Résolution des systèmes de n équations du premier degré à n

LGL
Cours de Mathématiques
2004
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Résolution des systèmes de 2 équations du premier degré à 2 inconnues
Méthode des déterminants, Notions de l'écriture matricielle
5x − 7 y = 3 Par combinaison linéaire, nous trouvons les équations suivantes:

38x = 41 et 38y = 13
4 x + 2 y = 5
Monsieur Cramer a constaté que pour chaque système d'équations de ce type, les facteurs de x et de y sont toujours
égaux. Il a donc recherché une méthode pour les calculer indépendamment de x et y. Cette méthode est appelée
méthode des déterminants ou méthode de Cramer.
Reprenons donc cet exemple et considérons uniquement les coefficients. Ces coefficients peuvent être rassemblés
dans un tableau.
Un tel tableau des valeurs s'appelle alors une matrice.
Une matrice est composée de lignes et de colonnes. Si le nombre de lignes est égal au nombre de colonnes de la
matrice, la matrice est appelée matrice carrée. Dans le cas contraire, la matrice est appelée matrice rectangulaire.
A partir d'une matrice carrée on peut calculer une valeur précise, caractéristique à cette matrice, appelée
déterminant de la matrice.
Le déterminant d'une matrice rectangulaire est toujours nul.
3
5 −7 x
Ecriture matricielle:
⇔
A⋅X = B
4 2 y = 5
x
avec: Matrice A = 45 -7
2 , Matrice X = y et Matrice B =
 5 −7  ←1ere ligne
 4 2  ← 2me ligne


1ere colonne
3
5
La matrice A est une matrice carrée d'ordre 2 (Nombre de lignes = nombre
de colonnes = 2 et A ≠ 0), tandis que les matrices X et B sont des matrices
rectangulaires.
2me colonne
Le déterminant de la matrice A, noté A , se calcule de la manière suivante:
Dét( A ) = A = ∆ = 45 −27 = 5 ⋅ 2 − 4 ⋅ ( −7) = 10 + 28 = 38
En étudiant de plus près la provenance des nombres 41 et 13, nous constatons que:
41 = 3 ⋅ 2 + 5 ⋅ 7 = 3 ⋅ 2 − 5 ⋅ ( −7) = 35 −27
13 = 5 ⋅ 5 - 4 ⋅ 3 = 45 35
et
On obtient ces déterminants, appelés respectivement ∆ x et ∆ y, en remplaçant les colonnes respectives de x et de y
dans la matrice A par la colonne des termes constants (matrice B).
Ceci nous mène donc aux équations:
∆ ⋅ x = ∆x
et
∆ ⋅ y = ∆y
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Beran
Systèmes d'équations - Méthode des déterminants
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Pour trouver une solution unique, il faut que ∆ ≠ 0 :
41
13
x=
et
y=
⇒
38
38
Coordonnées du point d'intersection des 2 droites
Retenons:
S=
RSF 41 , 13 I UV
TH 38 38 K W
Méthode des déterminants
Soit le système de 2 équations du premier degré à 2 inconnues
a1,1x + a1,2 y = b1
a1,1 a1,2 x
b1
→
a 2,1 a 2,2 ⋅ y = b2
a 2,1x + a 2,2 y = b2
RS
T
OP
Q
LM
N
Les déterminants du système sont donnés par:
a
a
∆ = a 1,1 a 1,2 = a1,1 ⋅ a 2,2 − a 2,1 ⋅ a1,2
,
2,1
2, 2
LM OP
N Q
b
∆ x = b1
2
a1,2
a 2,2 = b1 ⋅ a 2,2 − b2 ⋅ a1,2
a
b
et ∆ y = a 1,1 b1 = a1,1 ⋅ b2 − a 2,1 ⋅ b1
2,1
2
Par la méthode de Cramer, on trouve les 2 équations:
∆ ⋅ x = ∆x
*)
*)
1)
3)
5)
∆ ⋅ y = ∆y
Si le déterminant ∆ ≠ 0, le système admet une solution unique:
∆y
∆
∆x ∆y
,
x = x et y =
→
S=
∆
∆
∆ ∆
Si le déterminant ∆ = 0, le système n'admet pas de solution unique et il faut
distinguer deux cas:
RSFG
TH
1)
2)
Exercice 1:
et
IJ UV
KW
Si ∆ x ≠ 0 ou ∆ y ≠ 0, on obtient des équations impossibles → S = ∅
Si ∆ x = 0 et ∆ y = 0, on obtient des équations évidentes → S = IR
Résoudre les systèmes de 2 équations du premier degré à 2 inconnues à l'aide de la
méthode des déterminants (= méthode de Cramer)
RS5x − 3y = 3
T8x − 4 y = 5
R| 23x + 4 = 5y − 6
S| 2 3 1 1
|T 3 x + 4 = y − 12
R|y = 1 x + 4
S| x 3
|T 3 − y − 4 = 0
2)
4)
6)
RS5(2 x − 3y) − 2(3x + y) = 5
T4( x + 2 y) + 3(2 x − 5y) = 2
R| 2 x − 3 − y − 6 = 3x + 4 y
S| 3 72y − 8
|T5x = 24 − 2
R|2 x − 5y + 2 = 0
3
S|
2
,
5
y
3
x = −1
−
T
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