Tirs de fusées : étude physique, mise en équation et résultats

Fus´ees `a eau
August 10, 2012
1´ Etude physique du syst`eme
1.1 Calcul de la pouss´ee
On ´etudie dans un premier temps la pouss´ee de la fus´ee en d´ecomposant la quantit´e de
mouvement du syst`eme fus´ee + jet d’eau.
~p Quantit´e de mouvement du syst`eme
MMasse de la fus´ee (variable)
~v Vitesse de la fus´ee par rapport au sol
VeVolume d’eau contenue dans la fus´ee
Vi=Ve(0) Volume d’eau initialement contenue dans la fus´ee
~u Vitesse d’´ejection de l’eau relative `a la fus´ee. La vitesse par rap-
port au sol est ~v +~u
Nous avons, pour quantit´e de mouvement du syst`eme :
~p =M~v +ρe(Vi−Ve)(~v +~u) (1.1)
En d´erivant par rapport au temps, on obtient, en faisant l’hypoth`ese d’une vitesse
d’´ejection constante :
d~p
dt =Md~v dt +dM dt ~v −ρe
dVe
dt (~v +~u) (1.2)
Le taux de variation de la masse de la bouteille est dM/dt. Or, dM/dt =ρedVe/dt
car la perte de masse correspond `a l’eau perdue par la fus´ee. D’o`u, en r´earrangeant les
termes :
Md~v
dt =d~p dt −dM dt ~v +dM dt (~v +~u) (1.3)
Soit en simplifiant :
Md~v
dt =d~p dt +dM dt ~u (1.4)
La pouss´ee est le terme ~udM/dt, o`u encore la perte de masse fois la vitesse d’´ejection.
On remarque que si d~p/dt = 0, et en admettant que le syst`eme n’ait qu’un degr´e de
libert´e, on peut ´ecrire :
Mdv =udM (1.5)
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Ce qui par int´egration nous permet de retrouver l’´equation de Tsiolkovski :
v(t) = uln M0
M(t)+v0(1.6)
Dans (1.4), il nous reste `a d´eterminer la pouss´ee. Pour cela nous allons d´efinir la
vitesse d’´ejection relative ~u. Nous allons pour cela introduire de nouvelles variables.
PPression int´erieure dans le r´eservoir
Pext Pression ext´erieure (1 atm)
VVolume du r´eservoir (constant)
Vair Volume d’air contenu dans la fus´ee
γIndice adiabatique de l’air (≈1,4)
Le travail ´el´ementaire de la force due `a la diff´erence de pression est ´egale `a l’´energie
cin´etique ´el´ementaire de l’eau ´eject´ee.
δW = (P−Pext)dVe=1
2ρedVe~u2(1.7)
Ce qui nous donne u(la norme de ~u), car les termes dVese simplifient :
u=s2(P−Pext)
ρe
(1.8)
Pour d´eterminer compl`etement le vecteur ~u, il nous faut supposer qu’il est de mˆeme
direction mais de sens oppos´e `a ~v. Si bvest le vecteur unitaire directeur de ~v, alors :
~u =−s2(P−Pext)
ρebv(1.9)
Nous devons maintenant d´eterminer le taux d’´ejection d’eau (masse) au cours du
temps. C’est, avec rle rayon du disque d’´ejection :
dM
dt =−uπr2ρe(1.10)
Il apparait d`es lors que :
Md~v
dt =d~p dt −2(P−Pext)πr2~v (1.11)
Il reste `a d´eterminer la pression Pdans la bouteille `a chaque instant, avec une pression
initiale P0. On rappelle que la d´etente est adiabatique, c’est-`a-dire que P V γ
air =cste.
D`es lors :
P(t) = P0(V−Vi
V−Ve(t))γ(1.12)
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Nous avons donc d´efini toutes les variables. Le syst`eme d’´equation `a r´esoudre pendant
la phase d’´ejection de l’eau est alors :
Mdv
dt =dp dt + 2(P−Pext)πr2
dVe
dt =−r2(P−Pext) ρe
πr2
M(Ve) = Mvide +ρeVe
P(Ve) = P0(V−Vi
V−Ve
)γ
(1.13)
1.2 Prise en compte de l’air
On admet que pour l’air, la force de pouss´ee est deux fois moindre :
Md~v
dt =d~p dt + (P−Pext)πr2(1.14)
Il reste `a calculer P(t).
TTemp´erature `a l’ext´erieur et `a l’int´erieur du r´eservoir.
NNombre de particules contenues dans la bouteille.
w∗Vitesse quadratique moyenne des particules d’air
mMasse moyenne d’une particule, telle que m=Mair/Na, o`u Mair
est la masse molaire de l’air.
kBConstante de Boltzmann
αNombre moyen de degr´es de libert´es des mol´ecules contenues dans
l’air.
AAire du disque d’´ejection (A=πr2)
1.2.1 Premi`ere approche : fuite `a T constant
Nous d´erivons Pselon la loi des gaz parfaits, `a temp´erature Tet volume Vconstants :
dP
dt =dN dt
kBT
V(1.15)
Il reste `a d´eterminer dN/dt, c’est-`a-dire le nombre de particules qui sortent `a chaque
instant. L’air est un m´elange, mais on consid`ere que la masse moyenne des particules
est met qu’elles sont essentiellement diatomiques, d’o`u α= 5. w∗est la vitesse quadra-
tique moyenne des mol´ecules, soit w∗=phw2i. Il ne faut pas n´egliger les particules
qui rentrent ´egalement. Pour cela on d´etermine le nombre de particules traversant in-
stantan´ement dans le sens de la sortie et dans le sens de l’entr´ee. Le facteur 1/2 vient
du fait qu’en moyenne les particules se d´eplacent autant dans un sens que dans l’autre
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dans la bouteille. Ici, dest la densit´e volumique de particules dans l’air `a l’ext´erieur du
r´eservoir.
dN
dt =πr2 2w∗(d−N V) (1.16)
Mais nous avons :
hw2i=αkBT
m(1.17)
d’o`u :
dN
dt =A 2rαkBT m(d−N V) (1.18)
Ce qui donne pour N(t) :
N(t)=(N0−d.V )e
−AsαkBT
mt/2V+d.V (1.19)
Nous obtenons donc P(t) :
P(t) = N(t)
VkBT(1.20)
Pr´ecisons que Pext =d.kBTd’o`u :
P(t) = (P0−Pext)e
−AsαkBT
mt/2V+Pext (1.21)
Durant l’´etape d’´ejection de l’air, le syst`eme `a r´esoudre est alors :
Md~v
dt =d~p dt + (P−Pext)πr2
P(t) = (P0−Pext)e
−AsαkBT
mt/2V+Pext
(1.22)
En calculant la constante de temps de l’´ejection de l’air, on voit que cette ´etude
pr´edit un ph´enom`ene rapide :
τ=2V
ArαkBT
m
∼10 ms, dans les conditions ´etudi´ees (1.23)
L’inconv´enient de cette m´ethode est que l’hypoth`ese de d´epart (T=cste) est tr`es
mauvaise.
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1.3 Autres forces
1.3.1 Pesanteur
Parmi les forces autres que la pouss´ee, la fus´ee est soumise `a son poids, d’intensit´e Mg,
dirig´e selon l’axe vertical port´e par ~ey.
1.3.2 Train´ee
Les frottements ne sont pas n´egligeables si l’on cherche `a pr´edire de fa¸con assez pr´ecise
la trajectoire de la fus´ee. Il faut alors prendre en compte la train´ee (Sest la section
faisant face au fluide, et Cxle coefficient de train´ee) :
~
F=−1
2SCxρairv~v (1.24)
1.3.3 Expression des forces
Finalement la prise en compte des forces ext´erieures n´ecessite de prendre `a chaque instant
d~p/dt tel que :
d~p
dt =−Mg ~ey−1 2SCxρairv~v (1.25)
1.4 Conclusions
Le mouvement s’effectue en trois phases. D’abord, l’´ejection de l’eau :
Mdv
dt =dp dt + 2(P−Pext)πr2
dVe
dt =−r2(P−Pext) ρe
πr2
M(Ve) = Mvide +ρeVe
P(Ve) = P0(V−Vi
V−Ve
)γ
(1.26)
Puis celle de l’air :
Md~v
dt =d~p dt + (P−Pext)πr2
P(t) = (P0−Pext)e
−AsαkBT
mt/2V+Pext
(1.27)
Et enfin, en vol ”libre” :
Md~v
dt =d~p dt (1.28)
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