TD 2014 - LOLB-M.Mbodj - Physique Chimie au lycée par Wahab

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Cours à domicile: 779165576
Lycée El Hadji Omar lamine Badji
Cellules de sciences physiques
Année scolaire 2013-2014
Classe : TS 1
GRAVITATION UNIVERSELLE
EXERCICE 1 : Répondre les questions suivantes en les justifiant si nécessaire
1 Qu'est-ce que le repère géocentrique ?
E
A
2 Enoncer la loi de Newton pour la gravitation.
A
E
A
3 Donner, en fonction de K, M T et r l'expression du champ de gravitation G créé par une masse ponctuelle m en un point A situé à
A
E
A
R
R
la distance r de la position O de cette masse. Calculer l'altitude h à laquelle le champ gravitationnel a diminué de 1%.
4 Donner l'expression du champ de gravitation terrestre G 0 à la surface de la Terre et celle du champ de gravitation terrestre G
A
E
A
R
R
en un point A situé à l'altitude z de la Terre. Trouver la relation entre G et G 0 .…
R
R
5 Montrer qu'au voisinage de la Terre, à l'altitude h (h << R) que le champ de gravitation terrestre G peut se mettre sous la forme
A
E
A
2h
: G = G 0 (1- R )
R
R
R
A
A
E
A
R
6 Montrer que la vitesse V d'un satellite en orbite circulaire autour de la Terre à l'altitude z est constante. Donner l'expression de
E
A
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la vitesse V en fonction de la constante gravitationnelle G, du rayon R de la Terre et de l'altitude z du satellite.
Application : Deux satellites (S 1 ) et (S 2 ) en orbite circulaire autour de la Terre ont respectivement pour altitude z 1 et z 2 . Lequel des
deux satellites a la plus grande vitesse ?
7 Un satellite de masse m décrit une orbite circulaire autour d'une planète de masse M. La période du satellite est T, le rayon de
A
E
A
son orbite est r. Donner, en fonction de T, r et de la constante gravitationnelle G, l'expression de la masse M de la planète.
Application : Le satellite et la planète étant respectivement la Lune et la Terre, calculer la masse de la Terre.
On donne : r = 3,85.105 km et T = 27,25 jours.
U
P
P
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U
8 Qu'est-ce qu'un satellite géostationnaire ? A quelle altitude z G place-t-on un tel satellite ?
A
E
A
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.s
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9 Un satellite tourne autour de la Terre, sur une orbite circulaire de rayon r, dans le plan équatorial terrestre. La Terre est
E
A
ie
A
iq
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c
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m
supposée à symétrie sphérique. Le satellite se déplaçant d'Ouest en Est, quel intervalle de temps T sépare deux passages consécutifs
à la verticale d'un point donné de l'équateur ? (T représente, pour un observateur terrestre situé en un point de l'équateur, la
période de révolution du satellite).
10 Avec quelle vitesse V L faut-il lancer un objet de la surface de la Terre pour qu'il s'en éloigne indéfiniment ? (V L est appelée
A
E
A
R
R
R
R
ys
vitesse de libération ou deuxième vitesse cosmique).
EXERCICE 2 :
La Terre est assimilée à une sphère homogène de centre O de masse M et de rayon R. Le champ de gravitation créé par la Terre en
������⃗
�⃗ = K M2 �u⃗ K est la constante universelle de gravitation et �u⃗ = OA .
tout point A de l'espace situé à une distance r du point O est : G
������⃗�
r
�OA
1. Un satellite (S) de masse m décrit d'un mouvement uniforme une orbite circulaire de rayon r autour de la Terre. Le mouvement
est rapporté au repère géocentrique et on suppose que (S) est soumis à la seule action du champ de gravitation terrestre.
1.a. Exprimer la vitesse v de (S) en fonction de l'intensité G 0 du champ de gravitation au sol de R et r.
1.b. En déduire l'expression de la période T du mouvement. Calculer T pour r = 8000 km.
����⃗.
2. Le travail élémentaire de la force de gravitation est donné par dW = �F⃗ .dr
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A
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2.a. Montrer que le travail de la force de gravitation lors du déplacement du satellite du sol jusqu'à l'orbite de rayon r est donnée
1
1
par : W = mG 0 R2 � − �.
R
R
P
P
r
R
2.b. En déduire l'expression de l'énergie potentielle du système {satellite + Terre} en fonction de G 0 , m, r et R. On choisira le niveau
du sol comme niveau de référence pour l'énergie potentielle.
2.c. Exprimer l'énergie cinétique du satellite en fonction de G 0 , m, r et R. (Extrait Bac CE 96).
EXERCICE 3 :
On étudie le mouvement d’un satellite dans le repère géocentrique. Le satellite, assimilé à une masse ponctuelle m= 300kg décrit
une orbite circulaire dans le plan équatorial de la terre à l’altitude h= 36000km.
1. Montrer que la vitesse V du satellite est constante.
2. Calculer la valeur de la vitesse du satellite et sa période de révolution.
3. En réalité le satellite est géostationnaire. Expliquer l’expression « satellite géostationnaire »
L’énergie potentielle de gravitation du système « satellite-terre » a pour expression E p =-(mG 0 R 0 2/R 0 +h)
Evaluer l’énergie mécanique du satellite dans le champ de gravitation.
Données : -Rayon terrestre : R 0 =6,37.103 km
-Champ de gravitation de la terre à l’altitude h=0 : G 0 = 9,8 N/Kg (Bac 92 C et E Bénin)
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EXERCICE 4 :
Un satellite de masse m = 1 000 kg se déplace à l’altitude h = 500 km. On fera l’étude dans un référentiel géocentrique considéré
comme galiléen.
1) Calculer la vitesse du satellite et son énergie cinétique E c .
2) a) Donner l’expression de son énergie potentielle E p , nulle à l’infini.
b) En déduire l’énergie mécanique E m du satellite.
c) Comparer E p à E c et E m à E c .
3) On fournit au satellite une quantité supplémentaire d’énergie ΔE = + 7.109 J. Il se place sur une nouvelle orbite. Calculer :
a) sa nouvelle énergie cinétique et sa nouvelle vitesse.
b) Sa nouvelle énergie potentielle et sa nouvelle altitude.
EXERCICE 5 :
Un satellite de 220 kg se déplace sur une orbite à peu près circulaire à une altitude de 640 km au-dessus de la surface de la terre.
1) Quelle est sa vitesse ?
2) Quelle est sa période ?
3) Pour différentes raisons, le satellite perd de l’énergie mécanique au rythme moyen de 1,4.105 J à chaque révolution orbitale. En
supposant que la trajectoire est un cercle dont le rayon diminue lentement, déterminer l’altitude du satellite, sa vitesse et sa période
au bout de 1 500 révolutions orbitales.
4) Quelle est la valeur moyenne de la force freinant le satellite ?
EXERCICE 6 :
La constante de gravitation universelle est G = 6,67.10-11 (S.I). On considère une planète P de masse M. Le mouvement de l’un de
ses satellites S assimilable à un point matériel, de masse m, est étudié dans un référentiel considéré comme galiléen, muni d’un
repère dont l’origine coïncide avec le centre O de la planète P et les trois axes dirigés vers trois étoiles fixes. On admet que la
planète a une distribution de masse à symétrie sphérique et que l’orbite de son satellite est un cercle de centre O et de rayon r.
1.-Donner les caractéristiques de la force de gravitation exercée par la planète P sur le satellite S. faire un schéma.
2.-Donner l’expression du vecteur champ de gravitation créé par la planète P au point où se trouve le satellite S. Représenter le
vecteur champ sur le schéma précédent.
3.-Déterminer la nature du mouvement du satellite S dans le référentiel d’étude précisé.
4.-Exprimer le module de la vitesse linéaire v et la période de révolution T du satellite S en fonction de la constante de gravitation G,
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du rayon r de la trajectoire du satellite et de la masse M de la planète P. Montrer que le rapport
r3
T2
est une constante.
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4.1-Sachant que l’orbite de satellite S a un rayon r = 185500 km et que la période de révolution
T = 22,6 heures, déterminer la masse M de la planète P.
4.2-Un autre satellite S’ de la planète P a une période de révolution T’ = 108,4 heures. Déterminer le rayon r’ de son orbite.
EXERCICE 7 :
La terre est assimilée à une sphère homogène, de centre O, de masse M et de rayon R. On se propose d’étudier la mise sur orbite
terrestre d’un satellite de masse m à la distance r du point O. Soit h l’altitude du satellite que l’on assimilera à un point matériel. Le
vol du satellite sur sa trajectoire est dit balistique. Cette phase est précédée par la phase de propulsion durant laquelle le satellite est
soumis à des forces extérieures dues aux fusées afin de lui fournir l’énergie nécessaire pour le satelliser autour de la terre.
4.1. Expliquer pourquoi le vol du satellite sur sa trajectoire est dit balistique ?
4.2. Exprimer l’intensité du vecteur champ de gravitation créé par la terre à un point P de l’espace situé à une distance OP = r.
4.3. Etablir l’expression de l’énergie totale E du satellite dans le champ de gravitation terrestre.
4.4. Exprimer l’énergie totale E 0 du satellite au sol avant la phase propulsée.
4.5. Etablir alors l’énergie W nécessaire pour mettre le satellite sur orbite autour de la terre. Sous quelle forme l’énergie W est-elle
fournie au satellite ?
4.6. En négligeant l’énergie cinétique du satellite au sol due à l’effet d’entraînement de la terre en rotation, exprimer la vitesse de
satellisation en fonction de R et g 0 (intensité de la pesanteur au sol). Faire l’application numérique.
Données : R = 6400 km ; G 0 = 9,81 m.s-2
EXERCICE 8 :
Le tableau suivant rassemble les valeurs numériques des périodes de révolution T et des altitudes z des orbites de quelques
satellites artificiels de la Terre.
R
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U
R
R
P
P
U
Base de lancement
Satellite
T
z (104 km)
P
Kourou
Intelsat-V
23 h 56 min
3,58
P
Baïkonour
Cosmos-197
11 h 14 min
1,91
Chine
Feng-Yun
102,8 min
0,09
Etats-unis
USA-35
12 h
2,02
T2
1. Vérifier, à partir des valeurs numériques du tableau, que le rapport r3 est constant.
T2
2. A partir de la troisième loi de Kepler que l'on établira et de la valeur du rapport r3 , calculer la masse M T de la Terre.
EXERCICE 9 :
On admet que la Terre a une répartition de masse à symétrie sphérique. Elle est considérée comme une sphère de centre O, de rayon
R = 6370 km et de masse M = 5,97.1024 kg.
Le constante de gravitation universelle est G = 6,67. 10-11 N . kg-2. m2
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Un satellite, assimilé à un point matériel, décrit une orbite circulaire de rayon r dans le plan équatorial, autour de la Terre.
1. Montrer que le mouvement du satellite est uniforme.
2. Etablir l'expression de sa vitesse v en fonction de r, M et G.
En déduire l'expression de la période T du mouvement du satellite en fonction de r, M et G.
3. Les données suivantes constituent un extrait de la fiche technique de la mission de la navette spatiale américaine DISCOVERY
pour l'étude environnementale sur l’atmosphère moyenne de la Terre :
a) Masse de la navette en orbite : m = 69,68.103 kg.
b) Altitude moyenne h = 296 km.
c) Nombre d'orbites n = 189. (nombre de tours effectués par DISCOVERY de sa date de lancement jusqu'à la date
d'atterrissage).
3.1.
Déterminer à partir des données techniques, les valeurs numériques de la vitesse et de la période du mouvement de la
navette spatiale DISCOVERY.
3.2.
La navette a atterri le 18 Août 1997 à Kennedy Space Center.
Déterminer la date de lancement de la navette ; on négligera les durées de la mise sur orbite et de l'atterrissage.
4. DISCOVERY a atterri le 18 août 1997, à la date t = 7 h 07 min. Dans la phase d'approche à l'atterrissage, moteurs à l'arrêt, la
navette est soumise à son poids et aux forces de frottement de l'air.
On trouvera ci-dessous la valeur de sa vitesse à différentes dates.
Date
Altitude (km)
Vitesse (m.s-1)
t 1 = 6 h 59 min
54,86
1475
t 2 = 7 h 04 min
11,58
223,5
On prendra g = 9,7 m. s-2 pendant toute la phase d'approche.
4.4.1. Calculer le travail du poids du DISCOVERY entre les dates t 1 et t 2 .
4.4.2. En utilisant le théorème de l'énergie cinétique, calculer le travail des forces de frottement de l'air sur DISCOVERY entre les
instants t 1 et t 2 de la phase d'approche à l'atterrissage. (Extrait Bac S1S3 2003).
EXERCICE 10:
La terre est assimilée à une sphère de rayon R = 6 370 km animée d’un mouvement de rotation uniforme autour de la ligne des
pôles (qui est perpendiculaire au plan de l’équateur). On supposera que le repère géocentrique, dont l’origine coïncide avec le
centre de la terre et dont les axes ont une direction fixe par rapport aux étoiles, est galiléen. A la surface de la terre, l’intensité du
champ de pesanteur est g 0 = 9,8 N/kg. A l’altitude h, elle est égale à :
R2
g h = g 0 (R + h)2
1. Un satellite assimilé à un point matériel, décrit d’un mouvement uniforme une orbite circulaire à l’altitude h = 400 km. L’orbite
est dans le plan de l’équateur.
1.1. Déterminer la vitesse v du satellite dans le repère géocentrique.
1.2. Déterminer, dans le même repère, la période T et la vitesse angulaire ω 0 du satellite.
1.3. Le satellite se déplace vers l’est. Calculer l’intervalle du temps qui sépare deux passages successifs du satellite à la verticale
d’un point donné de l’équateur (la vitesse angulaire de rotation de la terre dans le repère géocentrique est ω T = 7,29.10-5 rad/s, et
on rappelle que, dans ce repère, la vitesse d’un point de l’équateur est dirigée vers l’est).
2. Un satellite géostationnaire reste en permanence à la verticale d’un même point du globe. Son orbite est dans le plan de
l’équateur.
2.1. Quelle est la vitesse angulaire de ce satellite dans le repère géocentrique ?
2.2. Calculer le rayon de son orbite.
EXERCICE 11 :
Données : La Terre et la Lune sont considérées comme des corps sphériques homogènes.
Masse de la Lune : M L = 7,34. 1022 kg ; R L = 1 740 km
Distance des surfaces de la Terre et de la Lune D = 384. 103 km
Durée du jour solaire : T 1 = 86 400 s ; Durée du jour sidéral T 2 = 86 164 s.
1. Calculer le champ de gravitation créé par la Lune à sa surface.
2. Calculer la force de gravitation qu'exerce la Lune sur la Terre.
3. En quel point du segment joignant les centres de la Lune et de la Terre la force de gravitation est-elle nulle ?
4. Démontrer que l'énergie potentielle de gravitation d'un corps de masse m situé à la distance r du centre d'une planète de masse
m.M
M, vaut : E p = - K r . Prendre E p = 0 à l'infini.
5. Exprimer la vitesse de libération V l ou deuxième vitesse cosmique, d'un objet par rapport à une planète de masse M et rayon R en
fonction de K, M et R. Faire l'application numérique pour la Terre et pour la Lune.
6. Déterminer l'altitude à laquelle doit évoluer un satellite terrestre géostationnaire.
7. Un satellite passe tous les 26 jours au-dessus de la verticale d'un lieu terrestre après 370 révolutions, son altitude est alors de 830
km. Ces données sont-elles compatibles avec le fait que le satellite a une trajectoire circulaire autour de la Terre ? Justifier la
réponse. On admet que la période est mesurée à 1 % près. (Extrait Bac S1 S3 2001)
EXERCICE 12 :
Dans tout cet exercice, la terre est considérée comme une sphère homogène, de masse M, de centre O et de rayon R.
P
P
R
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1. Etablir l’expression qui donne l’intensité G du vecteur champ de gravitation terrestre à une altitude h en fonction de sa valeur G 0
au niveau du sol (h = 0).
2. Dans le repère géocentrique, un satellite de la terre décrit une orbite circulaire à une altitude h 1 : établir l’expression de sa
période de révolution T 1 en fonction de R, G 0 et h 1 .
AN : R = 6 370 km ; G 0 = 9,8 N/kg ; h 1 = 3 600 km. Calculer T 1 .
3. On considère maintenant que le satellite, sous l’influence d’actions diverses, perd de l’altitude à chaque tour. La réduction
d’altitude à la fin de chaque tour est supposée égale au millième de l’altitude en début de tour :
h
Δh = 1 000
Le satellite étant initialement à l’altitude h 1 , montrer que dans ces conditions, ses altitudes ultérieures à la fin de chaque tour
varient en progression géométrique. En déduire la valeur n du nombre de tours effectués par le satellite quand il atteint l’altitude
h 2 = 100 km.
EXERCICE 13 :
�⃗o à la surface de la terre.
A-1. Donner l’expression de l’intensité du vecteur champ de gravitation terrestre G
m
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t.c
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2. Donner l’expression de l’intensité du vecteur champ de gravitation terrestre 𝐺𝐺⃗ en un point A situé à une altitude h de la terre.
3. Ecrire la relation qui lie G et G 0 .
Montrer que lorsque h est très faible devant le rayon de la terre R, l’expression précédente peut s’écrire
h
G = G 0 (1 – 2 R ). On posera : masse de la terre = M ; rayon de la terre = R
B- On donne : distance terre-lune r = 380 000 km ; masse de la terre = M T ; masse de la lune = M L ; M T = 81 M L
Un vaisseau spatial se déplace de la terre vers la lune. En un point A situé sur la droite joignant le centre de la terre à celui de la lune,
le champ de gravitation terrestre a même intensité que celui de la lune.
Déterminer la distance de ce point A au centre de la terre. Quel est à votre avis l’intérêt de ce point ?
C- On pose : masse de la terre = M T ; rayon de la terre = R T ; masse du soleil = M S ; rayon du soleil = R S .
Comparer :
l’intensité du champ de gravitation solaire à la surface du soleil et l’intensité du champ de gravitation terrestre à la surface
de la terre.
La masse volumique de la terre et la masse volumique du soleil.
On donne : M S = 330 000 M T ; R S = 110 R T
EXERCICE 14 : (concours santé militaire 2007)
La terre de masse M = 5,98.1024 kg et de rayon R = 6370 km a une répartition de masse à symétrie sphérique.
La constante gravitationnelle est K = 6,67.10-11 N.m2.kg-2 et la durée du jour sidéral est T 0 = 86164 s.
u)
hi
1. Soit un point P situé à l’altitude z, donner, dans le repère (O,
ht
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ph
ys
iq
ue
c
l’expression du vecteur champ de gravitation G (z) créé en P par la terre.
2.
2.1. Un solide ponctuel de masse m est initialement au point P.
Il se déplace jusqu’au point Q situé à la distance r + dr du point O,
dr est très petit par rapport à r.
Exprimer en fonction de K, M, m, r et dr le travail élémentaire dW effectué par la force de gravitation que la terre exercice sur le
solide de masse m.
2.2. En déduire l’expression du travail W de cette force gravitationnelle lorsque r varie de r 1 à r 2 .
Quelle conclusion peut-on tirer sur cette force ?
2.3. En utilisant la relation entre la variation d’énergie potentielle et le travail de la force de gravitation, montrer qu’à l’altitude z,
l’énergie potentielle de gravitation du système (terre-solide) peut se mettre sous la forme :
EP =
−
K .M .m
R+z
si E P (∞) = 0
3. Le solide de masse m est au repos sur la terre en un point de latitude λ.
Exprimer l’énergie mécanique E 0 du solide en fonction de K, M, m, R, λ et T 0 .
Calculer E 0 , on donne m = 800 kg ; g = 10 u.S.I. ; 𝜆𝜆 = 30°
Terre
4. Le solide est maintenant satellisé à l’altitude z. Sa trajectoire dans le repère géocentrique est circulaire de rayon
r = R + z.
4.1. Déterminer l’expression de la vitesse v du satellite dans le repère géocentrique en fonction de K, M et r.
4.2. Déterminer l’expression de son énergie mécanique E.
4.3. Application numérique : z = 600 m. Calculer v et E.
5. Montrer que l’énergie ∆E qu’a fallu fournir au satellite précédent, initialement au repos sur la terre peut se mettre sous la forme :
2
 1 1  2π
− - 2
 R 2r  T0
∆E = KmM 
mR2cos2λ
En déduire, du point de vue énergétique l’emplacement le plus favorable des bases de lancement.
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