lois de probabilité à densité - XMaths

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LOIS DE PROBABILITÉ À DENSITÉ
Remarque
Une expérience aléatoire consiste à choisir au hasard un nombre réel X dans l'intervalle I = ]0 ; 10].
L'univers est l'intervalle I. C'est un univers infini. On ne peut pas utiliser les probabilités vues jusqu'à présent
et qui s'appliquaient à un univers fini. En effet, puisqu'il y a une infinité de nombres dans l'intervalle I, la
probabilité de chacun de ces nombres est nulle et les raisonnements que l'on faisait en additionnant des
probabilités d'éventualités ne sont plus applicables. Il faudra dans ce cas raisonner sur des probabilités
d'intervalles.
Exercice 01 (voir réponses et correction)
On considère l'intervalle I = ]0 ; 10] et on s'intéresse à l'expérience consistant à choisir de façon aléatoire un
nombre réel dans cet intervalle.
1°) On coupe l'intervalle I en 10 intervalles de même amplitude :
]0 ; 1] ; ]1 ; 2] ; ]2 ; 3] ; ]3 ; 4] ; ]4 ; 5] ; ]5 ; 6] ; ]6 ; 7] ; ]7 ; 8] ; ]8 ; 9] ; ]9 ; 10]
On considère l'univers Ω que l'on obtient en prenant la borne supérieure de chaque intervalle et on choisit
la probabilité uniforme sur Ω.
On a Ω = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 } et chaque éventualité de Ω a une probabilité de 1
10 .
On choisit de façon aléatoire un nombre réel X dans Ω.
Justifier que la probabilité de l'événement « X est inférieur ou égal à π », notée p(X £ π), est égale à 3
10 .
2°) On coupe l'intervalle I en 100 intervalles de même amplitude :
]0 ; 0,1] ; ]0,1 ; 0,2] ; ]0,2 ; 0,3] ; …… ; ]9,8 ; 9,9] ; ]9,9 ; 10]
On considère l'univers Ω = { 0,1 ; 0,2 ; 0,3 ; … ; 9,8 ; 9,9 ; 10 } et la probabilité uniforme sur Ω.
On choisit de façon aléatoire un nombre réel X dans Ω. Déterminer p(X £ π).
3°) Même question que précédemment en coupant l'intervalle I en 1 000 intervalles de même amplitude, puis
en 10 000 intervalles de même amplitude. (On ne demande pas de justification)
4°) Si on choisit de façon aléatoire un nombre réel X dans l'intervalle I, conjecturer la valeur de p(X £ π).
Conjecturer les valeurs de p(X £ 4) ; p(X > 1) ; p(1 < X £ 4) ; p(u < X £ v) avec u ∈ I ; v ∈ I et u < v .
5°) On considère la fonction f définie sur l'intervalle I par f(x) = 1
10 .
a) Tracer la courbe ( C ) représentant la fonction f.
b) Déterminer l'aire A
1
de la partie du plan comprise entre l'axe (Ox), la courbe ( C ) et les droites
d'équations x = 1 et x = 4.
c) Déterminer l'aire A
2
de la partie du plan comprise entre l'axe (Ox), la courbe ( C ) et les droites
d'équations x = u et x = v ; où u et v sont deux réels de I tels que u £ v .
Exercice 02 (voir réponses et correction)
1°) Créer un algorithme permettant d'obtenir de façon aléatoire un nombre réel X compris entre 0 et 10.
2°) Avec une boucle répétant 100 000 fois l'action précédente, évaluer la fréquence avec laquelle on a X £ π .
3°) Modifier l'algorithme de façon à évaluer, en fonction de deux réels u et v compris entre 0 et 10, la
fréquence avec laquelle on a : u < X £ v .
4°) Les résultats trouvés sont-ils en accord avec les résultats obtenus dans l'exercice 1 ?
Remarques
●
Un segment d'une certaine longueur est constitué d'une
infinité de points ayant chacun une longueur nulle.
●
L'aire d'une partie du plan peut-être calculée en utilisant une
intégrale. Pourtant cette partie du plan est constituée d'une
infinité de segments ayant chacun une aire nulle.
●
De la même façon on peut définir une loi de probabilité sur
un intervalle [a ; b], en utilisant une intégrale.
Et ceci même si chaque nombre de [a ; b] a une probabilité
nulle. La fonction que l'on intègrera sera appelée fonction de
densité de la loi probabilité.

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Définition
Soit X une variable aléatoire prenant ses valeurs dans un intervalle [a ; b].
On dit que X suit la loi uniforme sur [a ; b] lorsque pour tout u ∈ [a ; b] et tout v ∈ [a ; b] tels que u £ v
on a p(u £ X £ v) =
⌡
⌠
u
v
1
b - a dx
c'est-à-dire que p(u £ X £ v) est égale à l'aire, en unités d'aire,
de l'ensemble des points M(x ; y) du plan tels que u £ x £ v
0 £ y £ f(x)
où la fonction f est définie sur [a ; b] par f(x) = 1
b - a
Cette fonction f définie par f(x) = 1
b - a est appelée fonction de densité de la loi uniforme sur [a ; b].
Remarques
●
Dans le cas d'une loi uniforme, l'ensemble des points M(x ; y) du plan tels que u £ x £ v
0 £ y £ f(x) est un
rectangle et on a de façon évidente p(u £ X £ v) = (v - u) x 1
b - a = v - u b - a .
●
La valeur 1
b - a a été choisie de telle façon que p(a £ X £ b) = 1 .
●
On pourra utiliser la notation p(u £ X £ v) = p([u ; v]).
●
On a p(X = u) = 0 et p(X = v) = 0, donc p([u ; v]) = p(]u ; v]) = p([u ; v[) = p(]u ; v[) .
●
Il est parfois utile que la fonction de densité de la loi uniforme sur [a ; b] soit définie sur IR.
Dans ce cas, on prendra f(x) = 1
b - a pour x ∈ [a ; b] et f(x) = 0 pour x ∉ [a ; b].
Exercice 03 (voir réponses et correction)
Une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur [-1 ; 1].
Déterminer : p(X £ 0,3) ; p - 1
2 £ X £ 1 2 ; p(X > 0,3) ; p
X ∈ 1
4 ; 3 4
[]
; p X ∉
1
6 ; 1 2
Exercice 04 (voir réponses et correction)
On choisit un nombre réel α au hasard dans [0 ; 1].
Quelle est la probabilité que, dans l'écriture décimale de α, le premier nombre après la virgule soit un 3 ?
Quelle est la probabilité que, dans l'écriture décimale de α, le premier nombre après la virgule soit pair ?
Exercice 05 (voir réponses et correction)
On choisit un nombre réel α au hasard dans [0 ; 1].
Sachant que ce nombre α est supérieur à 0,6 quelle est la probabilité pour qu'il soit inférieur à 0,95 ?
Sachant que ce nombre α est supérieur à 0,963 quelle est la probabilité pour que dans l'écriture décimale
de α, le deuxième chiffre après la virgule soit multiple de 3 ?
Exercice 06 (voir réponses et correction)
On considère l'intervalle I = ]0 ; 10].
1°) On coupe l'intervalle I en 10 intervalles de même amplitude :
]0 ; 1] ; ]1 ; 2] ; ]2 ; 3] ; ]3 ; 4] ; ]4 ; 5] ; ]5 ; 6] ; ]6 ; 7] ; ]7 ; 8] ; ]8 ; 9] ; ]9 ; 10]
On considère l'univers Ω = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 } et la probabilité uniforme sur Ω.
On choisit de façon aléatoire un nombre X dans Ω.
Déterminer l'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X.
2°) On coupe l'intervalle I en 100 intervalles de même amplitude :
]0 ; 0,1] ; ]0,1 ; 0,2] ; ]0,2 ; 0,3] ; …… ; ]9,8 ; 9,9] ; ]9,9 ; 10]
On considère l'univers Ω = { 0,1 ; 0,2 ; 0,3 ; … ; 9,8 ; 9,9 ; 10 } et la probabilité uniforme sur Ω.
On choisit de façon aléatoire un nombre X dans Ω.
Déterminer l'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X.
3°) Même question que précédemment en coupant l'intervalle I en 1 000 intervalles de même amplitude, puis
en 10 000 intervalles de même amplitude. (On ne demande pas de justification)
4°) Si on choisit de façon aléatoire un nombre X dans l'intervalle I, conjecturer la valeur de E(X).
5°) On considère la fonction f définie sur l'intervalle I par f(x) = 1
10 . Calculer ⌠
⌡
0
10
x f(x) dx .
1
b - a
b u
v
a
M

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Définition
Soit X une variable aléatoire prenant ses valeurs dans un intervalle [a ; b].
Soit f une fonction définie, positive et continue sur [a ; b] telle que ⌠
⌡
a
b
f(x) dx = 1 .
On dit que X suit une loi de fonction de densité f sur [a ; b] lorsque pour tout u ∈ [a ; b] et tout v ∈ [a ; b]
tels que u £ v on a p(u £ X £ v) = ⌠
⌡
u
v
f(x) dx
c'est-à-dire que p(u £ X £ v) est égale à l'aire, en unités d'aire,
de l'ensemble des points M(x ; y) du plan tels que u £ x £ v
0 £ y £ f(x)
On appelle espérance mathématique de la variable aléatoire X
le nombre réel E(X) = ⌠
⌡
a
b
x x f(x) dx
Remarques
●
On a p(X = u) = 0 et p(X = v) = 0, donc p([u ; v]) = p(]u ; v]) = p([u ; v[) = p(]u ; v[) .
●
Il est parfois utile que la fonction de densité soit définie sur IR.
Dans ce cas, on prendra f(x) = 0 pour x ∉ [a ; b].
Propriété (voir démonstration 01)
Si X suit la loi uniforme sur [a ; b] alors son espérance mathématique est E(X) = a + b
2 .
Exercice 07 (voir réponses et correction)
On veut modéliser le choix d'un nombre réel dans [0 ; 1] par une loi (non uniforme) ayant pour densité la
fonction f définie sur [0 ; 1] par f(t) = λt où λ est un réel fixé.
1°) Justifier que ceci n'est possible qu'avec un seul réel λ que l'on déterminera.
2°) Donner la probabilité que le nombre choisi soit dans l'intervalle 0 ; 1
2.
3°) Donner la probabilité que le nombre choisi soit supérieur ou égal à 0,85.
Exercice 08 (voir réponses et correction)
Une variable aléatoire X prend ses valeurs dans [1 ; 4].
On veut modéliser la situation en utilisant une loi (non uniforme) ayant pour densité la fonction f définie
sur [1 ; 4] par f(x) = λx
2
où λ est un réel fixé.
1°) Justifier que ceci n'est possible qu'avec un seul réel λ que l'on déterminera.
2°) Déterminer les probabilité suivantes : p(2 < X < 3) ; p(X < 2) ; p(X > 3,95).
3°) Calculer l'espérance mathématique de X et en donner une valeur approchée à 10
-3
près.
Remarque
Si une variable aléatoire prend ses valeurs dans un intervalle non borné, par exemple [0 ; +∞[, on ne peut
pas utiliser une loi uniforme, mais on pourra néanmoins utiliser une loi à densité.
Exercice 09 (voir réponses et correction)
On considère la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par f(t) = λ e
kt
; k et λ étant deux réels non nuls.
1°) Soit b un réel positif. Calculer ⌠
⌡
0
b
f(t) dt .
2°) a) Démontrer que si k > 0 la limite de ⌠
⌡
0
b
f(t) dt lorsque b tend vers +∞ est infinie.
b) Si k < 0, déterminer, en fonction de k et λ, la limite de ⌠
⌡
0
b
f(t) dt lorsque b tend vers +∞.
Déterminer k en fonction de λ pour que cette limite soit égale à 1.
Donner alors l'expression de f(t) en fonction de t et λ et vérifier que f est positive.
b
u
v a
M

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Remarque
La fonction définie sur [0 ; +∞[ par f(t) = λ e
-λt
(avec λ > 0) est
une fonction positive, strictement décroissante, telle que
t→+∞
lim f(t) = 0.
Sa représentation graphique a l'allure ci-contre :
On a
b→+∞
lim ⌠
⌡
0
b
f(t) dt = 1 .
Définition
Soit X une variable aléatoire prenant ses valeurs dans l'intervalle [0 ; +∞[.
On dit que X suit une loi exponentielle de paramètre λ (λ > 0)
lorsque pour tout u ∈ [0 ; +∞[ et tout v ∈ [0 ; +∞[ tels que u £ v
on a p(u £ X £ v) = ⌠
⌡
u
v
λ e
-λt
dt
c'est-à-dire que p(u £ X £ v) est égale à l'aire, en unités d'aire,
de l'ensemble des points M(x ; y) du plan tels que u £ x £ v
0 £ y £ f(x)
La fonction f définie sur [0 ; +∞[ par f(t) = λ e
-λt
est appelée
fonction de densité de la loi exponentielle de paramètre λ.
Remarque
p([u ; v]) = ⌠
⌡
u
v
λ e
-λt
dt = 
 - e
-λt
v
u
= e
-λu
- e
-λv
.
Exercice 10 (voir réponses et correction)
Une variable aléatoire X prenant ses valeurs dans [0 ; +∞[ suit une loi exponentielle de paramètre λ = 0,1 .
Calculer p(1 £ X £ 2) ; p(X £ 5) ; p(X > 5) ; p(X ³ 10).
On donnera les valeurs exactes puis des valeurs approchées à 10
-3
près.
Exercice 11 (voir réponses et correction)
On considère sur [0 ; +∞[ la loi exponentielle de paramètre λ (λ > 0).
Pour t ∈ [0 ; +∞[ justifier que p([t ; +∞[) = 1 - p([0 ; t]) .
En déduire, en fonction de t, la valeur de p([t ; +∞[).
Soit s un réel positif. Calculer la probabilité conditionnelle p
[t ; +∞[
([t+s ; +∞[).
Vérifier que cette probabilité ne dépend pas de t et qu'elle est égale à p([s ; +∞[).
Justifier que p
[t ; +∞[
([t ; t+s]) ne dépend pas de t et qu'elle est égale à p([0 ; s]).
Propriété (voir démonstration 02)
Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ (λ > 0).
Soient s et t deux réels positifs. On a p
(X ³ t)
(X ³ t+s) = p(X ³ s).
Ce que l'on peut aussi écrire p
[t ; +∞[
([t+s ; +∞[) = p([s ; +∞[).
Remarque
Les lois exponentielles sont utilisées pour des phénomènes de durée de vie sans usure ou sans
vieillissement.
Par exemple lorsqu'on considère un composant électronique très fiable comme une DEL (diode
électroluminescente), on peut considérer que ce composant ne s'use pas. Sa durée de vie à un moment
donné est toujours la même et ne dépend pas du temps pendant lequel il a déjà fonctionné. Sa "mort" n'est
pas due à l'usure mais à un événement autre (chute de l'appareil, surtension…).
Si on note X la variable aléatoire correspondant à la durée de vie du composant électronique,
p
(X ³ t)
(X ³ t+s) est la probabilité que la durée de vie soit supérieure à t+s sachant qu'elle est supérieure à t
et p(X ³ s) est la probabilité que la durée de vie soit supérieure à s.
Autrement dit : si la DEL a fonctionné jusqu'à l'instant t, la probabilité qu'elle fonction encore au-delà de
l'instant t+s, c'est-à-dire qu'elle fonctionne encore au moins s unités de temps supplémentaires est égale à
la probabilité qu'elle fonctionne au moins s unités de temps à partir de l'instant 0.
λ
u
v
M
λ
O

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Remarque
Pour une loi exponentielle, on a aussi p
[t ; +∞[
([t ; t+s]) = p([0 ; s]) .
Si X est la variable aléatoire correspondant à la durée de vie d'un composant électronique, cette égalité
s'interprète de la façon suivante : sachant que le composant est encore en vie à l'instant t, la probabilité qu'il
meurt dans les s unités de temps qui suivent est égale à la probabilité qu'il meurt dans les s unités de temps
à partir de l'instant 0. Ce qui revient à dire qu'à tout instant t, la probabilité que le composant meurt dans
les s unités de temps qui suivent est la même.
Exercice 12 (voir réponses et correction)
L'uranium 238 a une constante de désintégration annuelle égale à 1,54 x 10
-10
.
C'est-à-dire que la désintégration de l'uranium 238 suit une loi exponentielle de paramètre λ = 1,54 x 10
-10
.
Calculer la probabilité p([0 ; 10]) qu'un noyau d'uranium 238 se désintègre en moins de 10 ans et en donner
une valeur approchée.
Calculer p([0 ; 10
10
]) ; p([10
9
; 10
10
]) et en donner des valeurs approchées. Interpréter ces résultats.
Pour quelles valeurs de t a-t-on p([0 ; t]) ³ 0,99 ? Interpréter le résultat.
Exercice 13 (voir réponses et correction)
Une substance radioactive perd naturellement sa radioactivité par désintégration. Cette désintégration suit
une loi exponentielle dont le paramètre λ dépend de la substance.
On appelle demi-vie de la substance radioactive, le temps T au bout duquel la substance a perdu la moitié
de sa radioactivité. Le nombre T est donc celui pour lequel p([0 ; T]) = 0,5 .
1°) Exprimer T en fonction de λ.
2°) L'uranium 238 a une constante de désintégration annuelle égale à 1,54 x 10
-10
.
Justifier que sa demi-vie est environ égale à 4,5 milliards d'années.
3°) L'iode 131 utilisé dans des traitements médicaux a une demi-vie de 8 jours.
a) Déterminer le paramètre λ correspondant à la loi exponentielle de la désintégration de l'iode 131.
b) Après combien de temps l'iode 131 a-t-il perdu 75% de sa radioactivité ? 99% de sa radioactivité ?
Définition - Propriété (voir démonstration 03)
Si X suit une loi exponentielle de paramètre λ alors son espérance mathématique est définie par :
E(X) =
x→+∞
lim
⌠
⌡
0
x
t f(t) dt où f est la fonction de densité, c'est-à-dire f(t) = λ e
-λt
. On a : E(X) = 1
λ .
Exercice 14 (voir réponses et correction)
Une entreprise d’autocars dessert une région montagneuse. En chemin, les véhicules peuvent être bloqués
par des incidents extérieurs comme des chutes de pierres, la présence de troupeaux sur la route, etc…
Un autocar part de son entrepôt. On note D la variable aléatoire qui mesure la distance en kilomètres que
l’autocar va parcourir jusqu’à ce qu’il survienne un incident.
On admet que D suit une loi exponentielle de paramètre λ = 1
82 .
Dans tout l’exercice, les résultats numériques seront arrondis au millième.
1°) Calculer la probabilité que la distance parcourue sans incident soit :
a) comprise entre 50 et 100 km ;
b) supérieure à 300 km.
2°) Sachant que l’autocar a déjà parcouru 350 kilomètres sans incident, quelle est la probabilité qu’il n’en
subisse pas non plus au cours des 25 prochains kilomètres ?
3°) La distance moyenne parcourue sans incident correspond à l'espérance mathématique de D.
Calculer cette distance moyenne.
Exercice 15 (voir réponses et correction)
Le laboratoire de physique d’un lycée dispose d’un parc d’oscilloscopes identiques. La durée de vie en
années d’un oscilloscope est une variable aléatoire X qui suit la loi exponentielle de paramètre λ = 0,125 .
1°) Calculer la probabilité qu’un oscilloscope du modèle étudié ait une durée de vie inférieure à 6 mois.
2°) Sachant qu’un appareil a déjà fonctionné huit années, quelle est la probabilité qu’il ait une durée de vie
supérieure à dix ans ?
3°) On considère que la durée de vie d’un oscilloscope est indépendante de celle des autres appareils. Le
responsable du laboratoire décide de commander 15 oscilloscopes. Quelle est la probabilité qu’au moins
un oscilloscope ait une durée de vie supérieure à 10 ans ?