pdf

Chapitre 6
Réduction des matrices carrées
6.1 Notion de valeur propre, vecteur propre
Définition 6.1 Soit A∈M
n(K)et λ∈K.Onditqueλest valeur propre de As’il existe un
vecteur x∈Kn,x"=0
Kn,telqueAx=λx.Levecteurxest appelé vecteur propre de Aassocié à
la valeur propre λ.
Définition 6.2 On appelle spectre d’une matrice A∈M
n(K)l’ensemble de ses valeurs propres de
Adans le corps Kconsidéré. On le note Sp(A).
Comme
Ax=λx⇔(A−λIn)x=0
Kn⇔x∈Ker(A−λIn)
on en déduit que xest un vecteur propre de Aassocié à la valeur propre λsi xappartient au
l’ensemble
Vλ:= Ker(A−λIn)
et que λest une valeur propre de Asi il existe x"=0
Knappartenant à Vλ,c’est-àdiresiVλ"={0Kn}.
Proposition 6.3 Soit λune valeur propre de A.AlorsVλest un sous-espace vectoriel de Knet
est stable par A,c’est-à-direque
∀x∈Vλ,Ax∈Vλ.
Remarque:
–Lapropositionprécédentesignifiequesix1et x2sont des vecteurs propres associés à la valeur
propre λ,alorsx1+x2,αx1(pour tout scalaire α"=0)etAx1sont encore des vecteurs propres
associés à la valeur propre λ.Siλest une valeur propre de A,iln’yadoncpasunicitédu
vecteur propre associé.
–Unvecteurxest un vecteur propre de la matrice As’il existe λ∈Ktel que Ax=λx.Sice
scalaire λexiste, il est unique.
Définition 6.4 Le sous-espace vectoriel Vλest appelé sous-espace propre de Aassocié à la valeur
propre λ.
36

Remarque: En pratique, pour déterminer une base Vλlorsque λest une valeur propre d’une matrice
A=(aij )1≤i≤n,1≤j≤n,onrésoudslesystèmelinéaireAX =λX.
Proposition 6.5 Si λ1et λ2sont des valeurs propres distinctes d’une matrice A∈M
n(K),alors
l’intersection des sous espaces propres correspondant est réduite à 0Kn:
Vλ1∩Vλ2=0
Kn
Preuve : Soit x∈Vλ1∩Vλ2.Alorsx=0
Knou xest un vecteur propre de Apour les valeurs propres
λ1et λ2.OnadoncAx=λ1xet Ax=λ2x,d’oùl’ondéduitque(λ1−λ2)x=0
Kn,puis,comme
λ1"=λ2,quex=0
Kn.!
Proposition 6.6 Soit pun entier, p≥2et λ1,...,λpdes valeurs propres distinctes d’une matrice
A∈M
n(K)et (x1,...,xp)est famille de vecteurs telles que xisoit un vecteur propre de Aassocié
àlavaleurpropreλi.Alorscettefamilleestlibre.
Preuve : On montre ceci par récurrence sur l’entier p.
–Pourp=2.Siµ1x1+µ2x2=0
Knalors
–siµ1"=0alors x1=−λ2
λ1x2et donc x1∈Vλ1∩Vλ2.Ord’aprèslaproposition6.5,
Vλ1∩Vλ2={0Kn}et donc x1=0
Kn.C’estimpossiblecarx1est un vecteur propre (et
un vecteur propre est non nul par définition).
–onadoncµ1=0;ilenrésultequeµ2=0aussi car x2"=0
Kn.
Ainsi µ1x1+µ2x2=0
Kn⇒µ1=µ2=0:lafamille(x1,x2)est donc libre.
–Onsupposelapropriété[lafamille(x1,...,xp)est libre] vraie pour l’entier p.
Soit λ1,...,λp,λp+1 des valeurs propres distinctes d’une matrice A∈M
n(K)et (x1,...,xp,xp+1)
une famille de vecteurs propres associés. Si
µ1x1+...µ
pxP+µp+1xp+1 =0 Kn(6.1)
alors
–siµp+1 "=0,alors
xp+1 =−
p
!
k=1
µk
µp+1
xk(6.2)
d’où
Axp+1 =−
p
!
k=1
λk
µk
µp+1
xk(6.3)
car xkest un vecteur propre de Apour la valeur propre λk.Parailleurs
Axp+1 =λp+1xp+1 =−λp+1
p
!
k=1
µk
µp+1
xkd’après (6.3).(6.4)
On déduit alors de (6.3) et (6.4) que
−
p
!
k=1
λp+1
µk
µp+1
xk=−
p
!
k=1
λk
µk
µp+1
xk.
37

La famille (x1,...,xp)étant libre, on en déduit que
λp+1
µk
µp+1
=λk
µk
µp+1
∀k∈{1,...,p}.
Les valeurs propres λ1,...,λk+1 étant deux à deux distinctes on a alors nécessairement
µk=0pour tout k∈{1,...,p}.Alors(6.1)impliqueλp+1xp+1 =0
Knce qui est impossible
car xp+1 "=0
Knet car on a supposé λp+1 "=0.
–onadoncµp+1 =0,et(6.1)devient
µ1x1+...µ
pxp=0 Kn
ce qui implique que λ1=···=λp=0car la famille (x1,...,xp)est libre.
Finalement µ1x1+...µ
pxp+µp+1xp+1 =0 Knimplique λ1=···=λp=λp+1 =0:lafamille
(x1,...,xp,xp+1)est libre. L’hypothèse de récurrence est ainsi vérifiée pour l’entier p+1.
!
Comme une famille libre de vecteurs de Knne peut comporter qu’au plus néléments car
dim(Kn)=n,ondéduitenparticulierdelaProposition6.6lapropriétésuivante.
Corollaire 6.7 Une matrice A∈M
n(K)possède au plus nvaleurs propres disctinctes.
6.2 Matrices diagonales, diagonalisables
On commence par introduire les notions de matrices diagonales et diagonalisables.
Définition 6.8 (Matrice diagonale) Une matrice D∈M
n(K)est dite diagonale si tous les
coefficients situés en dehors de la diagonale de cel le-ci sont nuls, c’est-à-dire si elle est de la forme
d11 0... 0
0.......
.
.
.
.
.......0
0... 0dnn
.
Remarque: Si Dest une matrice diagonale et si on note ei=
0
.
.
.
1
.
.
.
0
le i-ème vecteur de la base
canonique de Kn,alors
Dei=
d11 0... 0
0.......
.
.
.
.
.......0
0... 0dnn
0
.
.
.
1
.
.
.
0
=
0
.
.
.
dii
.
.
.
0
=diiei.
Les valeurs propres de la matrice Dcorrespondent donc aux termes diagonaux de celle-ci.
38

Définition 6.9 (Matrice diagonalisable) Une matrice A∈M
n(K)est dite diagonalisable si
elle est semblable à une matrice diagonale, c’est-à-dire s’il existe une matrice P∈M
n(K)inversible
telle que
D=P−1AP
soit une matrice diagonale.
La Proposition suivante nous montre ensuite que lorsqu’une matrice est diagonalisable, la ma-
trice Dde la Définition 6.9 possède les même valeurs propres que la matrice A.
Proposition 6.10 Deux matrices de Mn(K)semblables ont les même valeurs propres.
Preuve : Soient Aet Bdeux matrices de Mn(K)semblables : il existe donc P∈M
n(K)inversible
telle que B=P−1AP .Soitλune valeur propre de B,xun vecteur propre de Bassocié à cette
valeur propre λ.Alors
Bx=λx⇒PBx=λPx
⇒AP x=λPx
car PB =AP .Deplus,commex"=0et que Pest inversible (donc injective), Px"=0.AinsiPx
est un vecteur propre et λune valeur propre de la matrice A.ToutevaleurpropredeBest donc
une valeur propre de A;delamêmefaçononmontrequetoutevaleurpropredeAest une valeur
propre de B.!
Ainsi une matrice est diagonalisable si l’ on peut la factoriser sous la forme
A=P
λ10... 0
0λ2
....
.
.
.
.
........
.
.
.
.
.....
.
.
0... ... λ
n
()* +
D
P−1
les valeurs λ1,...,λncorrespondant aux valeurs propres de la matrice A.Deplus,lamatrice
P∈M
n(K)est inversible et correspond à la matrice de passage de la basecanoniqueàlabase
formé de vecteurs propres de A.Onpeutdoncreformulerladéfinition6.9delafaçonsuivante:
Définition 6.11 (Matrice diagonalisable, bis) Une matrice A∈M
n(K)est diagonalisable s’il
existe une base de Knformé de vecteurs propres de A.
6.3 Polynôme caractéristique
Donnons maintenant une caractérisation équivalente des valeurs valeurs propres utilisant le
déterminant d’une matrice.
39

Proposition 6.12 Le scalaire λest une valeur propre de Asi et seulement si det(A−λIn)=0,
c’est à dire si et seulement si
,,,,,,,,,,,,,
a11 −λ... ... a
1,n
a22 −λ....
.
.
.
.
........
.
.
.
.
.....
.
.
an,1... ... a
nn −λ
,,,,,,,,,,,,,
=0
Preuve : D’après ce que l’on a vu avant, λest une valeur propre de Asi Vλ=Ker(A−λIn)"={0Kn}.
Or Ker(A−λIn)"={0Kn}signifie que Aest non injective, et An’est pas injective si et seulement
si An’est pas bijective d’après le Théorème 3.13. Donc Ker(A−λIn)"={0Kn}si et seulement si
det(A−λIn)=0d’après le théorème 5.4. !
Remarque: En particulier, 0est une valeur propre de Asi et seulement det(A)=0.
La matrice Aétant fixée, on peut définir l’application
K→K
t*→ det(A−tIn)=
,,,,,,,,,,,,,
a11 −t......a
1,n
a22 −t....
.
.
.
.
........
.
.
.
.
.....
.
.
an,1... ... a
nn −t
,,,,,,,,,,,,,
En développant det(A−tIn),onobtientuneexpressionpolynômialeent.Celanousamèneà
introduire la définition suivante :
Définition 6.13 On appelle polynôme caractéristique de la matrice Ale polynôme de K[X]défini
par
χA(X):=det(A−XIn).
Remarque: Le coefficient dominant de χAest égal à (−1)n,etletermededegré0est égal à
χA(0) = det(A).LepolynômeχA(X)adonclaformesuivante
χA(X)=(−1)nXn+βn−1Xn−1+···+det(A).
Proposition 6.14 Si Aet Bsont deux matrices semblables, alors χA=χB.
La Proposition 6.12 signifie alors que λest valeur de Asi et seulement si c’est une racine de son
polynôme caractéristique. On peut la reformuler de la façon suivante.
Proposition 6.15 λest valeur propre de A∈M
n(K)si et seulement si χA(λ)=0.
40