Dérivée d`une fonction

Dérivée d’une fonction
I – Tangente en un point de la courbe :
1° - Rappel : ( Notion de fonction )
Coefficient directeur d’une droite passant par 2 points :
Soient deux points M1 (
x
1, f(
x
1 )) et M2 (
x
2, f(
x
2 )) deux points de la droite (d) d’équation
y
=a
x
+b , on appelle coefficient directeur de la droite le rapport : a = 12
12 )()( xx xfxf−
−
2° - Tangente en un point de la courbe :
a – Exemple :
On considère la courbe d’équation y = x
2
Soient M0 et M1 deux points de la parabole :
M0 de coordonnées : M0 ( 1 ; 1 )
M1 de coordonnées : M1 ( 1+h ; (1+h)² )
Le coefficient directeur de la droite (M0 M1)
est tel que :
a = 11 1)²1(−+
−
+
h
h = hhh 1²21 −++ =
a = hhh ²2+= hhh )2(
+
=
a = 2 + h
Lorsque M1 se rapproche de M0 , h tend vers
0 et a tend vers 2 .
On dit que la droite (M0 M1) tend vers une
position limite ,b si elle existe, de la droite
(M0 M1) quand le point M1 tend vers le point
M0 sur la courbe.
Soit un point M0 ( x0 ; y0 ) de la courbe
d’équation y = x2, on obtient : a = 2 x0 + h
Le coefficient directeur de la tangente en un point M0 de la courbe d’équation y = x2 est 2 x0 , ce nombre
2 x0 est appelé nombre dérivé de la fonction y = x2 au point d’abscisse x0.
b – Définition :
On appelle nombre dérivé de f en x0, le coefficient directeur a de la tangente à la courbe C au
point M0. Le nombre dérivé est noté f '( x0 ).
f '( x0 ) = a ou encore f '( x0 ) = 0
0)( xx xfy− −
c – Equation de la tangente à une courbe :
Pour tout point M ( x ; y ) de la tangente à la courbe C au point M0( x0 ; y0 ), on peut écrire :
y - f( x0 ) = f '( x0 ) (x - x0 )

II – Fonction dérivée :
1° - Définition :
Considérons une fonction numérique f définie sur un intervalle I, on appelle fonction dérivée, la fonction
qui à tout réel x de l’intervalle I associe le nombre dérivé de la fonction f en ce point . La fonction
dérivée est notée f ' .
2° - Calcul des dérivées :
Pour le calcul des dérivées, on utilise les résultats suivants :
Fonction f Fonction dérivée f '
R
→
R
α
x
k R
→
R
α
x
0
R
→
R
α
x
a x R
→
R
α
x
a
R
→
R
α
x
a x + b R
→
R
α
x
a
R
→
R
α
x
x ² R
→
R
α
x
2 x
R
→
R
α
x
a x ² R
→
R
α
x
2a x
R
→
R
α
x
x n R
→
R
α
x
n x n - 1
R*
→
R
α
x
x
1
R*
→
R
α
x
- ²
1
x
R*
→
R
α
x
x
a
R*
→
R
α
x
- ²x
a
R*
→
R
α
x
x
R+*
→
R
α
x
x21
D’autre part, si f et g sont deux fonctions admettant des dérivées f ' et g ' sur un intervalle I, nous avons :
Fonction Dérivée
f + g f ' + g '
f
×
g f '
×
g + f
×
g '
k
×
f k
×
f '
f n n
×
f n-1
×
f '
g
f avec g( x )
≠
0 ²'' ggfgf
×
−
×
f f
f
2' avec f( x )
≠
0

3° - Exercices :
Exercice 1 : Calculez la dérivée des fonctions suivantes :
a – f ( x ) = x² + x + 3
b – f ( x ) = x3 - 4 x + 1
c – f ( x ) = x
4
d – f ( x ) = ( 4x + 1 ) ( 3x - 2 )
e – f ( x ) = 15 14 −
+
x
x
Exercice 2 : Dans chacun des cas suivants, déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe
représentant la fonction f au point dont l’abscisse est précisée. Donner une équation de la tangente en ce
point.
a – f ( x ) = 5x² ; x = 5
b – f ( x ) = 3x² + 4x + 1 ; x = 3
III – Applications des dérivées à l’étude des fonctions :
1° - Propriétés :
Considérons une fonction numérique f, définie et dérivable sur un intervalle I pour tout réel x de I
Si f '( x ) = 0 ; alors la fonction est constante sur I .
Si f '( x ) > 0 ; alors la fonction est croissante sur I .
Si f '( x ) < 0 ; alors la fonction est décroissante sur I .
Si pour une valeur de x0 de I ; f '( x0 ) = 0 avec changement de signe, alors la fonction f passe par un
extremum pour x = x0 . Dans la pratique, il y a deux tableaux de variations possibles.
x x0 x x0
f '( x ) - + f '( x ) + -
f ( x ) mini f ( x ) maxi
2° - Application :
On considère la fonction f définie par f ( x ) = x² - 6x + 4 . Etudiez les variations de cette fonction
sur l’intervalle [-5 ; 10 ].
ð Domaine de définition :
ðDérivée :
ð Tableau de variations : x -5 10
f '( x )
f ( x )
ðReprésentation graphique :

IV – Application :
Exercice 1 : Dans une entreprise, le coût moyen C de production ( en milliers de francs), en fonction de
la quantité q produite ( en milliers de pièces ) est : C (q ) = q ²- 10 q + 40
Quel est le coût minimum ? En déduire le nombre de pièces produits correspondant à ce coût minimum.
Exercice 2 : (Bac pro commerce 1998 )
Une entreprise fabrique des objets dont le coût total en francs est donné par la relation :
C (x) = -3 x ² + 300 x + 1 000
x représente le nombre d’objets fabriqués, x appartient à l’intervalle [ 0 ; 65 ]
1° - Compléter le tableau de valeurs :
x 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
C (x) 1 000 2 425 3 700 4 825 5 800 6 625
2° - Représenter graphiquement la fonction C dans un repère orthogonal
échelle : en abscisses : 1 cm pour 5 objets ; en ordonnées : 1 cm pour 500 F
3° - A partir du graphique, indiquer pour quel nombre d’objets le coût est maximal. Faire figurer
le tracé qui permet de lire le résultat et rédiger une phrase pour donner la réponse.
4° - On veut trouver le résultat de la question 3 par le calcul.
a – Déterminer la fonction dérivée C' de C.
b – Résoudre l’équation C'(x) = 0
c – A quoi correspond la valeur de x ainsi calculée.
5° - L’objet est vendu 290 F l’unité. On désigne par R (x ) la recette correspondante à la vente de x
objets.
a – Exprimer R (x ) en fonction de x.
b – Représenter cette fonction R sur le même graphique
c – Déterminer à partir de quel nombre d’objets fabriqués l’opération devient rentable.

Exercices : Dérivée d’une fonction
Exercice 1 : Calculez les dérivées des fonctions suivantes, définies sur R :
a – f ( x ) = 2x² - 7x + 9
b – f ( x ) = 3x² - 4x - 5
c – f ( x ) = 3 - 4x
d – f ( x ) = (2x + 1)(x + 1)
Exercice 2 : Déterminez l’équation de la tangente à la courbe ( C )représentant la fonction f au point x0
dans les cas suivants :
a – f ( x ) = x² + 3x - 12 x0 = 5
b – f ( x ) = x3 - 3x + 6 x0 = 1
Exercice 3 : Dressez le tableau des variations des fonctions suivantes :
a – f ( x ) = 2x² - 6x + 5
b – f ( x ) = x3 - 9x + 4
Exercice 4 : Une entreprise d’emballages industriels veut réaliser un conteneur ayant la forme d’un
parallélépipède rectangle pour un transport maritime.
Pour des raisons techniques, ses dimensions intérieures sont liées par les relations :
L
h l + h = 5,4 m
l + L = 11 m
l
1° - Exprimez h et L en fonction de l.
2° - Montrez que le volume V s’exprime en fonction de l par la relation : V = l 3 - 16,4 l² + 59,4 l .
3° - Soit la fonction f définie sur [ 1 ; 4 ] par : f ( x ) = x3 -16,4 x² + 59,4 x
a – Calculez f ’( x ).
b – Montrez que l’équation 3x² - 32,8 x + 59,4 = 0 admet 2 solutions x1 et x2 ( x1
〈
x2 ) que
l’on calculera ( arrondir au centième ).
c – On admettra que la fonction f admet un maximum pour la valeur x1.Calculez ce maximum.
4° - Déduisez de l’étude précédente les dimensions intérieures ( arrondies au centième ) du conteneur
ayant un volume maximum.
Exercice 5 : Le coût total de production d’un article varie en fonctions du nombre d’objets x
fabriqués suivant la formule : C ( x ) = x² - 24 x + 225 .
1° - Calculez : C ( 1 ) ; C ( 10 ) ; C ( 15 ) ; C ( 20 ) ; C ( 25 ).
2° - Etudiez et représentez graphiquement C ( x ) pour x
∈
[ 1 ; 25 ] . Quelle est la nature de la courbe
obtenue ?
3° - Les articles sont vendus 16 F pièce. On désigne par V (x ) le montant correspondant à la vente de x
articles.
4° - Exprimez le résultat bénéficiaire B ( x ) en fonction de x .Pour quelle valeur de x le bénéfice est-il
maximum ? Calculez-le.
5° - Le coût moyen unitaire est donné par la formule Cm ( x ) = x)x ( C.
Pour quelle valeur de x, Cm est-il minimum ?Calculez ce coût moyen unitaire minimum.