Mécanique en coordonnées cylindriques

Mécanique 3 Mécanique en coordonnées cylin-
driques
Lycée Polyvalent de Montbéliard - Physique-Chimie - TSI 1 - 2016-2017
Contenu du programme officiel :
Notions et contenus Capacités exigibles
Systèmes de coordonnées cylindriques. - Utiliser les expressions des composantes du vecteur-position, du vecteur-
vitesse et du vecteur-accélération dans le cas des coordonnées polaires.
- Choisir un système de coordonnées adapté au problème posé.
Mouvement circulaire uniforme et non uniforme. - Exprimer les composantes du vecteur-position, du vecteur-vitesse et du
vecteur-accélération en coordonnées polaires.
- Identifier les liens entre les composantes du vecteur-accélération, la cour-
bure de la trajectoire, la norme du vecteur-vitesse et sa variation tempo-
relle. Situer qualitativement la direction du vecteur-accélération dans la
concavité d’une trajectoire plane.
Forces. - Utiliser les forces usuelles (tension d’un fil)
Pendule simple. - Établir l’équation du mouvement du pendule simple.
- Justifier l’analogie avec l’oscillateur harmonique dans le cadre de l’ap-
proximation linéaire.
- Établir l’équation du portrait de phase (intégrale première) dans ce cadre
et le tracer.
En gras les points devant faire l’objet d’une approche expérimentale.
Table des matières
1 La cinématique du point en coordonnées cylindriques 1
1.1 Introduction expérimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Description des coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Les vecteurs cinématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Descriptions de mouvements en coordonnées cylindriques 4
2.1 Mouvement circulaire uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Mouvement circulaire non uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 Coordonnées cylindriques ou cartésiennes ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 Le pendule simple 5
3.1 La force de tension d’un fil inextensible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2 Dynamique du pendule simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.3 Étude des petites oscillations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.4 Tracé du portrait de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Jusqu’à présent, tous les problèmes de mécanique que nous avons étudié l’ont étés en coordonnées
cartésiennes. Toutefois, ces coordonnées ne sont pas du tout adaptées à l’étude de nombreux mouvements,
notamment les mouvements de rotation. Nous allons donc étudier les coordonnées cylindriques, déjà évo-
quées en SII, pour ensuite étudier un problème classique, celui du pendule simple.
1 La cinématique du point en coordonnées cylindriques
1.1 Introduction expérimentale
Expérience 1 : Mesure de l’accélération d’un mouvement circulaire à l’aide d’un accéléro-
mètre. Cette mesure est possible avec de nombreux smartphone via des applications gratuites
rendant visibles les mesures des accéléromètres intégrés dans tous les smartphones.
Maxime Champion - www.mchampion.fr 1/7

Mécanique 3 : Mécanique en coordonnées cylindriques Maxime Champion
Un accéléromètre est tenu à bout de bras et l’on effectue un mouvement de rotation du bras la plus
uniforme possible. L’accéléromètre permet la mesure des accélérations parallèle et orthogonale au bras.
On constate expérimentalement que l’accélération orthogonale est quasi-nulle alors que celle parallèle
est quasi-constante au cours du temps. Pour le comprendre, représentons les variations du vecteur vitesse
au cours du temps pour un mouvement circulaire uniforme. Par définition, la vitesse est toujours tangente
à la trajectoire qui est une portion de cercle.
•
O
Trajectoire ×M1
#”
v1
#”
a1
×M2
#”
v2
#”
a2
×M3
#”
v3
#”
a3
×
M4
#”
v4
#”
a4
×
M5
#”
v5
#”
a5
×
M6
#”
v6
#”
a6
Fig. 1 – Tracé des vecteurs cinématiques sur une portion de trajectoire circulaire. Le vecteur vitesse reste
constamment tangent à la trajectoire. On constate alors que le vecteur accélération est dirigé vers le centre O
du cercle. On rappelle que le vecteur accélération « tire » le vecteur vitesse pour le disposer comme le vecteur
vitesse suivant. Le vecteur accélération est constamment selon le vecteur −−→ OM.
Si l’on souhaite décrire ce mouvement dans le plan de coordonnées (x, y), on a évidemment l’équation
du cercle qui impose x2+y2=R2avec Rle rayon du cercle. Ainsi, la grandeur r=||−−→ OM|| est conservée.
Plutôt que repérer la trajectoire avec xet y, on va donc repérer la trajectoire avec la longueur ret un
certain angle qui permet de décrire la rotation.
1.2 Description des coordonnées cylindriques
Définition. On définit les coordonnées cylindriques comme représenté sur la figure 2. Un point Mest
défini par les coordonnées r,θet z.
Le repère est défini par la base orthonormée directe constituée des vecteurs (#” er,#” eθ,#” ez). Le vecteur #” ez
est dirigé le long du vecteur −−→ OM et le vecteur #” eθlui est orthogonal dans le sens des θcroissants. Ces
vecteurs sont mobiles avec le mouvement du point M.
Dans le plan (x, y), la base (#” er,#” eθ)est appelée base polaire.
Le point Mest alors défini par le vecteur
−−→
OM =r#” er+z#” ez.
L L L Attention ! La coordonnées θn’apparaît pas explicitement dans le vecteur position.
z
x
y
#”
er
#”
ez
#”
eθ
z
M
H
r
O
θ
y
x
#”
er
#”
eθ
r
H
O
θ
Fig. 2 – Les coordonnées cylindriques −−→ OM =r#” er+z#” ez.
On peut manipuler ces coordonnées à l’aide de l’animation [1].
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1.3 Les vecteurs cinématiques
Propriété. Le vecteur position est évidemment définit par
−−→
OM(t) = r(t)#” er+z(t)#” ez.
Pour obtenir le vecteur vitesse, il faut dériver le vecteur position. Le vecteur #” ezest le vecteur défini
dans la base cartésienne, il est donc fixe au cours du temps. Par contre, le vecteur #” erest défini selon la
position du point H, projeté orthogonal du point M. Ainsi, lors du mouvement, le point Mse déplace,
donc le vecteur #” erchange. Sa dérivée est donc non nulle.
IDérivée des vecteurs de base
Pour exprimer les dérivées des vecteurs de base, nous allons utiliser les formules de changement de base
entre la base polaire et la base cartésienne.
#”
ey
#”
ex
#”
er
#”
eθ
O
θ(t)
Fig. 3 – Graphe de changement de base entre la base polaire et la base cartésienne.
On déduit immédiatement de la figure 3 les relations
#”
er= cos θ(t)#” ex+ sin θ(t)#” ezet #” eθ=−sin θ(t)#” ex+ cos θ(t)#” ez.
Ainsi, les vecteurs cartésiens étant fixe, on en déduit les dérivées des vecteurs de base
d#” er
dt=−˙
θ(t) sin θ(t)#” ex+˙ θcos θ(t)#” ez=˙ θ(−sin θ(t)#” ex+ cos θ(t)#” ez)
et d#”
eθ
dt=−˙
θcos θ(t)#” ex−˙ θsin θ(t)#” ez=−˙ θ(cos θ(t)#” ex+ sin θ(t)#” ey).
Propriété. On retiendra que les dérivées des vecteurs de la base polaires valent
d#” er
dt=˙
θ(t)#” eθet d#”
eθ
dt=−˙
θ(t)#” er.(1.1)
Remarque : Pour se souvenir de ces formules, on peut remarquer que la dérivée d’un vecteur
polaire correspond à la rotation de vecteur de l’angle π/2multiplié par ˙ θ(t).
IVecteurs vitesses et accélération
À l’aide des relations (1.1), on peut calculer les vecteurs vitesse et accélération. Le vecteur vitesse est
défini par
#”
v(t) = d−−→
OM(t)
dt=d dt(r(t)#”
er+z(t)#” ez) ;
=dr(t)
dt
#”
er+r(t)d#”
er
dt+dz(t) dt
#”
ez+z(t)d#”
ez
dt;
= ˙r(t)#” er+r(t)˙ θ(t)#” eθ+ ˙z(t)#” ez.
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De même, le vecteur accélération se calcule par
#”
a(t) = d#”
v(t)
dt=d dt˙r(t)#”
er+r(t)˙ θ(t)#” eθ+ ˙z(t)#” ez;
=d˙r(t)
dt
#”
er+ ˙r(t)d#”
er
dt+dr(t) dt˙
θ(t)#” eθ+r(t)d˙
θ(t)
dt
#”
eθ+r(t)˙ θ(t)d#”
eθ
dt+d˙z(t) dt
#”
ez+ ˙z(t)d#”
ez
dt;
= ¨r(t)#” er+ ˙r(t)˙ θ(t)#” eθ+ ˙r(t)˙ θ(t)#” eθ+r(t)¨ θ(t)#” eθ−r(t)˙ θ(t)2#” er+ ¨z(t)#” ez;
=¨r(t)−r(t)˙ θ(t)2#” er+2 ˙r(t)˙ θ(t) + r(t)¨ θ(t)#” eθ+ ¨z(t)#” ez.
Propriété. Les vecteurs cinématiques vitesse et accélération en coordonnées cylindriques sont données par
#”
v(t) = ˙r(t)#” er+r(t)˙ θ(t)#” eθ+ ˙z(t)#” ez;
et
#”
a(t) = ¨r(t)−r(t)˙ θ(t)2#” er+2 ˙r(t)˙ θ(t) + r(t)¨ θ(t)#” eθ+ ¨z(t)#” ez.
Remarque : Il est déconseillé de chercher à apprendre par cœur ces relations, par contre la
démonstration doit être parfaitement maîtrisée pour pouvoir les retrouver très rapidement.
2 Descriptions de mouvements en coordonnées cylindriques
2.1 Mouvement circulaire uniforme
Considérons un mouvement circulaire uniforme. Dans ce cas, on a pour tout temps, r(t) = Ret ˙ θ(t)=Ω
la vitesse angulaire. Pour simplifier, on prendra une altitude constante z(t)=0.
Application 1 : En déduire les vecteurs cinématiques en coordonnées polaires.
On constate que :
la norme du vecteur vitesse v=||#” v|| =RΩet la norme du vecteur accélération a=||#” a|| =RΩ2sont
constantes ;
le vecteur accélération est toujours dirigé vers le centre du cercle.
Sur cet exemple, on constate que même si l’accélération est constante en norme, comme le vecteur est
mobile, le mouvement n’est pas rectiligne.
2.2 Mouvement circulaire non uniforme
Considérons un mouvement circulaire non uniforme. Dans ce cas, on a pour tout temps, r(t) = Ret
¨
θ(t)6= 0. Pour simplifier, on prendra une altitude constante z(t)=0.
Application 2 : En déduire les vecteurs cinématiques en coordonnées polaires.
Cette fois, la norme de la vitesse et de l’accélération ne sont plus constantes, comme on peut le constater
sur l’exemple de la figure 4. Le vecteur accélération n’est plus dirigée vers le centre du cercle. L’accélé-
ration est composée d’une composante radiale (vers le centre) qui provoque la rotation, mais aussi d’une
composante tangentielle, qui freine ou accélère la rotation.
2.3 Coordonnées cylindriques ou cartésiennes ?
Lors d’un problème de mécanique, il faut dès le départ choisir le système de coordonnées. Selon le
choix du système, le problème sera soit très simple, soit très complexe mathématiquement. Toutefois, si les
calculs sont corrects, les deux systèmes de coordonnées conduisent au même mouvement, le mouvement
physique réel ne dépend en effet pas du choix du physicien pour l’étudier.
On retiendra que l’on choisit les coordonnées
cartésiennes pour étudier des translations et des mouvements rectilignes ;
cylindriques pour étudier des rotations.
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Fig. 4 – Un mouvement circulaire non uniforme : l’accélération est toujours dans la concavité de la trajectoire,
mais elle n’est pas dirigée vers le centre du cercle.
3 Le pendule simple
3.1 La force de tension d’un fil inextensible
Définition. Considérons une masse msuspendue au bout d’un fil inextensible et supposé sans masse. On
note Ole point d’accroche du fil.
La tension du fil
#”
Test la force exercée par le fil sur la masse, si
le fil est détendu, cette force est nulle ;
le fil est tendu, la force #” Test colinéaire au fil et dirigée vers le point d’accroche O.
×
O
•
m
Fil détendu : pas de force.
×
O
•
m
#”
T
Fil tendu : la masse subit une force dirigée vers O.
Si on remplace le fil par une tige inextensible et sans masse, tout se passe comme-ci nous étudions un fil
toujours tendu.
LLLAttention ! Cette force dépend du mouvement (elle n’est généralement pas constante) et est quasi-
ment tout le temps une inconnue du problème. Son expression se déduit généralement de l’étude dynamique
en exprimant le fait que la masse reste au bout du fil.
Remarque : Un fil tendu transmet intégralement la force. Ainsi, par le principe des actions
réciproques, le point d’accroche subit la force −#” T.
3.2 Dynamique du pendule simple
Plaçons nous dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. Étudions, le pendule simple représenté
figure 5. Le pendule est constitué d’une masse mau bout d’une tige inextensible et sans masse de longueur
. Pour étudier ce mouvement, nous plaçons naturellement en coordonnées cylindriques.
Le mouvement est plan, on prendra donc en chaque instant z(t)=0.
Bilan des forces :
le poids #” p=m#” g=mg cos θ(t)#” er−mg sin θ(t)#” eθ;
la tension du fil #” T=−T(t)#” er.
Seconde loi de Newton : On applique le principe fondamental de la dynamique, soit
m#” a=#” p+#” T .
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