Fichier ch11

La force de Lorentz
(Cours XIV)
Une particule ponctuelle de charge q, anim´ee d’une vitesse !v(t) dans un r´ef´erentiel
inertiel et plong´ee dans un champ magn´etique ! Best soumise `a une force
!
F=q!v×! B. (38)
Cette force est appel´ee la force de Lorentz. Dans (38), le champ magn´etique est bien
sˆur ´evalu´e au point Mo`u se trouve la particule `a l’instant tconsid´er´e. D’une mani`ere
empirique, la formule (38) peut en fait ˆetre vue comme d´efinissant le champ magn´e-
tique : on observe que les particules charg´ees anim´ees d’une vitesse non-nulle peuvent
ˆetre soumises `a une force de la forme (38), et on appelle champ magn´etique le champ
de vecteurs ! Bqui intervient dans la formule pour la force.
1. Mouvement d’une particule charg´ee dans un champ magn´etique
On consid`ere une particule ponctuelle de masse met de charge q, plong´ee dans
un champ magn´etique ! B.
1. (*) Montrer que le module |!v|de la vitesse de la particule est une constante
(pour d´emontrer ce r´esultat, on ne fera aucune hypoth`ese sur la forme du champ
magn´etique, qui n’est a priori ni uniforme ni constant).
2. Le but de cette question est de d´emontrer des r´esultats g´en´eraux qui pourront
ˆetre utilis´es dans la suite. On consid`ere un vecteur !a(t) qui satisfait `a l’´equation
diff´erentielle d!a
dt=!ω (t)×!a(t),(39)
o`u !ω (t) est un vecteur qui peut a priori d´ependre du temps.
(a) Montrer que si Pet Qsont deux points d’un solide anim´e d’un mouvement
quelconque, alors le vecteur −→ PQ satisfait `a une ´equation du type (39). ` A
quoi correspond le vecteur !ω (t) dans ce cas ?
(b) Montrer que (39) implique que |!a|ne d´epend pas du temps.
(c) On repr´esente le vecteur !acomme !a=−→ OP, o`u Oest un point fixe. Carac-
t´eriser le lieu des points de l’espace o`u le point Ppeut se d´eplacer.
(d) On suppose maintenant que !ω (t)=ω(t)!uzo`u !uzest un vecteur unitaire
fixe. Montrer que !a·!uzest une constante. Si !a=−→ OP comme dans la
question pr´ec´edente, caract´eriser le lieu des points de l’espace o`u le point
Ppeut se d´eplacer.
43

(e) On introduit un syst`eme de coordonn´ees cart´esiennes (O, !ux,!uy,!uz) et on
suppose que ω=ω!uz, o`u ωest une constante. Calculer les composantes
du vecteur !aen fonction de t. Si !a=−→ OP, quel est le mouvement du point
P?
3. On ´etudie le mouvement de la particule de charge qet de masse mdans le cas
o`u le champ magn´etique ! Best uniforme et constant.
(a) Montrer que la vitesse !v(t) de la particule satisfait `a une ´equation diff´eren-
tielle de la forme (39), pour un vecteur !ω que l’on calculera. On d´ecompose
la vitesse de la particule en une composante parall`ele et une composante
perpendiculaire au champ magn´etique, !v=!v!+!v⊥. D´ecrire l’´evolution de
!v!et de !v⊥au cours du temps.
(b) En introduisant un syst`eme de coordonn´ees cart´esiennes (O, !ux,!uy,!uz) tel
que ! B=B!uz, calculer la trajectoire la plus g´en´erale possible pour la
particule (on donnera les fonctions x(t), y(t) et z(t)). En d´eduire que le
mouvement le long de l’axe du champ magn´etique est uniforme. En d´e-
duire ´egalement que la projection de la trajectoire sur un plan orthogonal
au champ magn´etique est un cercle de rayon Rparcouru `a une vitesse
angulaire constante ω. On exprimera Ret ωen fonction de m,q,Bet |!v⊥|.
(c) Dessiner la trajectoire (en indiquant le sens du mouvement) dans le cas
o`u B>0 pour une particule charg´ee positivement et pour une particule
charg´ee n´egativement.
4. Expliquer comment le r´esultat de la question pr´ec´edente permet de deviner
l’allure qualitative du mouvement d’une particule charg´ee dans un champ ma-
gn´etique non-uniforme, ceci sous certaines hypoth`eses `a discuter.
2. Quelques applications
1. La Terre cr´ee un champ magn´etique qui, math´ematiquement, a exactement la
mˆeme forme que celui d’un champ ´electrique dipolaire, le dipˆole magn´etique
terrestre ´etant orient´e approximativement du pˆole Nord vers le pˆole Sud.
(a) Expliquer qualitativement pourquoi ce champ magn´etique prot`ege la sur-
face de la Terre du vent solaire.
(b) Expliquer qualitativement le ph´enom`ene des aurores bor´eales et australes.
2. Expliquer le principe de fonctionnement d’un spectrom`etre de masse. Quel est
l’int´erˆet d’un tel appareil ?
44

B
Fig. 1 – Trajectoire d’une particule charg´ee dans un champ magn´etique ! B.
3. (*)
(a) On applique un champ magn´etique ! Buniforme et constant et on consid`ere
le mouvement de particules charg´ees, de charges qet de masse m, dans
un plan orthogonal `a ! B. Quel est le temps mis par une particule pour
effectuer un tour complet ? Ce temps d´epend-il du rayon de la trajectoire
de la particule consid´er´ee ?
(b) Expliquer le principe de fonctionnement d’un synchrotron.
4. (*) Un cyclotron est un appareil qui permet de confiner des particules charg´ees
anim´ees d’une tr`es grande vitesse dans une r´egion finie de l’espace, en appli-
quant un champ magn´etique. C’est comme cela que fonctionne en particulier les
acc´el´erateurs de particules utilis´es pour sonder la structure de la mati`ere aux
distances sub-nucl´eaires. On consid`ere des acc´el´erateurs de protons. L’acc´el´era-
teur A a une ´energie de 50 MeV et utilise un champ magn´etique de un Tesla,
l’acc´el´erateur B a une ´energie de 500 GeV et utilise un champ magn´etique de
1.5 T (c’est le Fermilab `a Chicago) et l’acc´el´erateur C (le LHC au CERN) a une
´energie de 7 TeV et utilise un champ magn´etique de 5.5 T. Calculer le rayon de
l’anneau dans lequel circule les protons pour ces trois acc´el´erateurs. Pour faire
le calcul, on pourra utiliser les formules relativistes donnant le rayon Rde la
trajectoire et l’´energie Ede la particule :
R=m|!v⊥|
|qB|!1−|!v|2/c2,E=mc2
!1−|!v|2/c2·(40)
45

Montrer que la limite non-relativiste des formules (40) donne bien les r´esultats
attendus. (R´eponses : RA=1.02 m, RB=1.1 km et RC=4.2 km)
5. (*) On observe la trajectoire d’une particule charg´ee dans une chambre `a bulles,
voir Figure 1. La chambre est plong´ee dans un champ magn´etique uniforme et
constant orient´e comme indiqu´e sur le dessin (il sort de la feuille). La barre noire
dans la chambre `a bulle est une barre de plomb qui ralentit les particules qui la
traverse.
(a) Quel est le sens de la trajectoire de la particule (se d´eplace-t-elle de bas en
haut ou de haut en bas) ?
(b) La particule semble avoir toutes les caract´eristiques d’un ´electron (ceci
peut se d´eduire par exemple `a partir de la longueur de la trace), mais
peut-il r´eellement s’agir d’un ´electron ? Cette exp´erience est `a la base d’une
d´ecouverte fondamentale faite par Carl Anderson en 1932 : laquelle ?
46