Fonction quadratique et trajectoire
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La sécurité routière
On peut établir que la vitesse maximale permise sur
une chaussée mouillée doit être inférieure à celle permise
sur une chaussée sèche. La vitesse maximale sur une chaussée
sèche étant de 90 km/h, on peut donc émettre une conjecture
raisonnable et dire que la vitesse sur une chaussée mouillée
devrait être de 75 km/h. Ainsi, on peut espérer que la distance
d’arrêt d’une voiture qui roule à cette vitesse sur une chaussée
mouillée soit à peu près égale à celle d’une voiture qui roule
à 90 km/h sur une chaussée sèche.
Démonstration de cette conjecture
On détermine la distance d’arrêt (DA) d’une voiture à l’aide de
la distance de réaction de l’automobiliste (DR) et de la distance
de freinage de la voiture (DF).
DADRDF
On détermine la distance de réaction (DR) en considérant
le temps de réaction moyen d’un automobiliste devant
un obstacle, soit 1,3 s.
DR1,3
V,
où
V
représente la vitesse initiale
de la voiture en m/s.
La distance de freinage (DF) est proportionnelle au carré de
la vitesse initiale, et le coefficient de proportionnalité est ,
où
a
représente la décélération de la voiture. Pour assurer
un maximum de sécurité, il est préférable de considérer la
décélération la moins efficace, autant sur une chaussée sèche,
soit 5 m/s2, que sur une chaussée mouillée, soit 3,4 m/s2.
Sur une chaussée sèche : DF
V
2,
où
V
représente la vitesse initiale de la voiture en m/s.
Sur une chaussée mouillée : DF
V
2,
où
V
représente la vitesse initiale de la voiture en m/s.
Calculer la distance d’arrêt d’une voiture qui roule
à 90 km/h, soit 25 m/s, sur une chaussée sèche.
DADRDF
DA(
V
)1,3
V
DA(25) 1,3 25
DA(25) 95
Une voiture qui roule à 90 km/h, ou 25 m/s, sur une chaussée
sèche aura besoin de 95 m pour s’immobiliser.
252
10
V
2
10
1
6,8
1
10
1
2
a
10
sAÉ Calculer la vitesse maximale sécuritaire permise
sur une chaussée mouillée dans une zone de 90 km/h
par temps sec.
On peut supposer qu’une voiture
qui a une distance d’arrêt de 95 m
sur une chaussée mouillée est
dans une situation aussi sécuritaire
qu’une voiture qui roule à 90 km/h
sur cette même chaussée qui
est sèche. Pour déterminer
cette vitesse maximale sur
une chaussée mouillée,
il suffit de résoudre
l’inéquation ci-contre.
On peut résoudre cette
inéquation en analysant
le signe de la fonction
DA(
V
)1,3
V
95.
Les zéros d’une fonction de la forme générale
f
(
x
)
ax
2
bx
c
sont :
x1et x2
x1–30,2 et x221,38
Ainsi, pour que DA(
V
) soit inférieure ou égale à 0,
il faut que la vitesse
V
soit entre 0 et 21,38 m/s
(on ne retient que les valeurs positives de
V
).
Ainsi, pour que la voiture s’immobilise sur une distance aussi
sécuritaire, soit, au plus, 95 m, il faut qu’elle roule au plus
à 21,4 m/s, soit 77 km/h, sur une chaussée mouillée.
Il est donc raisonnable de permettre une vitesse maximale
de 75 km/h sur une chaussée mouillée, comme on l’avait
présumé dans la conjecture de départ.
La science du cirque
Données importantes
Diamètre de la balle de tennis : 6,5 cm
Longueur du filet : 28,0 cm
Diamètre intérieur de l’anneau : 15,0 cm
Hauteur minimale du centre de l’anneau : 132,5 cm
Hauteur de laquelle la balle sera lancée : 120 cm
Modélisation de la situation
Après quelques essais, on a remarqué qu’il est plus facile
d’exécuter le tir lorsque l’anneau est placé près de soi et
à la hauteur des épaules environ. On placera donc le centre
de l’anneau à 1 m de la ligne de tir et à une hauteur
de 1,5 m. De plus, le sommet de la trajectoire de la balle doit
correspondre à la position du centre de l’anneau pour faciliter
le passage de la balle à l’intérieur de l’anneau.
11
sAÉ
–b
b24ac
2a
–b
b24ac
2a
V
2
6,8
Fonction quadratique et trajectoire
4
DA95
DRDF95
1,3
V
95
1,3
V
95 00
V
2
6,8
V
2
6,8
DA(V)
V
–30,2 21,38
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78
On trouve l’équation associée à la trajectoire de la balle.
y
a(
x
1)21,5
1,2 a(0 1)21,5
a–0,3
y
–0,3(
x
1)21,5
On détermine la position du centre du filet qui correspond
à l’abscisse à l’origine de cette trajectoire.
0–0,3(
x
1)21,5
(
x
1)2
5(
x
1)2
x
1
5 ou
x
1
5.
Le centre du filet se trouve donc à 1
5 m, soit à environ
3,24 m. Le début et la fin du filet se trouvent alors à 3,24 m
0,14 m, soit à 3,10 m et à 3,38 m de la ligne de tir.
Pour que le tir soit réussi selon la disposition des appareils
qu’on a choisie, la balle devra être lancée d’une hauteur
de 1,2 m, soit la hauteur où elle se trouvera lorsqu’elle
passera au-dessus de la ligne de tir. Elle s’élèvera ensuite
jusqu’à ce qu’elle atteigne le sommet de sa trajectoire,
soit 1,5 m, à une distance horizontale de 1 m de la ligne
de tir. C’est à cette hauteur maximale qu’elle franchira
l’anneau. La balle redescendra ensuite jusqu’à son arrivée
dans le filet, complétant ainsi sa trajectoire parabolique.
Mise en place pour le numéro de l’homme-obus
Après quelques recherches, et en se fiant aux données
relatives à David Smith, on peut voir qu’un canon mesure
environ 10 m et que le tir est effectué en fonction d’un angle
d’environ 45°. La hauteur de départ au moment de l’éjection
de la bouche du canon est donc d’environ 7 m. La hauteur
maximale atteinte est de 20 m et le filet se trouve à environ
45 m du canon, à 2 m du sol.
On propose un montage où l’anneau est placé au sommet
de la trajectoire parabolique.
Hauteur de la bouche du canon : 7 m
Distance entre l’anneau enflammé et la ligne de tir : 20 m
Hauteur du centre de l’anneau enflammé : 21 m
La trajectoire de ce tir est représentée par l’équation
y
–(
x
20)221.
7
200
–1,5
–0,3
Distance de la ligne
du tir (m)
0,50 1 1,5 2 2,5 3 3,5
2
1,5
1
0,5
Hauteur
(m)
Trajectoire de la balle
S
(1, 1,5)
P
(0, 1,2)
On détermine la position du centre du filet en remplaçant
y
par 2 dans l’équation puisque le filet se trouve à 2 m du sol.
2(
x
20)221
(
x
20)2
x
20 ou
x
20 .
On en déduit donc que le centre du filet doit se trouver à
43,3 m de la ligne de tir.
Paraboles
et chuchotements
Explication du phénomène
Pourquoi les trajets effectués par les parties de l’onde ont-ils
tous la même longueur?
Chaque parabole est constituée de l’ensemble des points qui
sont situés à égale distance d’un foyer et d’une droite.
Cette droite est perpendiculaire à l’axe de symétrie
de la parabole. Dans le cas présent, elle est donc verticale,
comme dans l’illustration ci-dessous.
Voici une représentation des deux paraboles avec les foyers F1
et F2et les droites
d
1et
d
2qui les définissent.
Deux trajectoires ont été tracées : F1ABF2et F1CDF2.
On peut démontrer que ces deux trajectoires ont la même
longueur.
On prolonge d’abord les segments AB et CD jusqu’aux droites
d
1et
d
2, puis on marque les segments qui sont isométriques.
On constate alors que la longueur de la trajectoire F1ABF2est
égale à la distance entre les points E et F.
De la même façon, la longueur de la trajectoire F1CDF2est
égale à la distance entre les points G et H.
Mais d(E, F) d(G, H) car, les droites
d
1et
d
2étant parallèles,
tous les segments perpendiculaires qui les relient ont la même
mesure.
F1F2
d1d2
AB
CD
EF
GH
F1F2
AB
CD
d1d2
F1
d1
Axe de symétrie
12
sAÉ
3800
7
3800
7
–19 200
–7
–7
200
78
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Donc, les deux trajectoires ont la même longueur.
Voilà pourquoi on peut affirmer que les trajets effectués par
toutes les parties de l’onde sonore d’un foyer à l’autre ont
la même longueur.
Détermination de la position des foyers
Voici une représentation des paraboles dans le plan cartésien.
L’unité est le mètre.
Les trajectoires F1ABF2et F1S1S2F2ont la même longueur.
Grâce à la symétrie, on peut écrire :
longueur de la trajectoire F1ABF220 2d(B, F2);
longueur de la trajectoire F1S1S2F220,8 2d(S2,F
2).
On a donc 20 2d(B, F2)20,8 2d(S2,F
2),ce qui
équivaut à l’équation suivante : d(B, F2)0,4 d(S2,F
2) .
Soit (
x,
0), les coordonnées du foyer F2.
En appliquant la formule de la distance, on obtient :
d(B, F2)
(
x
10)2
(0 1)2
x
220
x
101
et d(S2,F
2)10,4
x.
L’équation encadrée ci-dessus devient donc
x
220
x
101
10,8
x
x
.
En l’élevant au carré, on obtient
x
220
x
101 116,64 21,6
x
x
2.
La résolution de cette équation donne
x
9,775.
La distance entre le sommet S2et le foyer F2est de 0,625,
soit 10,4 9,775.
Les foyers doivent donc se trouver sur l’axe de symétrie
des paraboles, à 625 mm du sommet de chacune d’elles.
Réactivation 1
a.
a
20 000, où
a
correspond au salaire horaire
de M. Leboeuf.
b
20 000, où
b
correspond au revenu annuel
de Mme Beausoleil.
c
20 000, où
c
correspond au revenu par match
de Victor Karpov.
d
20 000, où
d
correspond au revenu mensuel
de Mme Parvenue.
b. 1) 10 000
b
1000 2) 12
d
300 000
3) 2000 4)
a
10 000 2
a
c
15
b
2
Page 194
4
RÉVISION
15,64
1,6
x
y
S
1(–10,4, 0)
S
2(10,4, 0)
F1F2
A
(–10, 1)
B
(10, 1)
c. 1)
b
18 000 2)
d
25 000
3)
c
30 000 4)
a
10 000
d. Salaire horaire de M. Leboeuf : [10 000, 20 000[
Revenu annuel de Mme Beausoleil : [0, 18 000[
Revenu par match de Victor Karpov : [30 000, +[
Revenu mensuel de Mme Parvenue : [20 000, 25 000[
Réactivation 2
a.
P
(10) –32
P
(30) 112
P
(100) 112
Ces valeurs montrent que la production
de 10 000 contenants se traduira par des pertes
de 32 000 $, et que la production de 30 000 et
de 100 000 contenants générera des profits de 112 000 $.
b.
c. –128
Plusieurs interprétations possibles. Exemple :
Le nombre 128 correspond à l’investissement nécessaire
(en milliers de dollars) pour commencer à produire
le médicament.
On peut aussi dire que si l’entreprise ne produisait rien
pendant la période visée, elle subirait une perte
de 128 000 $.
d. Le profit sera nul pour la production de
(
65 5
105
)
et de
(
65 5
105
)
milliers de contenants, soit,
à la centaine près, 13 800 et 116 200 contenants.
e. 1) Si l’entreprise produit moins de 13 800 contenants ou
plus de 116 200 contenants.
2) Si l’entreprise produit entre 13 800 et 116 200
contenants.
f. L’entreprise 65 000 contenants et le profit sera
de 210 000 $.
Profit
(en milliers
de dollars)
Rentabilité d’une entreprise
Quantité
de contenants
produits
(en milliers)
250
200
150
100
50
0
–50
–100
–150
52545 65 85 105 125
P(x)
–
0,08(x 65)
2
210
Page 195
Vision 4 ■ Ressources supplémentaires • Corrigé du manuel – Vol. 1 © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée
80
Mise à jour
1. a) 1)
x
72)
x
10
3) 20 2
x
44) 12
x
0,6 12
x
40
5)
x
4,50 3(
x
4,50)
b)
Plusieurs réponses possibles. Exemple :
8,75 $
2. a) ]–,–2[ b) ,+c) ]–,4[
d) ]–,–4] e) –,f)[–8, +[
g) h) ]–,–2[ i) ⺢
3. a) Soit
x
, la température d’hier. La température
d’aujourd’hui est donc de
x
8.
On a donc –5.
b) La température actuelle se situe entre –9 et –8°C.
4. a)
B
0b)
B
0c)
B
僆⺢
Mise à jour (suite)
5. a)
b) Durant 1 s.
c) Une hauteur de 7,1 m au-dessus du sommet
de la falaise.
d) L’ordonnée est 2,2. Cette valeur représente la hauteur
(en m), relativement au sommet de la falaise, de laquelle
Patrice a lancé la pierre.
e) La hauteur en m où la pierre se trouve plus basse que
le sommet de la falaise.
f)La pierre se trouve plus basse que le sommet
de la falaise lorsque
t
僆1,+, c’est-à-dire
environ 2,2 s après le lancer.
g) La falaise a une hauteur de 12,5 m.
6. a) [1, 3] b) ]–,–0,5]傼[4,5, +[
c) –1,–1
3
2
3
2
7,1
4,9
Hauteur relative
à la falaise
(m)
Hauteur de la pierre lancée par Patrice
du sommet de la falaise
Temps
(s)
8
6
4
2
0
–2
–4
–6
–8
–10
–12
123
Page 199
x
(
x
8)
2
3
2
1
2
Page 198 La fonction
quadratique
(forme générale)
Problème
La hauteur atteinte serait d’environ 16,3 m et la balle
tomberait sur le sol après 8,9 s, environ.
Plusieurs démarches possibles. Exemple :
L’expérience qui est décrite se passe sur la Terre.
Par conséquent, dans la règle de la fonction
h
(
t
)a
t
2b
t
c, la valeur du paramètre a est –4,9.
La hauteur initiale de la balle lancée est de 1 m, donc c 1.
Il ne reste qu’à déterminer la valeur du paramètre b. Sachant
que
h
(
t
)0 si
t
1,56, on a 0 –4,9(1,56)2b(1,56) 1.
La résolution donne b 7,00.
Si l’on répète la même expérience sur la Lune, la hauteur sera
donnée par la règle
h
(
t
)–0,8
t
27
t
1.
En construisant une table de valeurs ou un graphique à l’aide
d’un outil technologique, on peut observer que le zéro positif
de cette fonction, arrondi au dixième près, est 8,9 et que le
maximum de la fonction, arrondi au dixième près, est de 16,3.
Activité 1
a.
L’abscisse du sommet est égale à .
b.
f
(
x
)a(
x
h)2k
f
(
x
)a
x
22ah
x
ah2k
Le paramètre b de la forme générale
f
(
x
)a
x
2b
x
c
est donc égal à –2ah.
En isolant le paramètre h, qui représente l’abscisse
du sommet, on détermine que h –.
c.
Plusieurs réponses possibles. Exemple :
Une fois que l’on connaît la première coordonnée
du sommet, représentée par le paramètre h, on évalue
la fonction pour cette valeur, soit
f
(h).
Exemple :
Soit
f
(
x
)2
x
28
x
3
h–––2
L’ordonnée du sommet est
f
(–2) 2(–2)28(–2) 3–5.
8
4
b
2a
b
2a
–b
2a
Page 201
Page 200
4.1
section
80
Règle de la fonction Valeur Valeur Valeur Abscisse
de a de b de c du sommet
y
12
x
212
x
14 2–12 14 3
y
23
x
212
x
63–12 6 2
y
32
x
216
x
30 21630 –4
y
4–2
x
216
x
25 –216
–25 4
y
5–2
x
28
x
6–2–8–6–2
y
6–
x
28
x
14 –18
–14 4
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Activité 2
a.
Page 202
Activité 3
a. Après 2 s, la distance entre le koudou et la lionne sera
de0m.
La lionne l’aura donc attrapé.
Plusieurs démarches possibles. Exemples :
Par la complétion du carré
2,5
t
220
t
30 0
2,5
t
220
t
–30
t
28
t
–12
t
28
t
16 –12 16
(
t
4)24
t
4±2, c’est-à-dire
t
42
ou
t
4–2.
t
6 ou
t
2
À l’aide de la calculatrice à affichage graphique
Par la factorisation
2,5
t
220
t
30 0
2,5(
t
28t 12) 0
2,5(
t
6)(
t
2) 0
t
60 ou
t
20.
t
6 ou
t
2.
Page 203
Règle sous Règle sous Coordonnées Ordonnée
la forme canonique la forme générale du sommet à l’origine
f
1(
x
)(
x
2)29
f
1(
x
) =
x
2+ 4
x
– 5 (–2,9) –5
f
2(
x
)3(
x
1)23
f
2(
x
) = 3
x
2– 6
x
(1,–3) 0
f
3(
x
)–2(
x
3)210
f
3(
x
) = –2
x
2+ 12
x
– 8 (3,10) –8
f
4(
x
) = (
x
+ 3)2– 4
f
4(
x
)
x
26
x
5(–3,–4) 5
f
5(
x
) = 3(
x
– 1)2– 5
f
5(
x
)3
x
26
x
2(1,–5) –2
f
6(
x
) = –4
(
x
–
)
2+
f
6(
x
)–4
x
29
x
5
(
,
)
5
161
16
9
8
161
16
9
8
10
50
0
b. Premièrement, on sait que le paramètre a est le même dans
les deux formes d’écriture. Quant au paramètre h, on peut
le calculer à l’aide de la relation h que l’on a établie
dans l’activité 1. En évaluant la fonction en h, on obtient
ensuite la valeur du paramètre k. Il ne reste alors qu’à
écrire la règle sous la forme canonique en utilisant
les valeurs des paramètres a, h et k que l’on a déterminées.
c.
f
(
x
)a
x
2
d. Pour
f
1:–5 et 1.
Pour
f
2: 0 et 2.
Pour
f
3:3
5 et 3
5.
Pour
f
4:–5 et –1.
Pour
f
5:1 et 1 .
Pour
f
6: et .
e.
x
ih
f.
x
i–b
b24ac
2a
–k
a
9
161
8
9
161
8
15
3
15
3
4ac b2
4a
–b
2a
–b
2a
À l’aide de la formule quadratique
Pour les zéros
t
1et
t
2, on a :
t
i
t
i
t
i
On obtient donc
t
16 et
t
22.
Peu importe la méthode employée, on ne doit garder,
selon le contexte, que la solution la plus petite, soit
t
2.
b. Non, car la fonction qui décrit l’avance du koudou serait
alors
f
(
t
)2,5
t
220
t
50, et cette fonction n’a aucun
zéro.
c. Non, car la fonction qui décrit l’avance du koudou serait
alors
f
(
t
)2,5
t
220
t
40. Cette fonction a un zéro
qui est 4.
d. Si b24ac 0, alors la fonction a un seul zéro.
Si b24ac 0, alors la fonction a deux zéros.
Si b24ac 0, alors la fonction n’a aucun zéro.
Technomath
a.
Plusieurs réponses possibles. Exemple :
1) La parabole est de plus en plus fermée.
2) L’axe de symétrie s’éloigne de plus en plus de l’axe
des ordonnées.
3) L’ordonnée à l’origine s’éloigne de plus en plus de l’axe
des abscisses.
Page 204
20 10
5
–(–20)
(–20)24
(2,5)(30)
2(2,5)
–b
b24ac
2a
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
1
/
22
100%
