Intégration

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Intégration
Calcul de primitives
Exercice 1 [ 01960 ] [correction]
Déterminer les primitives suivantes :
a) Ztet2dtb) Zln t
tdtc) Zdt tln t
Exercice 2 [ 00279 ] [correction]
Déterminer les primitives suivantes :
a) Zcos tsin tdtb) Ztan tdtc) Zcos3tdt
Exercice 3 [ 00280 ] [correction]
Déterminer les primitives suivantes :
a) Zt2
1 + t3dtb) Zt
√1 + t2dtc) Zt
1 + t4dt
Exercice 4 [ 01962 ] [correction]
Déterminer les primitives suivantes :
a) Zdt
it + 1 b) Zetcos tdtc) Ztsin tetdt
Exercice 5 [ 01961 ] [correction]
Soit λ∈C\R,a=Re(λ)et b=Im(λ). Etablir
Zdt
t−λ= ln |t−λ|+iarctan t−a b+Cte
Exercice 6 [ 03774 ] [correction]
Calculer pour tout x∈Rl’intégrale
Zx
0
dt
3 + cos2t
Calcul d’intégrales
Exercice 7 [ 01964 ] [correction]
Calculer les intégrales suivantes :
a) Z2
1
dt
t2b) Z1
0
dt
1 + t2c) Z1/2
0
dt
√1−t2
Exercice 8 [ 00284 ] [correction]
Calculer les intégrales suivantes :
a) Z2π
0
cos2tdtb) Z2
1
ln tdtc) Z1
0
t
√1 + t2dt
Exercice 9 [ 01963 ] [correction]
Pour m, n ∈N, calculer
Im,n =Z2π
0
cos(mt) cos(nt) dt
Exercice 10 [ 01547 ] [correction]
Démontrer que, pour tout Q∈R[X],
Z1
−1
Q(t) dt=−iZπ
0
Q(eiθ)eiθ dθ
Exercice 11 [ 02508 ] [correction]
Soit λun réel tel que |λ| 6= 1
a) Etudier la fonction
fλ(x) = sin x
√1−2λcos x+λ2
b) Calculer
Zπ
0
fλ(x) dx
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Propriétés de l’intégrale
Exercice 12 [ 01965 ] [correction]
Soient f: [a, b]→Rune fonction continue par morceaux et c∈]a, b[.
Montrer que
1
b−aZb
a
f(t)dt6max 1
c−aZc
a
f(t)dt, 1
b−cZb
c
f(t)dt!
Exercice 13 [ 01966 ] [correction]
Soit f:R→Rcontinue et T > 0. On suppose que
Zx+T
x
f(t) dt=Cte
Montrer que fest périodique.
Exercice 14 [ 01967 ] [correction]
Soit f: [a, b]→Rcontinue. Montrer
Zb
a
f(t)dt =Zb
a|f(t)|dtsi, et seulement si, f>0ou f60
Exercice 15 [ 01767 ] [correction]
fétant continue sur [a, b]et à valeurs dans R, trouver une condition nécessaire et
suffisante pour que Zb
a
f(x) dx =Zb
a|f(x)|dx
Exercice 16 [ 03051 ] [correction]
Soient (a, b)∈R2avec a<bet f∈ C0([a, b],C).
A quelle condition portant sur fa-t-on
Zb
a
f =Zb
a|f|?
Exercice 17 [ 01968 ] [correction]
Soit f: [0,1] →Rcontinue telle que
Z1
0
f(t)dt=1
2
Montrer que fadmet un point fixe.
Exercice 18 [ 01969 ] [correction]
Soit f: [a, b]→Rune fonction continue.
Montrer :
∃c∈]a, b[,1
b−aZb
a
f(t)dt=f(c)
Exercice 19 [ 01970 ] [correction]
[Formule de la moyenne]
Soient f, g : [a, b]→Rcontinues avec g>0.
Montrer qu’il existe c∈[a, b]tel que
Zb
a
f(t)g(t)dt=f(c)Zb
a
g(t)dt
Exercice 20 [ 03092 ] [correction]
[Seconde formule de la moyenne]
Soient f, g : [a, b]→Rdeux fonctions continues avec fdécroissante et positive.
a) Pour n∈N?, on pose
Sn=
n−1
X
k=0
f(ak)Zak+1
ak
g(t) dtavec ak=a+k(b−a)
n
Montrer que
Sn−−−−−→
n→+∞Zb
a
f(t)g(t) dt
b) On introduit Gla primitive de gs’annulant en a.
Montrer que
f(a) min
[a,b]G6Sn6f(a) max [a,b]G
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c) En déduire qu’il existe c∈[a, b]vérifiant
Zb
a
f(t)g(t) dt=f(a)Zc
a
g(t) dt
d) Soient f, g : [a, b]→Rcontinues avec fmonotone.
Montrer qu’il existe c∈[a, b]tel que
Zb
a
f(t)g(t) dt=f(a)Zc
a
g(t) dt+f(b)Zb
c
g(t) dt
Exercice 21 [ 03188 ] [correction]
Soit fune fonction réelle de classe C1positive et décroissante sur I= [a, b].
Soit gune fonction continue sur I. On définit G:I→Rpar la relation
G(x) = Zx
a
g(t) dt
a) Montrer qu’il existe m, M ∈Rtel que
G([a, b]) = [m, M]
b) Montrer que
Zb
a
f(t)g(t) dt=f(b)G(b)−Zb
a
f0(t)G(t) dt
c) En déduire qu’il existe c∈[a, b]tel que
Zb
a
f(t)g(t) dt=f(a)Zc
a
g(t) dt
Exercice 22 [ 01971 ] [correction]
Soit f: [0, π]→Rcontinue.
a) Montrer que si
Zπ
0
f(t) sin tdt= 0
alors il existe a∈]0, π[tel que fs’annule en a.
b) Montrer que si
Zπ
0
f(t) sin tdt=Zπ
0
f(t) cos tdt= 0
alors fs’annule 2 fois sur ]0, π[.
(indice : on pourra regarder Rπ
0f(t) sin(t−a)dt).
Exercice 23 [ 01972 ] [correction]
Soient (a, b)∈R2tel que a < b,f: [a, b]→Rcontinue et n∈Ntelle que
∀k∈ {0,1, ..., n},Zb
a
tkf(t) dt= 0
Montrer que la fonction fs’annule au moins n+ 1 fois sur [a, b].
Exercice 24 [ 01973 ] [correction]
Soit f: [0,1] →Rcontinue. Montrer que fpossède une unique primitive Ftelle
que
Z1
0
F(t) dt= 0
Exercice 25 [ 01974 ] [correction]
Soit f: [a, b]→R. Montrer que la fonction
x7→ Zb
a
f(t) sin(xt)dt
est lipschitzienne.
Exercice 26 [ 02642 ] [correction]
Soit f: [a, b]→Rune fonction en escalier.
Montrer qu’il existe une subdivision σdu segment [a, b]adaptée à ftelle que
toute autre subdivision adaptée à fsoit plus fine que σ.
Exercice 27 [ 02966 ] [correction]
Soient f: [0,1] →Rcontinue telle que
Z1
0
f(t) dt= 0
mle minimum de fet Mson maximum.
Prouver
Z1
0
f2(t) dt6−mM
Exercice 28 [ 02967 ] [correction]
Soient fet gdeux fonctions croissantes et continues sur [0,1]. Comparer
Z1
0
f(t)g(t) dtet Z1
0
f(t) dt×Z1
0
g(t) dt
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Limite d’intégrales
Exercice 29 [ 01978 ] [correction]
Déterminer les limites suivantes sans pour autant calculer les intégrales
correspondantes :
a) lim
x→0+Zx
−x
sin t2dtb) lim
x→+∞Z2x
x
dt
ln tc) lim
x→+∞Z2x
x
sin t
tdt
Exercice 30 [ 00286 ] [correction]
Déterminer les limites suivantes sans pour autant calculer les intégrales
correspondantes :
a) lim
x→0+Z2x
x
etdt
tb) lim
x→+∞Z2x
x
e1/t
tdtc) lim
x→+∞Z2x
x
cos(1/t)
tdt
Exercice 31 [ 01976 ] [correction]
Soit f: [0,1] →Rcontinue. Montrer que
Z1
0
tnf(t) dt−−−−→
n→∞ 0
Exercice 32 [ 01977 ] [correction]
Soit f:R+→Rcontinue. Déterminer
lim
x→0+
1
xZx
0
f(t)dt
Intégration par parties
Exercice 33 [ 01979 ] [correction]
Déterminer les primitives suivantes :
a) Ztln tdtb) Ztarctan tdtf) Ztsin3tdt
Exercice 34 [ 00263 ] [correction]
Déterminer les primitives suivantes :
a) Z(t2−t+ 1)e−tdtb) Z(t−1) sin tdtc) Z(t+ 1)chtdt
Exercice 35 [ 01980 ] [correction]
Calculer les intégrales suivantes :
a) Z1
0
ln(1 + t2) dtb) Ze
1
tnln tdt(avec n∈N) c) Zeπ
1
sin(ln t) dt
Exercice 36 [ 00287 ] [correction]
Calculer les intégrales suivantes :
a) Z1
0
arctan tdtb) Z1/2
0
arcsin tdtc) Z1
0
tarctan tdt
Exercice 37 [ 01981 ] [correction]
Soit f: [a, b]→Rde classe C1. Montrer que
lim
n→+∞Zb
a
f(t) sin(nt) dt= 0
Exercice 38 [ 03089 ] [correction]
Soient (a, b)∈R2,µ∈R+?et f∈ C2([a, b],R)telles que
∀x∈[a, b],|f0(x)|>µet f0monotone
Montrer : Zb
a
e2iπf(t)dt 61
µπ
Changement de variables
Exercice 39 [ 01982 ] [correction]
Déterminer les primitives suivantes en procédant par un changement de variable
adéquat :
a)Zdt
√t+√t3b) Zln tdt
t+t(ln t)2c) Ze2tdt et+ 1
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Exercice 40 [ 00290 ] [correction]
Déterminer Zdt
t√t2−1
Exercice 41 [ 01983 ] [correction]
Calculer les intégrales suivantes via un changement de variable adéquat :
a) Ze
1
dt
t+t(ln t)2b) Ze
1
dt
t√ln t+ 1 c) Z1
0
dt
et+ 1
Exercice 42 [ 00260 ] [correction]
Calculer les intégrales suivantes via un changement de variable adéquat
a) Z1
0p1−t2dtb) Z1 0
t2p1−t2dtc) Z2
1
ln t
√tdt
Exercice 43 [ 01984 ] [correction]
a) Observer
Zπ/4
0
ln(cos t) dt=Zπ/4
0
ln cos π
4−tdt
b) En déduire
Zπ/4
0
ln(1 + tan t)dt
Exercice 44 [ 01985 ] [correction]
a) Montrer que
Zπ/2
0
cos t
cos t+ sin tdt=Zπ/2
0
sin t
cos t+ sin tdt=π 4
b) En déduire
Z1
0
dt
√1−t2+t
Exercice 45 [ 01986 ] [correction]
Soit f: [a, b]→Rcontinue telle que
∀x∈[a, b],f(a+b−x) = f(x)
Montrer que
Zb
a
xf(x) dx=a+b
2Zb
a
f(x) dx
Exercice 46 [ 00188 ] [correction]
a) Soit f∈ C ([0,1] ,R). Etablir
Zπ
0
tf(sin t) dt=π
2Zπ
0
f(sin t) dt
b) En déduire la valeur de
In=Zπ
0
xsin2n(x)
sin2n(x) + cos2n(x)dx
Exercice 47 [ 03337 ] [correction]
a) Etudier les variations de la fonction x7→ 3x2−2x3.
b) Soit f: [0,1] →Rcontinue. Montrer
Z3/2
−1/2
f(3x2−2x3) dx= 2 Z1
0
f(3x2−2x3) dx
Exercice 48 [ 03193 ] [correction]
Pour aet bdes réels tels que ab > 0, on considère
I(a, b) = Zb
a
1−x2
(1 + x2)√1 + x4dx
a) Calculer I(−b, −a),I(1/a, 1/b)et I(1/a, a)en fonction I(a, b).
b) Pour a, b > 1, calculer I(a, b)via changement de variables v=x+ 1/x puis
v= 1/t.
c) Montrer que la relation ainsi obtenue est valable pour tout a, b tels que ab > 0.
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