Chapitre 7 : FONCTIONS VECTORIELLES

Chapitre 7 : FONCTIONS
VECTORIELLES
7.1. Rappels
7.1.1. Produit mixte, produit vectoriel
On suppose que ?.3 est muni d'un produit scalaire et d'une orienta-
tion. On peut alors trouver des bases orthonormés directes de 313 (voir
Cours d'Algèbre).
DÉFINITION
1) Soit \ i. V 2 et \ 3 trois vecteurs de y.3. On appelle produit mixte
de ces trois vecteurs et on note (\ i, \ 2, \ 3) le déterminant dans une
même base orthonormée de ces trois vecteurs :
(F. f. k) base orthonormée directe
2) Si \ a = xaî+ yaf+ :ak. pour a = 1. 2, 3.
alors
T
1, V 2
. V 3) =
x\ x2 x3
yi î/2 î/3
*1 ~2 ~3
d'où
3) =
y-i i/3
•yi -32-2
Ï3
ï/2 î/3
= \' 1 • \\ (produit scalaire)
ou
i/2 î/3
~2
23
J + i/2
î/3

182 Fonctions vectorielles
On établit facilement que II est indépendant du choix de la base
orthonormée directe (ï.f.k). \\ ne dépend donc que de \ i. V 2. \ 3. du
produit scalaire, et de l'orientation.
DÉFINITION
Étant donnés deux vecteurs \ 2 et \ 3. on appelle produit vectoriel
de V 2 et V 3. et on note \ 3A I 3. le vecteur tel que :
vT^e-3. TV(T*2AT*3WÏVT*2.Ï*3
7.1.2. Remarques
i) Dans toute base orthonormée directe, les composantes de \ 2AV3
sont données en fonction de celles de \ 2(^*2-3/2--2)
et de \
3(1*3.3/3. C3)
par :
Ì 2 A \ 3 = (î/2~3 - -2Í/3. -2^3 - X2Z3.X2y3
ii) V 2 A \ 3 est orthogonal à \ 2 et Y 3.
iii) U 2. t 3- t 2 A \ 3I est une base directe si \ 2 et l 3 ne sont
pas colinéaires.
iv) Le produit vectoriel définit une application de ?.3 x S3 dans A3.
bilinéaire et antisymétrique.
Dans la suite (ê*i, êo en) désigne la base canonique de 2.". Si un
n
V
élément \ de ~?>n s'écrit 1 — YJ
l\£i^ on
Ie notera v = (t'i rn).
1=1
/" \*
Dans ce chapitre le symbole 11 11 désigne la norme | |.r 11 = I YJ x2, \ .
7.2. Définition - Exemples
7.2.1. Définition
On appelle fonciion vecionelle toute application
/:SC34?."
t*f<iï = (fl(i) fn(t))
où ¿" est un sous-ensemble de ?..

Limite, continuité et dérivabilité d'une fonction vectorielle 183
Remarque : Si
est une fonction vectorielle, elle définit n fonctions numériques /i /„ :
de S dans ?.. Ces fonctions, appelées fonctions composantes, déterminent
complètement /.
7.2.2. Exemples
/ : [0.1] -+Z-2. t >-> (acosf.&sinf).
g :Z-. ->7?.t ^(e'.e-f).
/) :^->7,3. f >->• (cosi. sin*. ?)•
7.3. Limite, continuité et dérivabilité
d'une fonction vectorielle
7.3.1. Limite
7.3.1.1. Définition
Soit /:SCr.-4r.",Í£ Ir." et t0 ~ 5. On dira que / admet comme
limite / quand t tend vers ÍQ en restant dans S1, et on note lim f(i) = /.
f-+fo
si et seulement si :
lim \f,(t) -/,| = 0. Vi = 1 n
f-t-to
fes
7.3.1.2. Remarques
1) La définition 7.3.1.1 ramène la définition de la limite d'une fonction
vectorielle à celle de fonctions numériques.
2) Si on note || || l'une des normes A"i.A~2.-Ve définies sur Ir." au
5.1.3.2. on a :
lim J[t] = f«. lim
/(t - /11 = 0
f->fo II
On rappelle que deux normes A" et X' sur Ir." sont équivalentes s'il
existe deux nombres a. b (a > 0 et b > 0) tels que
aX'(x) < X(x) < bX'(x). Vr G I?-" (1)
La relation (1) entraîne alors:

184 Fonctions vectorielles
lim X (j(t] - t) = 0 «• lim .V f7(í) - f) = 0
4) Soit (e[. e'2 e'n ) une base canonique de 31". L'application
y/ . — n K ~
.\2 • -. —^ ^*»+
X = (Xi Xn) -> -Vói'?)
où les x\ sont les composantes de x dans la base (ê*). définit une norme
n
de !?.". équivalentes à .Vo (AT2(Í) = Yj |J?7 |) d'après les relations
(.4j,) étant la matrice inversible, de changement de base. Donc, d'après
3) : lim X2 (~f(t) -i1=0ö lim .V^ (~f (i) - f] = 0 ou encore :
lim ~f(t) - fo lim /, {t)=ì, V? = 1 n
t-*to f-+to
les f,(t) et /, étant les composantes de f¡(t) et / dans la base ( e[ e'n).
D'où
7.3.1.3. Proposition
•—>-f o t-*to
les f,(t) et /, sont les composantes de f(t) et / dans une base
t-yt
OÙ
7.3.1.4. Propriétés
Soient :/:/—> Ir.". / >->• f(t) et ^ : / H-y J.". t >-^- g(t) deux applica-
tions définies sur un intervalle / de 31. Soit to ~ /•
Si lim /(/) = / et lim g(t) = m. alors :
f —í-f o f->fo
i) VA. p G ?.. lim \J(t) + pg{t] = \f+ pm :
n) lim||7(ït||=||/||:
r—i-fo
iii) Si I?." est muni d'un produit scalaire, on a lim f(t) • g(t] = l • m :

Limite, continuité et dérivabilité d'une fonction vectorielle 185
iv) Si ?.3 est orienté et muni d'un produit scalaire, on a lim f(t) A
t —ït o
g(t\ = ÍA m.
Demonstration — On démontre aisément i) en utilisant les propriétés
des limites des fonctions numériques et la proposition 7.3.1.3.
n) Si lim /(it = f. alors lim \\J(t]\\ = \\f\\
f —^f a t-*t0
carO<
iii) Soit \V = (]\\ \Vn) une base orthonormée de Ir." par rap-
port au produit sacalaire et soient (/, (f))i<,<n. {g,(t))i<,<n- (/¡)i<¡<n.
(1Tìì)i<i<n- les composantes respectives de /. g. I et m dans cette base.
D'après 7.3.1.3.
lim/(it = To lim/,(f) =/,
t-¥t0 f-ffu
lim g(t) = m •&• lim g¡{t) = m¡
í-í-fo t-tto
Donc lim ~f{t\ g~(i] = lim V /, (t)g, (t)
t-t-to f-*to z—'
1
= i • in
Pour démontrer iv. il suffit d'expliciter f(t) A g(t) et /A m dans
base orthonormée directe.
7.3.2. Continuité
7.3.2.1. Définition
Soit : / : S C ?. —>• I?."' et ¿p 6 5. On dira que / est continue en to. si
et seulement si : lim fit) = f{to)
t-*t0
7.3.2.2. Proposition
Soit :/:Sc?.-> ?-n. í H^ (f^t) /„(/)). Soit to E S. f est
continue en to si et seulement si chacune des fonctions /,. ; = 1 n,
est continue en to.
Démonstration — Elle découle immédiatement de la proposition 7.3.1.3.
De 7.3.2.4 on déduit :