Cours Chap 11 P I. Mouvement de projectiles

Chap 11 P élèves
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Lycée J. CURIE
Terminale S
Année scolaire 2008-2009
Cours Chap 11 P
Mouvements dans un champ de pesanteur
I. Mouvement de projectiles
Un projectile est un objet de petite taille (par rapport à la Terre) qui est, en général, lancé
par une machine (arme, lanceur d’engins, …) dans une direction non verticale.
1. Equations différentielles du mouvement
On étudie le mouvement du centre d’inertie G d’un projectile dans le R.T.G (référentiel
terrestre galiléen). La position de G est repérée dans un repère R
(O, i, j, k)
orthonormé.
L’origine du repère coïncide avec la position de G à t = 0.
Le projectile est lancé avec une vitesse initiale
0
v
, qui fait avec l’horizontale un angle  appelé angle de tir. Les
composantes du vecteur vitesse sont dans ce repère :
0x
0 0y
0z
v=
v v =
v=
Bilan des forces : au cours de sa chute le projectile est soumis uniquement à son ………………….……, vertical dirigé vers
le ………….. de valeur constante ….. = …………..
D’après la 2ème loi de Newton on peut écrire :
…… = ………………. Soit : …….. = …….. 
En projetant  sur les axes du repère on obtient 3 équations différentielles du mouvement de G :
x
Gy
z
d²x
a (t) = = x =
dt²
d²y
a (t) a (t) = = y =
dt²
d²z
a (t) = = z =
dt²
2. Equations horaires du mouvement
Par intégration des équations différentielles précédentes, on obtient les coordonnées du vecteur vitesse
v( )t
du
centre d’inertie du système :
x
y
z
dx
v (t) = = x =
dt
dy
v( ) v (t) = = y =
dt
dz
v (t) = = z =
dt
t
Les constantes d’intégration k1, k2, k3 se déterminent à partir des conditions initiales, c’est à dire de la connaissance
des coordonnées du vecteur vitesse à l’instant t = 0
d’où
On en déduit par intégration les équations horaires du mouvement :
x(t) =
OG(t) y(t) =
z(t)=
0
i
i
k
i
j
i
0
v
0x 0 1
0 0y 2
0z 0 3
v = v cos α = k
v v = 0 = k
v = v sin α = k
x
y
z
v (t) =
v( ) v (t) =
v (t) =
t

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Les constantes d’intégration k4, k5, k6 se déterminent là encore, à partir des conditions initiales portant sur
OG(t)
à t =
0 :
Les équations horaires du mouvement sont donc :
x(t) =
OG(t) y(t) =
z(t) =
On constate que :
L’abscisse x de G est une fonction linéaire du temps
L’ordonnée y de G est constamment nulle : la trajectoire de G est donc contenue dans le plan(xOz)
La cote z de G est une fonction parabolique du temps.
La chute libre d’un projectile peut s’interpréter comme la composition de 2 mouvements, l’un horizontal l’autre
vertical :
o Selon 0x le mouvement est rectiligne et uniforme à la vitesse constante de valeur v0 cos
o Selon 0z, le mouvement est celui d’une chute libre verticale de vitesse initiale de valeur v0 sin
Remarque
Les équations horaires font intervenir le paramètre , qu’on peut faire varier. On dit encore qu’il s’agit d’équations
horaires paramétriques.
3. Equation de la trajectoire
L’équation z = f (x) est celle de la trajectoire du centre d’inertie G du système.
Elle s’obtient en éliminant t entre x(t) et z(t) :
0
0
x(t)
De l'expression x(t) = (v cosα) t on tire t = v cosα
que l’on reporte dans
l’expression de z(t), on obtient ainsi l’équation de la trajectoire :
22
02
0 0 0
1 x x 1 x
z(x) = - g + (v sinα) - g + x tanα
2 v cosα v cosα 2 (v cosα)
L’équation de la trajectoire est c’elle d’une parabole dont la concavité est tournée
vers le bas.
4. Applications à la balistique
La portée et la flèche (distance et hauteur atteintes par
le projectile) dépendent des conditions initiales du
lancer c’est à dire des valeurs de vo (fig A) et de  (fig
B).
Pour une même direction du lancer, plus v0 est grand plus la portée et la flèche sont importantes.
Pour une même valeur de la vitesse v0, la portée et la flèche dépendent de la valeur  ; la portée est maximale pour
un angle  = 45°.
04
0 0 5
06
x = 0 = k
OG y = 0 = k
z = 0 = k

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Au point F correspondant à la flèche, la tangente à la trajectoire est horizontale, la composante de la vitesse vz est
nulle (
dz = 0
dx
).
Exemple :
L’équation de la trajectoire d’une balle de golf lancé avec une vitesse initiale v0 = 40 m.s-1 et un angle  = 30° est :
-3 2
z(x)= - 4,1 × 10 x + 0,58 x
La portée se déduit de l’équation précédente en posant z(x) = ……, soit ……………………………………………………………….
Elle admet deux solutions : x = ….. (l’origine) et x =
La flèche se déduit de l’équation suivante :
dz =
dx
Ses coordonnées sont donc :
x = 
(ce résultat correspondant à la moitié de la portée était
prévisible, du fait des propriétés de symétrie de la parabole) et la flèche (hauteur maximale atteinte) est
-3 2
z(71) = - 4,1 × 10 ×71 + 0,58 ×71 = 21 m
II. L’attraction universelle
1. Expression vectorielle de la loi d’attraction universelle
C’est à Newton que l’on doit l’expression de la force d’attraction
universelle.
Deux objets ponctuels A et B, de masse respective mA et mB , séparés par
une distance d, s’attirent mutuellement par une force exprimée ici sous sa
forme vectorielle :
AB
B/A A/B AB
2
m .m
F - F G. .u
d
AB
u
est un vecteur unitaire :
AB
AB
u=
AB
Les masses s’expriment en kilogramme (kg), d en mètres (m) et G est la constante de gravitation : G = 6,67  10 - 11
N.m².kg-2
Ces deux forces ont même direction la droite AB, même intensité F = F A/B = F B/A, et sont de sens opposés.
Remarque :
Deux objets, quels qu’ils soient, séparés par une distance très grande devant leurs dimensions sont assimilables à des
objets ponctuels.
De même, deux corps même proches, mais dont la répartition de masse est à symétrie sphérique, sont assimilables à
deux objets ponctuels dont les masses seraient concentrées en leurs centres de symétrie.
C’est le cas du Soleil, des planètes, des satellites tels que la Lune, …
2. Champ de gravitation
Dans le cas de la Terre, l’identification entre les deux expressions du poids d’un objet de masse m situé à une altitude
h par rapport au sol terrestre, permet de retrouver l’expression globale du champ de gravitation
2
Terre Terre
2
Terre
MM
g = G G d
R + h
. Le champ de pesanteur
g
est dit radial (sa direction est un rayon de la sphère) et
centripète (il pointe vers le centre). Sa valeur est proportionnelle à
2
1
d
.
Si l’on se cantonne à des mouvements très proches de la surface de la Terre, la valeur du champ de gravitation (ou
encore de pesanteur)
Terre
2
Terre
M
g = G R
peut-être considérée constante. Le champ
g
est alors uniforme localement. Sa
valeur, à la latitude de la France est g = 9,80 N.kg1.
Dans le cas du Soleil, l’expression de la force de gravitation exercée par le centre du Soleil de masse MSoleil sur un
objet de masse m, situé à une distance d de celui-ci peut s’écrire, par analogie avec l’expression du poids :

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Soleil
F = m g
. Le vecteur champ de gravitation solaire
gSoleil
a même sens et même direction que
F
, il est dirigé vers
le centre du Soleil. Il est radial et centripète. Son intensité est :
Soleil
Soleil 2
M
g = G d
, elle est proportionnelle à
2
1
d
.
III. Mouvement circulaire uniforme (voir TP n°2)
Définition : Un mouvement est dit circulaire uniforme quand la trajectoire est un cercle parcouru à une vitesse de
valeur constante
La valeur de la vitesse est constante, le vecteur vitesse est porté par la tangente à
la trajectoire circulaire.
Si l’on trace le vecteur accélération, on constate que celui-ci est constant en
valeur, et qu’il est toujours dirigé vers le centre du cercle.
Dans le cas d’une trajectoire circulaire, si le vecteur
a
a une direction radiale
(suivant un rayon) le mouvement est uniforme, et réciproquement. La valeur de
l’accélération est :
v²
a = R
. Le vecteur
a
est obligatoirement centripète (pointé
vers le centre du cercle).
Remarque :
Dans le cas d’un mobile se déplaçant sur un cercle de rayon R, à vitesse de valeur variable (mouvement circulaire non
uniforme), le vecteur accélération
a
n’est plus radial. Il peut être décomposé en deux composantes :
N
a
radiale et valant
2
v
R
et
T
a
tangentielle, valant
dv
dt
. En appelant
N
et
T
deux vecteurs
unitaires (fig ci-contre), l’expression générale de l’accélération est
donc :
2
dv dv v
a T + N
dt dt R
On retrouve le cas d’un mouvement circulaire uniforme en écrivant
dv 0
dt 
; l’expression de
l’accélération se réduit alors à
2
v
a N
R
IV. Mécanique céleste
1. Mouvement des planètes
On considère maintenant comme système une planète, tournant autour du Soleil ayant une
orbite circulaire. De façon à être galiléen, le référentiel d’étude qu’il convient de choisir, est
le référentiel héliocentrique.
On note m la masse de la planète et r la distance de son centre au centre du Soleil.
La planète n’est soumise qu’à la force gravitationnelle exercée par le Soleil notée
F
(en
négligeant l’influence des autres astres, soit très éloignés, soit de masse très inférieure à
celle du Soleil). Cette force centripète a pour expression vectorielle :
s
PS
m M
F = G . u
r²
D’après la deuxième loi de Newton, on peut écrire :
Par conséquent, le vecteur accélération est radial, et le mouvement circulaire est uniforme.
Lorsqu’un mouvement circulaire a lieu sous l’effet d’une force radiale, le mouvement est obligatoirement uniforme.
On a donc . On en déduit la vitesse

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La vitesse d’une planète sur son orbite circulaire est :
s
M
v = G
r
Elle ne dépend que de la masse de l’astre
attracteur, et de la distance r.
2. Mouvement des satellites
A. La vitesse est fonction de l’altitude
Pour un satellite le référentiel à choisir est le référentiel planétocentrique
(géocentrique s’il s’agit d’un satellite terrestre) ; un calcul identique conduit à
l’expression suivante de sa vitesse :
Où MP est la masse de la planète autour de laquelle gravite le satellite, RP son rayon et
h l’altitude du satellite par rapport à la surface de la planète.
La vitesse d’un satellite qui décrit une orbite circulaire est constante. Elle augmente si
son altitude diminue. Pour une altitude donnée, la vitesse est imposée.
Exemple :
Pour le satellite Spot 4 qui gravite autour de la Terre, son altitude est h = 825,2 km, le
rayon de la Terre RT = 6371 km, sa masse MT = 5,98 × 1024 kg et G = 6.6710- 11 SI.
On obtient :
24
-11 3 -1
33
5,98 10
v = 6,67 10 =7,44×10 m.s
(6371 10 + 825,2 10 )
B. Application
Certains satellites jouent un rôle particulier : les satellites géostationnaires (comme le satellite Eutelsat2). De tels
satellites utilisés dans les télécommunications, sont toujours positionnés au dessus du même point de la surface de la
Terre. Par conséquent :
- leur vitesse angulaire  doit être égale à celle de la rotation propre de la Terre.
- leur sens de rotation doit être le même que celui de la Terre.
- leur orbite doit être dans le plan équatorial de la Terre.
L’altitude h de ces satellites est unique, puisque leur vitesse (angulaire et donc linéaire) est
imposée. Elle se calcule grâce à la relation :
v = (RT + h)  dans laquelle  est la vitesse angulaire de la Terre autour de l’axe des pôles.
Par définition :
T
T
2π
ω = où T est la période de rotation propre de la Terre
T
.
En identifiant les deux expressions de la vitesse, on obtient :
d’où on tire : .
Ce qui donne :
soit h  36000 km. Un tel satellite a sur son orbite, une vitesse v = 3,07103 m.s-1.
3. Période de révolution d’un astre
Définition : La période de révolution d’un astre, est le temps qu’il met pour accomplir sa trajectoire (ou révolution)
autour d’un autre astre.
La vitesse d’un astre sur son orbite circulaire est donnée par l’expression :
M
v = G r
(M étant la masse de l’astre
lourd autour duquel il tourne). Cette vitesse peut-être obtenue également en divisant la longueur 2 r parcourue en
une révolution par la durée T de la révolution. On obtient en égalant ces deux expressions :
d’où :