Chapitre 5 : Fonctions de référence. I- Exercice : Démontrer la proposition pour a <0. Application aux exemples : * Le coefficient multiplicateur de f est ….. Il est strictement positif Fonctions affines. A) donc f est une fonction strictement Etude 1) Définition : Les fonctions affines sont définies sur ℝ par f:ℝ→ℝ x ↦ ax + b où a ℝ et b ℝ * Le coefficient multiplicateur de g est …. Il est strictement …….. donc g est une fonction strictement * Le coefficient multiplicateur de h est ..….. donc h est une fonction a est le coefficient multiplicateur b est l’ordonnée à l’origine. b = f( ) ................................ Exemples : Soit f , g, et h les fonctions définies par f(x) = 2x –1 ; g(x) = -3x +2 ; h(x) = 3 Remarque : Lorsque b = 0, f est une fonction linéaire. 3) Courbes représentatives. Propriété : La représentation graphique de la fonction affine f définie sur ℝ par f(x) = ax + b est la droite D d’équation y = ax +b a est le coefficient directeur de la droite et b est l’ordonnée à l’origine 2) Sens de variation. Propriété : Si a > 0, f est strictement croissante sur ℝ Si a < 0, f est strictement décroissante sur ℝ Si a = 0, f est constante sur ℝ Démonstration : Cas où a > 0 Soit x et x’ deux réels. x < x’ < d’où f est strictement croissante sur ℝ. . (car a >0) (f conserve l’ordre) La droite D passe par le point P(0 ;b) Application aux exemples : Tracer les courbes de f, g et h. 1) Résoudre f(x) = 0 en déduire le signe de f(x) selon les valeurs de x. 2) Résoudre graphiquement puis algébriquement l’inéquation h(x) < g(x) 1) a) Quelle l’image de 2 par f ? de 6 ? b) Déterminer graphiquement le(s) antécédent(s) de 5 par f ? de 2 ?Et de –1 ? c) Déterminer le(s) antécédent(s) par f de 3. d) Résoudre f(x) = 0. A l’aide du graphique, déterminer le signe de f selon les valeurs de x. Exercice 2 : 1) Dans un repère orthonormé( 1 unité :2cm), tracer les représentations graphiques de f, g et h de coefficients multiplicateurs respectifs : 1 3 ; ; et - 1 en sachant que l’image de 2 est 3 . 2 4 2) Lire l’ordonnée à l’origine de chaque droite. L’ordonnée à l’origine de Cf est 2 L’ordonnée à l’origine de Cg est 1,5 L’ordonnée à l’origine de Ch est 5 2) Reprendre les questions avec g. 3) En déduire l’expression de chacune des fonctions. Exercice 1 : Déterminer le sens de variation puis tracer dans un même repère, les représentations graphiques de chacune des fonctions f, g, h et k définies par : f(x) = 3x – 1; g(x) = -2x +3; h(x)= x +6 et k(x) =2x. Exercice 3 : Tracer les droites. D1 d’équation : y = 2x + 1 D4 : y = -3x + 4 D2 : y = x – 3 2 D5 : y = x +1 7 D3 : y = 4. Solution : D1 est la représentation graph. De la fonction affine : x → 2x +1 … tableau de valeurs. c) Tracer la représentation de f sachant que le coefficient multiplicateur est B) 4 et que f(1)= -1 7 Caractérisation. a) Soit f1 , f2, et f3 les fonctions définies par f1 (x) = 2x –1 ; f2 (x) = -3x +2 ; Comme f(1) =-1, Cf passe par le point de coordonnées (1 ;-1). De plus, f3(x) = 3 4 différence des ordonnées = 7 différence des abscisses * Soit x et x’ représentent deux nombres réels. Simplifier le quotient f 1 ( x ) f 1 ( x' ) en remplaçant f1(x) et x x' f1 (x’) par leur expression. A quoi est égal ce quotient. ? * Refaire avec f2 et f3. b) Proposition : 𝑓 est une fonction Pour tous les réels 𝑥 et 𝑥 ′ dist𝑖𝑛cts affine définie } ⇔ { 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥 ′ ) = ⋯ et 𝑓(0) = ⋯ par 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑥 − 𝑥′ d) Soit f une fonction affine telle que f(-2) = 1 et f(6) =3 Trouver l’expression de f. Autrement dit : si A et B sont deux points de la droite Cf d’équation y = ax +b alors a = 𝑑𝑖𝑓𝑓é𝑟𝑒𝑛𝑐𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑜𝑟𝑑𝑜𝑛𝑛é𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑓é𝑟𝑒𝑛𝑐𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑎𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑠𝑒𝑠 f est une fonction affine, elle a une expression de la forme ax + b où a = f (2) f (6) 1 3 1 26 8 4 d’où f ; x → 1 x+b 4 Comme f(-2) =1 1 (-2) +b =1 … b =1,5 4 Il en résulte que : La fonction f est définie sur ℝ par : f(x) = 1 x +1,5. 4 II - La fonction carrée Ex1 : Résoudre les équations : a) x2 = 9 Propriété : a > 0 x2 = a x = a ou x = Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = x2 On peut noter aussi : f : ℝ ↦ℝ x ↦ x2 A) c) x2 > 6 Ex 3 : Montrer que la fonction g définie par g(x) = (x +1)2 est décroissante sur ]- ; -1] Variations. III - La fonction inverse. Courbe. Tableaux de valeurs x -3 -2 f(x) 1 x Elle n’est pas définie pour 0. On dira que 0 est une valeur interdite La fonction inverse f est la fonction définie par f(x) = -1 0 1 2 3 La fonction inverse est définie sur ℝ* ( ℝ\{0}) La courbe de la fonction carrée est une parabole d’équation y = x2. La courbe de la fonction carrée est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. On dit que la fonction f est paire : Pour tout x réel, f(x) = f(-x) A) Exemples d’utilisation. Variations Tableau des variations Remarque : La fonction est décroissante sur … mais pas sur ℝ* . B ) Courbe + parité C) C) a Ex 2 : Résoudre les inéquations : a) x2 ≤ 4 La fonction carrée est strictement décroissante sur ]- ; 0] et strictement croissante sur [0 ; + [ Tableau de variation B) b) x2 = 5 Exemples d’utilisation. Donner les variations de la fonction g définie sur ]1 ; +∞ [ par : 5 7 g(x) = x 1 IV - Fonction racine carrée.