4- Équations différentielles linéaires d`ordre 2 et plus

Chapitre 4 : Équations différentielles linéaires d’ordre 2 et plus
! 1- méthode de résolution
! 2- existence et unicité des solutions
! 3- technique de réduction d’ordre
! 4- équation homogène (à coefficients constants)
! 5- solution particulière (méthode des coefficients indéterminés)
! 6- solution particulière (méthode de variation des paramètres)
! 7- le mouvement harmonique
! 8- le circuit électrique RLC
! 9- équations d’ordre supérieure à 2
4-1 Méthode de résolution
Considérons les équations différentielles d’ordre 2 pouvant s’écrire ou se ramener à la
forme générale suivante :
2
2
( , , ) ou , ,
dy dy
yFxyy Fxy
dx
dx
′′ ′
==
Il n’existe pas de technique générale de résolution de ce type d’équations. Cependant, si
l’équation est en plus linéaire ( en y et ses dérivées), alors on pourra plus aisément la ré-
soudre.
( ) ( ) ( ) équation linéaire d'ordre 2yaxybxyHx
′′ ′
++=
Dans l’équation précédente, si a(x) et b(x) sont des constantes au lieu de fonctions de la
variable x, on dit qu’on a une équation linéaire à coefficients constants et on sait résoudre
celle-ci.
Soit une solution générale de ( ) ( ) 0
h
yyaxy
′′ ′
++bxy=
bxyHx
Soit une solution particulière de ( ) ( ) ( )
p
yyaxy
′′ ′
++=
Alors sera la solution générale de ( ) ( ) ( )
hp
yy y yaxybxyHx
′′ ′
=+ + + =
L’équation où H(x) = 0 se nomme l’équation homogène associée et sa solution générale
se nomme la solution homogène.
11 2 2
La solution homogène sera de la forme ( ) ( )
h
yCuxCux=+
12
et sont deux constantes réelles arbitrairesCC
12
( ) et ( ) sont deux solutions linéairement indépendantesux ux

Équations différentielles linéaires d’ordre 2 et plus
-------------------------------------------------
Exemple :
Soit à résoudre 4 3 3 5yyyx
′′ ′
++=−
On peut vérifier par substitution que :
()()()
3
12
233
12 12 12
2
333
12 1 2 12
est la solution générale de l'équation homogène associée
car 4 3 0
9 4 12 3 3 0
xx
h
xx xx xx
xxx xxx
yCe Ce
dd
Ce Ce Ce Ce Ce Ce
dx
dx
Ce Ce Ce Ce Ce Ce
−−
−− −− −−
−− − − −−
=+
++ +++=
⇒+ −− ++ =
3
() ()() ()
2
2
3 est une solution particulière de cette équation
car 3 4 3 3 3 4 3 3 3 5
p
yx
dd
xxx x
dx
dx
=−
−+ −+ −=+ −= −x
Donc la solution générale de l’équation originale sera :
3
12 3
xx
hp
yy y Ce Ce x
−−
=+= + +−
Nous verrons dans les prochaines sections comment trouver ces solutions homogène et
particulière.
4-2 Existence et unicité des solutions
Théorème d’existence et d’unicité pour les équations linéaires d’ordre 2
Considérons l’équation linéaire d’ordre 2 sous sa forme standard :
( ) ( ) ( ) équation linéaire d'ordre 2yaxybxyHx
′′ ′
++=
()
0
où ( ) , ( ) et ( ) sont des fonctions continues sur un intervalle
ouvert , contenant un point .
ax bx Hx
Iab x=
À chaque choix de conditions initiales
00
() et ()yx c y x d
′
==
correspondra une solution unique y(x) satisfaisant l’équation sur l’intervalle I et sa-
tisfaisant les conditions initiales données.
Notion d’indépendance linéaire
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Équations différentielles linéaires d’ordre 2 et plus
Deux fonctions y1(x) et y2(x) sont dites linéairement dépendantes sur un intervalle I s’il
existe 2 constantes réelles k1 et k2 ( au moins une, différente de 0) telles que
11 2 2
() () 0ky x ky x x I+=∀∈
Si la seule façon d’obtenir ce dernier résultat est d’assigner la valeur 0 aux deux cons-
tantes, alors on dit que les deux fonctions sont linéairement indépendantes.
Dans le cas de deux fonctions seulement, elles sont linéairement dépendantes si une des
deux peut s’exprimer comme une constante (réelle) fois l’autre fonction.
Dans le cas de n fonctions, elles sont linéairement indépendantes si aucune des n fonc-
tions ne peut s’exprimer comme une combinaison linéaire des (n-1) autres.
Le résultat suivant permet de systématiser la vérification de l’indépendance de 2 fonc-
tions.
Soient deux fonctions dérivables f(x) et g(x) sur un intervalle I.
Le Wronskien de ces deux fonctions est défini à l’aide d’un déterminant :
()
() ()
(), () () () ()()
() ()
fx gx
W f x gx f xg x f xgx
fx gx ′′
==−
′′
()
Si , ( ), ( ) 0xI Wfxgx
∀∈ ≠
alors on conclut que les deux fonction sont linéairement indépendantes.
Soient 2 solutions y1(x) et y2(x) de l’équation homogène
() () 0
yaxybxy
′′ ′
++=
+
pour x dans un certain intervalle I et où a(x) et b(x) sont continues sur I.
Si les deux solutions sont linéairement indépendantes alors on dit qu’elles constituent un
ensemble fondamental de solutions de cette équation différentielle linéaire homogène.
De plus toute autre solution doit s’écrire comme une combinaison linéaire de cet ensem-
ble fondamental de solutions.
11 2 2
Si ( ) est une solution alors ( ) ( ) ( )yx yx Cy x Cy x⇒=
( pour un choix approprié de valeurs pour C1 et C2 ).
Remarque : la définition précédente du Wronskien n’est pas limitée à deux fonctions.
Par exemple, le calcul du déterminant suivant pourra servir à tester l’indépendance li-
néaire de 3 fonctions :
()
() () ()
(), (), () () () ()
() () ()
ft gt ht
Wftgtht ft gt ht
ft gt ht
′′′
=
′′ ′′ ′′
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Équations différentielles linéaires d’ordre 2 et plus
4-3 Technique de réduction d’ordre
Soit l’équation linéaire homogène d’ordre 2
() () 0yaxybxy
′′ ′
++=
Si on connaît une solution, par exemple y1(x) ou plus simplement y1, alors la substitution
y = v y1 dans l’équation différentielle permettra après simplifications d’obtenir une équa-
tion d’ordre 1 (de forme linéaire et séparable).
-------------------------------------------------
Exemple :
2
23
1
2
Soit 6 0 avec une solution
dy
xy yx
dx −= =
3323
En posant 3 et 6 6
yvx y vx vx y vx vx vx
′ ′ ′′ ′′ ′
=⇒=+ =++
2
0
′′
En substituant dans l’équation différentielle, on obtient :
()
23 2 3 5 4
666 6xvx vx vx vx vx vx
′′ ′ ′′ ′
++− ⇒ +=
En posant vw vw
′′
=⇒ =
On obtient l’équation suivante qui est d’ordre 1 , pouvant se résoudre par variables sépa-
rables ou comme une équation linéaire d’ordre 1 :
54 6
60wx wx w w
x
′′
+=⇒+=0
La solution de cette dernière équation est
12
66 5
5
CdvC C C
wv
dx
xx xx
=⇒=⇒= +=+
−5
KC
La solution générale de l’équation initiale sera :
33
11
22
52
ou
CC
yCxyC
xx
=+ =+
 x
=
-------------------------------------------------
De façon plus générale, on peut montrer que si y1 est une solution de
() () 0yaxybxy
′′ ′
++
alors la substitution y = v y1 dans celle-ci donnera :
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Équations différentielles linéaires d’ordre 2 et plus
()
11 1
1
1
2()
2()
vy v y axy
y
vv ax
y
′
′′ ′
++
′
′′ ′ 
⇒+ + =
0
0
=
On obtiendra ensuite une équation d’ordre 1 (linéaire et séparable)
en posant wv
′
=
4-4 Équation homogène (à coefficients constants)
Considérons le cas général suivant pour une équation différentielle linéaire à coefficients
constants, d’ordre 2
0 où , et et où 0ay by cy a b c a
′′ ′
++= ∈ ≠R
Posons comme candidat-solution la fonction
avec
mx
ye m=∈R
En substituant ce candidat dans notre équation, on obtient :
()
22
0
mx mx mx mx
am e bme ce am bm c e++=++=
Comme la fonction exponentielle n’est jamais nulle, pour avoir un candidat-solution il
faut que :
20am bm c++=
Cette équation se nomme l’équation caractéristique (ou auxiliaire) associée à notre équa-
tion homogène.
Comme la partie gauche est un polynôme de degré 2, les solutions se trouvent aisément à
l’aide de la formule quadratique :
24
2
bb ac
ma
−± −
=
Trois cas peuvent alors se produire :
2
1- si 4 0bac−>
on trouve 2 racines réelles m1 et m2 ;
la solution générale de l’équation différentielle sera :
12
12
mx mx
yCe Ce=+
2
2- si 4 0bac−=
on trouve 1 racine réelle double m ;
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