φ : u = ∂φ ∂ x ∂ φ ∂ y ∂ φ ∂z ∂2 φ ∂ x2 + ∂ 2 φ ∂ y2 + ∂ 2 φ

V. ECOULEMENT POTENTIEL
Dans ce chapitre nous allons étudier les problèmes des écoulements potentiels et
leurs solutions.
V.1 Introduction et Rappel
Rappel : Potentiel de Vitesse
Si l’effet visqueux peut être négligeable, écoulements à faible vitesse peuvent être
considérés irrotationnels, et on a
∇
×
V
=
0, qui donne la condition pour que le
potentiel de vitesse puisse exister :
: ∇×V=0 V =
∇
φ
: u=
∂
φ
∂ x, v=
∂
φ
∂ y, w=
∂
φ
∂ z
L’équation de continuité, ∇
⋅
V
=
0, donne l’équation de Laplace :
∇2V=
∂
2
φ
∂ x2+
∂
2
φ
∂ y2+
∂
2
φ
∂ z2=0
L’équation de mouvement donne l’équation de Bernoulli :
∂
φ
∂ t+P
ρ
+1
2V2+gz =const . Où
φ ∇=V
Rappel : Fonction de Courant
Pour un écoulement plan et incompressible au plan x-y d’un système cartésien, une
fonction de courant existe :
y
u∂
Ψ
∂
= et x
v∂
Ψ
∂
−=
V - 1

La condition pour un écoulement irrotationnel en est réduite à l’équation de
Laplace avec Ψ:
∂
2
Ψ
∂ x2+
∂
2
Ψ
∂ y2=0
Pour les surfaces solides Ψsolides = const.
Fig.5.1 : Lignes de
courant et les lignes
potentielles sont
orthogonales et on peut
renverser leurs rôles s’il
devient nécessaire : (a)
l’écoulement typique
sans friction, (b) le
même que (a) mais Ψ et
φ sont renversés
Coordonnées Polaires planes
Les équations de Cauchy-Riemann pour les composants de vitesse au plan polaire
(r, θ) en fonction de potentiel de vitesse et de ligne de courant φ, et Ψ sont :
vr=
∂
φ
∂ r=1
r
∂
Ψ
∂θ
v
θ
=1
r
∂
φ
∂θ
=−
∂
Ψ
∂ r
Dans ce système de coordonnées l’équation de Laplace est:
1
r
∂
∂ rr
∂
φ
∂ r
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟ +1
r2
∂
2
φ
∂θ
2=0
V - 2

V.2 Ecoulement Plan Elémentaire
Nous avons vu les trois écoulements potentiels : (a) écoulement homogène et
parallèle, (b) source ou puits à l’origine, et (c) fil tourbillonnaire à l’origine. Nous
pouvons les utiliser pour développer des écoulements potentiels plus complexes.
Ces écoulements sont :
(a) iU, dans la direction x :
Ψ
=
Uy
φ
=Ux
(b) source ou puits :
Ψ
=
m
θ
φ
=mln r
(c) Fil tourbillonnaire :
Ψ
=
−
Klnr
φ
=K
θ
Dans les cas (b) et (c), l’intensité de source ‘m’ et l’intensité de tourbillon ‘K’ ont
la même dimension [L2/t].
Si nous écrivons l’écoulement homogène et parallèle dans les coordonnées
polaires, nous avons:
(a) iU :
Ψ
=
U
r
sin
θ
φ
=U
r
cos
θ
Pour un écoulement en mouvement avec un angle α par rapport à l’axe x, nous
pouvons écrire:
u=Ucos
α =
∂
Ψ
∂ y
=
∂
φ
∂ x
v=Usin
α =−
∂
Ψ
∂ x
=
∂
φ
∂ y
Après intégration, nous obtenons les expressions pour la fonction de courant et le
potentiel de vitesse :
Ψ=
U
y
cos
α
−xsin
α
()
φ
=
U
xcos
α
+
y
sin
α
(
)
V - 3

Circulation
La circulation de fluide est une conception très utile dans le traitement des
problèmes, en particulier, dans l’analyse aérodynamique.
Nous définissons la circulation Γ
comme l’intégrale prise de l’arc dS
fois la vitesse tangentielle de la
courbe fermée C ; e.g.
Γ=
V
cos
α
d
s
c
∫=
V
⋅ds
c
∫
Γ= udx+vdy+wdz()
c
∫
Fig. 5.2 Définition de circulation
Pour la majorité des écoulements, l’intégrale le long d’une courbe fermée à partir
d’un point jusqu’au même point donne Γ = 0. Pourtant, pour un écoulement
tourbillonnaire, φ = K θ, et l’intégration produit Γ = 2 π K.
Une circulation équivalente peut être conçue en définissant une trajectoire
circulaire de rayon r au centre du tourbillon et nous pouvons obtenir :
Γ= v
θ
c
∫ds=K
r
0
2
π
∫rd
φ =2 π K
Point Important: Une source ou puits ne produit pas une circulation. Sans
tourbillons, la circulation sera zéro pour n’importe quelle trajectoire fermée
autour de n’importe quel nombre de source ou puits.
V.3 Superposition des Ecoulements Potentiels
Grâce au caractère mathématique des équations des écoulements potentiels, le
principe de superposition peut être utilisé pour déterminer les solutions des
écoulements complexes. Pour se faire, nous pouvons faire sommation des
V - 4

potentiels de vitesse et des fonctions de lignes élémentaires individuels. La
technique est montrée graphiquement à la figure suivante :
Par exemple, la valeur de la
fonction de courant à chaque
intersection est égale au somme
des fonctions de courant
traversant ce point.
Ça sera la même pour le
potentiel de vitesse à un point
d’intersection d’un écoulement
combiné.
Fig. 5.3 Superposition d’écoulements
Quelques exemples classiques de superposition d’écoulements sont présentés dans
la suite :
1. Source m au (-a, 0) ajoutée à un puits au (+a, 0).
ψ =−mtan−12a
y
x2+y2−a2
φ =1
2
mln x
+
a
(
)2+y2
x−a
()2+y2
Les lignes de courant et de potentiel sont deux familles de cercle orthogonal
comme montrées à la figure 5.4.
Fig. 5.4 Superposition de source (-1,0) et de puits (1,0)
V - 5