Chapitre 5 : Fonctions de référence.

Chapitre 5 : Fonctions de référence.
I - Fonctions affines.
A ) Etude
1) Définition : Les fonctions affines sont définies sur ℝ par
f : ℝ → ℝ où a  ℝ
x ↦ ax + b et b  ℝ
a est le coefficient multiplicateur
b est l’ordonnée à l’origine. b = f( )
Exemples : Soit f , g, et h les fonctions définies par
f(x) = 2x –1 ; g(x) = -3x +2 ; h(x) = 3
Remarque : Lorsque b = 0, f est une fonction linéaire.
2) Sens de variation.
Propriété : Si a > 0, f est strictement croissante sur ℝ
Si a < 0, f est strictement décroissante sur ℝ
Si a = 0, f est constante sur ℝ
Démonstration : Cas où a > 0
 Soit x et x’ deux réels.
x < x’  < (car a >0)
 (f conserve l’ordre)
d’où f est strictement croissante sur ℝ.
Exercice : Démontrer la proposition pour a <0.
Application aux exemples :
* Le coefficient multiplicateur de f est ….. Il est strictement positif
donc f est une fonction strictement .
* Le coefficient multiplicateur de g est …. Il est strictement
…….. donc g est une fonction strictement
* Le coefficient multiplicateur de h est ..….. donc h est une fonction
................................
3) Courbes représentatives.
Propriété : La représentation graphique de la fonction affine f définie sur
ℝ par f(x) = ax + b est la droite D d’équation y = ax +b
a est le coefficient directeur de la droite et
b est l’ordonnée à l’origine
La droite D passe par le point P(0 ;b)

Application aux exemples : Tracer les courbes de f, g et h.
1) a) Quelle l’image de 2 par f ? de 6 ?
b) Déterminer graphiquement le(s) antécédent(s) de 5 par f ? de 2 ?Et
de –1 ?
c) Déterminer le(s) antécédent(s) par f de 3.
d) Résoudre f(x) = 0. A l’aide du graphique, déterminer le signe de f
selon les valeurs de x.
2) Reprendre les questions avec g.
Exercice 1 : Déterminer le sens de variation puis tracer dans un même
repère, les représentations graphiques de chacune des fonctions f, g, h
et k définies par :
f(x) = 3x – 1; g(x) = -2x +3; h(x)= x +6
et k(x) =2x.
1) Résoudre f(x) = 0
en déduire le signe
de f(x) selon les
valeurs de x.
2) Résoudre
graphiquement puis
algébriquement l’inéquation
h(x) < g(x)
Exercice 2 : 1) Dans un repère orthonormé( 1 unité :2cm), tracer les
représentations graphiques de f, g et h de coefficients multiplicateurs
respectifs :
1-et ;
4
3
;
2
1
en sachant que l’image de 2 est 3 .
2) Lire l’ordonnée à l’origine de chaque droite.
L’ordonnée à l’origine de Cf est 2
L’ordonnée à l’origine de Cg est 1,5
L’ordonnée à l’origine de Ch est 5
3) En déduire l’expression de chacune des fonctions.
Exercice 3 : Tracer les droites.
D1 d’équation : y = 2x + 1 D2 : y = x – 3 D3 : y = 4.
D4 : y = -3x + 4 D5 : y =
7
2
x +1
Solution : D1 est la représentation graph. De la fonction affine : x → 2x +1
… tableau de valeurs.

B ) Caractérisation.
a) Soit f1 , f2, et f3 les fonctions définies par
f1 (x) = 2x –1 ; f2 (x) = -3x +2 ;
f3(x) = 3
* Soit x et x’ représentent deux nombres réels.
Simplifier le quotient
'
)'()( 11 xx xfxf
en remplaçant f1(x) et
f1 (x’) par leur expression. A quoi est égal ce quotient. ?
* Refaire avec f2 et f3.
b) Proposition :
Autrement dit : si A et B sont deux points de la droite Cf d’équation
y = ax +b alors
a = 
c) Tracer la représentation de f sachant que le coefficient multiplicateur est
7
4
et que f(1)= -1
 Comme f(1) =-1, Cf passe par le point de coordonnées (1 ;-1).
 De plus,
7
4
=
abscisses des différence ordonnées des différence
d) Soit f une fonction affine telle que f(-2) = 1 et f(6) =3
Trouver l’expression de f.
 f est une fonction affine, elle a une expression de la forme ax + b
où a =
4
1
8
31
62 )6()2( 
 ff
d’où f ; x →
4
1
x + b
Comme f(-2) =1
4
1
(-2) +b =1 … b =1,5
Il en résulte que :
La fonction f est définie sur ℝ par : f(x) =
4
1
x +1,5.

II - La fonction carrée
Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = x2
On peut noter aussi : f : ℝ ↦ℝ
x ↦ x2
A ) Variations.
La fonction carrée est strictement décroissante sur ]- ; 0] et strictement
croissante sur [0 ; + [
Tableau de variation
B ) Courbe.
Tableaux de valeurs
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
f(x)
La courbe de la fonction carrée est
une parabole d’équation y = x2.
La courbe de la fonction carrée est
symétrique par rapport à l’axe des
ordonnées.
On dit que la fonction f est paire :
Pour tout x réel, f(x) = f(-x)
C ) Exemples d’utilisation.
Ex1 : Résoudre les équations : a) x2 = 9 b) x2 = 5
Propriété : a > 0
x2 = a  x =
a
ou x =
a
Ex 2 : Résoudre les inéquations : a) x2 ≤ 4 c) x2 > 6
Ex 3 : Montrer que la fonction g définie par g(x) = (x +1)2 est décroissante
sur ]- ; -1]
III - La fonction inverse.
La fonction inverse f est la fonction définie par f(x) =
x
1
Elle n’est pas définie pour 0. On dira que 0 est une valeur interdite
La fonction inverse est définie sur ℝ* ( ℝ\{0})
A ) Variations
Tableau des variations
Remarque : La fonction est décroissante
sur … mais pas sur ℝ* .
B ) Courbe
+ parité
C ) Exemples d’utilisation.
Donner les variations de la fonction g définie sur ]1 ; +∞ [ par :
g(x) =
7
1
5
x

IV - Fonction racine carrée.