅ −⋅ = =⋅ −⋅
==⋅−⋅
Par la méthode de Cramer, on trouve les 2 équations:
∆∆
∆
∆
⋅
=
⋅
=
xe
t
y
xy
*
) Si le déterminant , le système admet une solution unique:∆≠0
xety S
xyxy
==→=
F
H
GI
K
JS
TV W
∆
∆
∆
∆
∆
∆
R U
∆
∆
,
*) Si le déterminant = 0, le système n'admet pas de solution unique et il faut ∆
distinguer deux cas:
100),Si ou
xy
∆
∆≠
≠
→∅on obtient des équations impossibles S =
200),Si e
t
xy
∆
∆== →on obtient des équations évidentes S = IR
Exercice 1: Résoudre les systèmes de 2 équations du premier degré à 2 inconnues à l'aide de la
méthode des déterminants (= méthode de Cramer)
1) 2)
53
84
xy
xy
−=
−=
R
S
T3
52
52 3 23 5
42325
()()
()( )
xy xy
xy xy
−
−
+
=
++ −=
R
T
S
3
23 4
356
2
3
1
4
1
12
4
23
3
6
234
524
78
2
))
xy
xy
xy xy
xy
+=−
+=−
R
S
|
|
T
|
|
−
−
−
=+
=−−
R
S
|
|
T
|
|
5
1
34
340
6252
30
25 3 1
))
,
yx
xy
xy
yx
=+
−−=
R
S
|
|
T
|
|
−+=
−=−
R
S
|
T
|