les équations de Maxwell

Equations de Maxwell, présentation active BR
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A. Présentation
B. Analyse
dimensionnelle des 4
équations
On rappelle que l’induction magnétique et le champ magnétique sont deux présentations voisines, la nuance
apparaît surtout en présence de matériaux ferromagnétiques qui amplifient l’effet des courants.
Dans le vide, ou le cuivre donc en l’absence de matériaux magnétique
1
0
1.H B Am
µ
−
=
1. En utilisant la force de Lorentz, donner la décomposition du tesla T unité de B. On lui préfère l’A/m unité de
H plus électrique.
Les opérateurs différentiels comptent pour des dérivées spatiales.
2. Rappeler les unités de H et E.
3. Ecrire chacune des équations comme une équation de dimension sans décomposer les
constantes
0 0
et
ε µ
.
4. Diviser membre à membre Maxwell Faraday et Maxwell Gauss, en déduire la dimension, l’unité du produit
0 0
.
ε µ
5. En divisant membre à membre les équations de dimension de MF et MA, montrer que le rapport
0
0
µ
ε
a la
dimension d’une résistance au carré.
C. Signification de la divergence.
Signification mathématique de la divergence
On s’intéresse au flux d’un champ de vecteur, par exemple le champ
électrique, au travers d’un petit cube, d’arêtes parallèles aux axes. Les
arêtes ont pour valeurs dx, dy, dz.
Le champ de vecteur est le plus général possible, donc, c’est une collection neuf
de neuf fonctions.
6. Un flux c’est quoi ? Pourquoi nécessite-t-il une convention d’orientation ?
7. Représenter trois lignes de champ traversant le cube et donner une idée graphique du flux.
8. Exprimer le flux du champ E à travers une des faces.
9. Montrer que le bilan des flux est une somme de différences.
10. En appliquant l’approximation affine, faire apparaître les dérivées spatiales des différentes composantes.
La divergence d’un champ de vecteur, en un point c’est le flux du champ au travers d’une boîte petite autour
de ce point, divisé par le volume de la boîte.
. . . .
petiteboite
EEE
dx dy dz E dS
x y z
∂∂∂
+ + =
∂ ∂ ∂
∫∫
Application à l’équation Maxwell Gauss.
On rappelle ici le théorème de Gauss.
0
.
boite
petiteboite
Q
E dS
ε
=
∫∫
Ce théorème est intégral, il fait le bilan pour des grands volumes.
La version locale, différentielle est à portée de main.
11. Pour le même petit cube appliquer le théorème de Gauss, et réécrire Maxwell Gauss.
Application à l’équation de Maxwell flux.
12. Montrer que le flux du champ magnétique est nul au travers de toute boîte fermée.
13. En déduire la variation du champ quand les lignes de champ se resserrent, quand elles s’écartent.
( , , )
( , , )
( , , )
x
y
z
E x y z
E E x y z
E x y z
=
( ) ( )
( ) ( )
0 0
0
0
h e
rot e MF MA rot h j
t t
div e MG M div h
µ ε
ρε
∂ ∂
= − = +
∂ ∂
= Φ =

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D. Signification du rotationnel, (curl in english).
Curl signifie boucle, comme boucle de cheveux. Tout est en boucle dans la suite.
14. Qu’est-ce que la circulation d’un champ de vecteur ?
15. Montrer que la circulation du poids sur un contour fermé est nulle.
Cette propriété traduit que le travail du poids ne dépend pas du chemin suivi. La propriété est à rapprocher du
caractère holomorphe d’une fonction de variable complexe, dont l’intégrale dans le plan complexe ne dépend
pas du chemin.
Un petit cadre, dans le plan x, de côté dz, dy, va permettre de dégage la notion de rotationnel. Pour calculer la
circulation, il est nécessaire d’orienter le contour, en choisissant une orientation pour la normale et en
appliquant la règle de la main droite.
16. Représenter la normale, flécher le sens de parcours du carré.
17. Calculer la circulation du champ sur le contour.
18. Montrer qu’il s’agit d’une somme de différences finies, appliquer l’approximation affine.
19. Généraliser la définition du rotationnel dans le cas d’autres orientations de la surface.
La relation obtenue est un lien entre une intégrale de dimension 2 (le flux) et une intégrale de dimension 1 (la
circulation).Le nom de Monsieur Stockes (1819 1903) y est attaché. On peut dire ½.
E. Application au lien courant champ magnétique : équation de
Maxwell Ampère en statique.
20. Citer le théorème d’Ampère : lien entre le champ H et ses sources.
21. Donner une application dans le domaine de la mesure.
22. Comment passer de ce théorème intégral à une relation locale ?
23. Transformer le membre contenant H à l’aide du théorème ½ (Stockes).
24. Modifier le membre lié au courant pour obtenir une formulation locale.
F. Application au lien champ électromoteur et dérivée
temporelle du champ H : induction.
25. Rappeler les applications de l’induction.
26. Donner la formulation de la loi de Faraday.
27. Faire apparaître les intégrales dans la relation.
28. Transformer chaque intégrale à l’aide de la loi adaptée.
29. Passer à la formulation locale. Admirer la pureté de cette relation cristalline.

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G. Equation de conservation de la charge
30. En raisonnant sur un petit cube, calculer le flux du vecteur densité de courant au travers des faces du
cube.
31. Lier ce flux à la variation de la charge contenue dans le cube.
32. Transformer cette formulation intégrale en une formulation locale.
33. En prenant la divergence de l’équation de Maxwell Ampère complétée, montrer que le nouveau terme
permet de retrouver la conservation de la charge.
H. Ajout d’un terme dans la loi de Maxwell Ampère
On admettra, pour y revenir, l’égalité
( ( )) 0
div rot Champ
=
quel que soit le champ.
34. Rappeler le théorème d’Ampère, lien entre le champ H et les distributions de courants.
35. En déduire une formulation locale, version statique de l’équation de Maxwell Ampère.
36. Exprimer la divergence des deux membres de l’équation. En statique ça colle.
On se place en régime variable, on confronte M A statique et la conservation de la charge.
37. Montrer que la divergence de MA et la conservation de la charge sont en contradiction.
38. Dériver alors Maxwell Gauss par rapport au temps.
39. Appliquer la conservation de la charge.
40. Admirer le terme dit de courant de déplacement
0
E
t
ε
∂
∂
, introduit par Maxwell himself.
41. Par une analyse dimensionnelle montrer qu’il est homogène à une densité de courant. On peut utiliser le
champ créé par une charge
0
4 ²
q
E
r
πε
=
I. Importance relative des courants de conduction et de déplacement.
On rappelle la valeur numérique de
9
0
1
9.10
4 πε
= , la conductivité du cuivre est
6 1
6.10 .
m
σ
−
= Ω .
La loi d’Ohm locale est
.
j E
σ
= , les fonctions sont de type sinusoïdales.
42. Calculer la fréquence pour laquelle le courant de déplacement égale le courant de conduction.
43. En déduire que cette fréquence est au-delà du visible.
44. Dans quelle situation, alors, les courants de déplacements sont-ils prépondérants ?
J. Forces de Coulomb, Lorentz, Laplace.
On rappelle pour compléter la liste les expressions des forces électromagnétiques.
 Force sur une charge
F qE qV B
= + ×
 Force sur un courant .
F il B
= ×