Les matrices - Page personnelle de Maxime Bailleul

ECE 1
TP 3 : Les matrices
I Définition d’une matrice
Pour définir une matrice, on écrit ses coefficients entre crochets en séparant les coefficients d’une même ligne par
des virgules (ou des espaces) et on change de ligne en utilisant un point-virgule.
Exemples.
.L’instruction A = [1, 2, 3] crée une variable Aqui a pour valeur une matrice ligne (ou vecteur ligne) de
taille 1×3.
.L’instruction B = [1; 2; 3] crée une variable Bqui a pour valeur une matrice colonne (ou vecteur colonne)
de taille 3×1.
.L’instruction C = [1, -2, 3; -4, -5, 6] crée une variable Cqui a pour valeur une matrice de taille 2×3.
Exercice 1. Créer la matrice Adéfinie par A=2 1
5 4
On accède aux éléments de la matrice par les instructions suivantes : si Mest une variable qui contient une matrice,
alors :
•L’instruction M(i,j) renvoie le coefficient de la i`eme ligne et la j`eme colonne de la matrice.
•L’instruction M(i,:) renvoie la i`eme ligne de la matrice. On dit que l’on extrait la i`eme ligne de M.
•L’instruction M(:,j) renvoie la j`eme colonne de la matrice. On dit que l’on extrait la j`eme colonne de M.
Remarque. Si uest une variable qui contient une matrice ligne ou colonne alors l’instruction u(k) renvoie le
k`eme coefficient du vecteur (pas besoin de spécifier la colonne ou la ligne).
Exercice 2.
1. Définir la matrice suivante dans Scilab : A=
123
456
789
2. Créer une variable xet lui affecter la valeur du coefficient (2,2) de la matrice A.
3. Créer une variable Col et lui affecter la valeur de la dernière colonne de la matrice A.
4. Créer une variable Lig et lui affecter la valeur de la première ligne de la matrice A.
Certaines commandes prédéfinies permettent de définir certaines matrices particulières :
•L’instruction eye(n,n) renvoie la matrice identité de taille n(attention à bien mettre deux paramètres).
•L’instruction zeros(n,p) renvoie la matrice nulle de taille n×p.
•L’instruction linspace(a,b,n) renvoie un vecteur ligne de longueur ndont les coefficients sont également
espacés et vont de aàb.
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•L’instruction a:b:c renvoie un vecteur ligne dont le premier coefficient est aavec une progression arithmétique
de raison bjusqu’à atteindre c. Si bn’est pas précisé, la progression des coefficients est de 1 en 1 (l’instruction
est alors a:c). bpeut aussi être négatif.
Exercice 3. Donner les commandes permettant de créer la matrice identité I3et la matrice nulle 03,2.
Exercice 4.
1. Créer un vecteur ligne contenant les entiers de 1 à 20 en utilisant une instruction de type a:b:c.
2. Même question en utilisant linspace.
3. Créer un vecteur ligne contenant les entier pairs de 4 à 28.
II Modifier une matrice ou un vecteur
Soient Mune variable qui contient une matrice de Mn,p(R)et uune variable qui contient un matrice ligne ou
colonne (un vecteur). On peut modifier ces matrices par les commandes suivantes :
•L’instruction u(k) = x remplace le k`eme coefficient de upar x(xdoit donc avoir pour valeur un réel).
•L’instruction M(i,j) = x remplace le coefficient de la i`eme ligne et j`eme colonne de Mpar x(xdoit donc avoir
pour valeur un réel).
•L’instruction M(i,:) = L remplace la i`eme ligne de Mpar la ligne L(Ldoit donc avoir pour valeur une matrice
ligne de taille p).
•L’instruction M(:,j) = C remplace la j`eme colonne de Mpar la colonne C(Cdoit donc avoir pour valeur une
matrice colonne de taille n).
Exercice 5.
1. Affecter à une variable Ila matrice identité de taille 3.
2. Modifier la valeur de la variable Ipour que son coefficient (1,2) soit égal à 2.
3. Créer une variable Colonne qui contient le vecteur colonne 
2
5
3
·
4. Copier la matrice Idans une variable Jpuis remplacer la troisième colonne de Jpar la colonne Colonne.
5. Afficher Iet J.
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III Opérations sur les matrices
III. 1 Opérations usuelles
Scilab permet d’effectuer les opérations usuelles sur les matrices :
?[addition] : +
?[soustraction] : -
?[multiplication] (d’une matrice par un réel ou de deux matrices) : *
ainsi que les principales fonctions matricielles : si Aest une matrice et kun entier naturel, on a les commandes
suivantes :
?[transposée de A] : A’
?[Apuissance k] : Aˆ k
?[inverse de A] : inv(A) (renvoie une erreur si An’est pas inversible)
Exercice 6. Soient E, F les matrices définies par
E=2 0
4−2et F=−1 3 0−2
Calculer E+F,EF ,la transposée de Eet l’inverse de Esi celle-ci existe.
Exercice 7. Créer un vecteur colonne xdes entiers de 1 à 30.
Exercice 8. Soit Ala matrice définie par
A=
−2 1 1
6−2−4
−4 1 3
Montrer que A3= 6A−A2(on pourra utiliser le test ==). Montrer par l’absurde que An’est pas inversible.
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Exercice 9. Soit Ala matrice définie par A=
111
111
111
·Conjecturer l’expression des premières puissances de
A, en déduire une conjecture des puissances de Apuis montrer cette conjecture.
Exercice 10. Soit Cla matrice définie par C=5 2
2 3·
Affecter à une variable Dl’inverse de C. Calculer ensuite CD. Que peut-on dire ?
III. 2 Opérations et fonctions coefficient par coefficient
Soient A= (ai,j )et B= (bi,j )deux matrices de même taille et kun entier naturel.
?L’instruction A.*B, renvoie la matrice (ai,j bi,j ).
?L’instruction A./B, renvoie la matrice (ai,j /bi,j ).
?L’instruction A.ˆ k, renvoie la matrice (ai,j )k.
Attention à ne pas confondre les opérations *et .* ou ˆet .ˆ
De même si fest une fonction usuelle (connue de Scilab) et Aest une matrice, l’instruction f(A) renvoie la matrice
dont tous les coefficients sont les images par fdes coefficients de A.
Exercice 11. Soient E, F les matrices définies par
E=1 2
0 1et F=−1 5 1 2
Calculer E.*F et donner la matrice dont les coefficients sont égaux aux valeurs absolues des coefficients de F.
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IV Quelques exercices supplémentaires
•La commande rand(n,m) permet de créer une matrice de taille n×mdont les coefficients sont des nombres
« aléatoires » compris entre 0et 1.
•La commande find permet de trouver dans un vecteur (ou dans une matrice), les coefficients vérifiant une
condition donnée.
•l’instruction size(A) renvoie un vecteur ligne à deux coefficients dont le premier est le nombre de lignes et
le second le nombre de colonnes de A.
Exercice 12. Appliquer la fonction size à la matrice Adéfinie par A=1 2 3
−105·
Utiliser l’aide de Scilab et donner les instructions donnant uniquement le nombre de lignes et le nombre de colonnes
de la matrice A.
Exercice 13. A quoi sert la série d’instruction suivante ?
x=rand(1,10000);
y=find(x<0.5);
n=size(y,’c’);
p=n/10000
Le résultat vous semble t-il cohérent ?
Exercice 14. Soient A=6,25 −9
4,5−6,5et P=3 4 2 3
1. A l’aide de Scilab, déterminer l’inverse de P.
2. Calculer la matrice Ddéfinie par D=P−1AP .
3. Déterminer mathématiquement l’expression des puissances de D.
4. En déduire l’expression des puissances de A.
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