L`C` - Free

Frédéric Élie,
février 2017
« Si vous ne dites rien à votre brouillon, votre brouillon ne vous dira rien ! »
Jacques Breuneval, mathématicien, professeur à l’université Aix-Marseille I, 1980
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©Frédéric Élie – http://fred.elie.free.fr, février 2017 - page 1/62

+ ,
+ + 2
Un matériau piézoélectrique, par définition, a la propriété de générer une répartition de charges
électriques dans des directions privilégiées lorsqu'il est soumis à une contrainte mécanique et,
réciproquement, d'être le siège de déformations élastiques lorsqu'il est soumis à un champ
électrique.
Un matériau ordinaire conserve une distribution de charges électriques internes aléatoire de
telle sorte que la charge globale reste nulle, que ce soit sans ou avec contraintes mécaniques.
Ce n'est pas le cas pour les matériaux piézoélectriques.
La direction des déformations n'est pas nécessairement celle de la contrainte appliquée, ni du
champ électrique appliqué, comme l'illustrent les exemples simplifiés de la figure 1.
figure 1 : exemples de types de réponse d'un matériau piézoélectrique à l'action d'une contrainte
mécanique
+ - 3(
Pour un matériau non piézoélectrique, la présence d'un champ électrique 4 (vecteur à 3
composantes spatiales Ei = E1, E2, E3 - unités : V/m), un champ de déplacement électrique 5
(vecteur à 3 composantes spatiales Dj = D1, D2, D3 - unités : C/m²) est généré dans le
matériau ; la permittivité diélectrique du matériau relie linéairement 4 et 5 :
D=[ε] E
soit: Di=εij Ej
(1)
où [e] est le tenseur permittivité diélectrique de 3 x 3 = 9 composantes ei j (i, j = 1, 2, 3),
exprimées en farad/mètre (F/m). L'inversion de la relation (1) s'écrit :
©Frédéric Élie – http://fred.elie.free.fr, février 2017 - page 2/62
/3678
%))699
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E=[β] D
soit: Ej=β ji Di
(2)
où [b] est le tenseur imperméabilité diélectrique, de 9 composantes bi j : [b] = [e]-1 ; unités m/F.
On distingue :
–la constante diélectrique à contrainte constante, éventuellement nulle (matériau libre) :
e Ti j
–la constante diélectrique à déformation constante, éventuellement nulle (matériau
bloqué) : e Si j
Pour un matériau non piézoélectrique, les deux constantes diélectriques sont identiques,
puisque les contraintes ou les déformations sont indépendantes du champ électrique ou du
déplacement électrique.
+ . 3(
Toujours dans le cas d'un matériau non piézoélectrique, on considère maintenant la relation
entre l'action d'une contrainte et la déformation du matériau qu'elle produit.
Comme indiqué dans les ouvrages de mécanique des milieux continus (1), pour un cube
élémentaire de matériau, il y a 9 composantes de contrainte Tij (i,j = 1, 2, 3) et 9 composantes
de déformation Sij (i, j = 1, 2, 3) ; la force exercée suivant la direction spatiale n°i, sur un volume
élémentaire dxdydz dépend des 3 composantes Tij suivant les directions j = 1,2,3 :
Fi=
(
∂Ti1
∂x1
+∂Ti2
∂x2
+∂Ti3
∂x3 )
dx dy dz =∂Tij
∂xj
dx dy dz
(3)
de sorte que, pour définir complètement le champ de force dans les 3 directions xi, i = 1,2,3 on
a besoin des 9 composantes Tij de la contrainte, ou encore tenseur des contraintes [T]
(unités : N/m² ou Pa)
Quant à la déformation, on démontre qu'elle est définie par le tenseur de déformation [S] de
composantes (sans dimensions, ou plus exactement exprimées en m/m) :
Sij=1
2 (
∂ui
∂xj
+∂uj
∂xi )
(4)
où les ui sont les déplacements du matériau suivant la direction xi. La relation linéaire entre les
deux tenseurs [T] et [S] exprime la loi de Hooke généralisée ; mais adoptée telle quelle, elle
fait intervenir un tenseur lourd à manipuler ; pour simplifier l'écriture, et surtout pour mettre en
évidence certaines symétries dans le matériau, on utilise la convention suivante : les tenseurs
[T] et [S] sont transformées chacun en vecteur à 6 composantes :
T1=T11 ; T2=T22 ; T3=T33
T4=T23=T32 ; T5=T13=T31 ; T6=T12=T21
(5)
S1=S11; S2=S22 ; S3=S33
S4
2=S23=S32 ; S5 2=S13=S31 ; S6 2=S12=S21
(6)
puisque les deux tenseurs sont symétriques.
1 J. Salençon: mécanique des milieux continus, Ellipses, Paris, 1988
©Frédéric Élie – http://fred.elie.free.fr, février 2017 - page 3/62

Dans cette convention d'indices, les indices 1, 2, 3 représentent les axes Ox, Oy, Oy
respectivement, et les indices 4, 5, 6 équivalent à un indice double représentant un plan : 4
pour yOz, 5 pour zOx, 6 pour xOy.
La loi de Hooke exprime que, pour de petits déplacements, les déformations sont
proportionnelles aux contraintes, faisant intervenir le tenseur des raideurs à 6 x 6 = 36
composantes [c] (unités : N/m²) :
Tm=cmn Sn ; m , n=1,2,3,4,5,6
(7)
Or on montre que [c] est lui aussi un tenseur symétrique : cmn = cnm ; par conséquent le
comportement élastique du matériau est, a priori, déterminé par 21 constantes d'élasticité au
lieu de 36. Selon les propriétés de symétrie des cristaux composant le matériau, ce nombre
peut diminuer considérablement, abaissant corrélativement le rang des tenseurs. Le nombre de
types de cristaux classés selon les critères de symétrie est égal à 32 ; des ouvrages spécialisés
détaillent ces types et la nomenclature des cristaux concernés (2).
Le cas d'un matériau isotrope est le plus simple puisque les constantes se réduisent au nombre
de 2 :
c11=c22=c33=λ+2μ=Y1−σ
(1+σ)(1−2σ)
c12=c13=c23=c21=c31=c32=λ=Yσ
(1+σ)(1−2σ)
c44=c55=c66=μ=Y1
2(1+σ)
autres cmn=0
(8)
où l et m sont les coefficients de Lamé (unités : N/m²). On définit :
Y: module d'Young ; c'est le rapport entre la contrainte exercée dans une direction spatiale xj
et la déformation dans cette même direction, sous l'hypothèse que les autres faces du sont
libres, ainsi : Y = Tj / Sj ; unités : N/m²
s: coefficient de Poisson ; c'est le rapport entre la contraction dans une direction spatiale i et
l'extension dans une autre direction spatiale j , ainsi : s = - Si / Sj ;
La loi de Hooke généralisée (7) devient alors, compte tenu de (8) :
T1=λ K+2μS1
T2=λ K+2μS2
T3=λ K+2μS3
T4=μ S4
T5=μ S5
T6μS6
(9)
où K désigne la variation relative de volume :
K=S1+S2+S3
(10)
Si l'on choisit i = 1 pour l'axe suivant lequel la contrainte est appliquée, les équations (9)
deviennent :
2 Voir par exemple : Physical Acoustics, Principles and methods, edited by Warren P. Mason,
Academic Press, New York and London, 1964
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T1=(λ+2μ) S1+λ(S2+S3)
0=(λ+2μ)S2+λ (S1+S3)
0=(λ+2μ)S3+λ(S1+S2)
(11)
dont la résolution permet d'exprimer les déformations en fonction des contraintes :
S1=λ+μ
μ(3λ+2μ) T1
S2=S3=− λ
2μ(3λ+2μ) T1
(12)
D'après les définitions du module d'Young et du coefficient de Poisson, il vient :
Y=T1
S1
=μ(3λ+2μ)
λ+μ
σ=− S2
S1
=λ
2(λ+μ)
(13)
et, réciproquement, les coefficients de Lamé s'expriment à l'aide de Y et s :
λ=Yσ
(1−2σ)(1+σ)
μ=Y1
2(1+σ)
(14)
On introduit aussi le module d'expansion en volume (ou « bulk modulus » en anglais) B
comme le rapport entre une pression hydrostatique P appliquée à l'ensemble du matériau et sa
variation de volume ; dans ce cas on a T1 = T2 = T3 = P et T4 = T5 = T6 = 0 d'où :
S1=S2=S3=K
3=−P1 3λ+2μ
et donc :
B=T1
K=λ+ 2μ 3
(15)
Si l'on veut exprimer les déformations en fonction des contraintes, l'inversion de (7) s'écrit :
Sm=smn Tn ; m , n=1,2,3,4,5,6
(16)
où le tenseur des compliances [s] à 36 composantes smn est lui aussi symétrique : smn = snm.
Unités : m²/N. Pour un solide isotrope, on démontre (exercice!) :
s11=s22=s33=1/Y
s12=s13=s23=−σ/Y
s44=s55=s66=1/μ
(17)
+ 0 3(
On considère maintenant le cas d'un matériau piézoélectrique. Les équations précédentes (1),
(2), (7) et (16) doivent être complétées pour prendre en compte :
–les effets d'une contrainte et d'un champ électrique sur les déformations et le
déplacement électrique, le déplacement électrique, et réciproquement,
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