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Matrices Matrices Contenu de la section Matrices Matrices Contenu de la section Matrices Introduction Opérations sur les matrices Introduction Matrices Introduction Utilisations des matrices : I Résolution de systèmes d’équations I Modélise des transformations simples : les « applications linéaires » (p.ex. rotations et symétries) I S’utilisent dans des modèles de probabilités (pensons à Google) I Ingrédient dans la résolution de systèmes d’équations différentielles I Traitement d’images I Tant d’autres choses... Matrices Introduction Définition Une matrice réelle de taille m × n est un tableau rectangulaire ayant m lignes et n colonnes. Exemple Ceci sont des matrices : ! ! 2 1 1 2 3 , , 0 π −4 2 1 0 0 1 2 0 0 0 −4 3 , 0 1 0 0 5 0 0 1 0 0 , 4 , −π e+π 0 0 0 0 0 , 5 1 0 , . . . 2 21 0 2 Matrices Introduction Définition Pour une matrice M de taille m × n : I Si n = 1, la matrice est appelée matrice-colonne, ou vecteur-colonne ; I si par contre m = 1, la matrice est appelée matrice-ligne ; I si enfin m = n, la matrice est appelée une matrice carrée ; I l’élément se trouvant à l’intersection de la i e ligne et de la j e colonne est noté Mij ; I on note Mat(m, n) ou Rm×n l’ensemble de toutes les matrices de taille m × n. Exemple M11 . .. Mm1 . . . M1n .. .. . . . . . Mmn Matrices Introduction Définition Deux matrices M et N sont égales si elles ont la même taille, disons m × n, et les même mêmes éléments : M = N ⇐⇒ Mij = Nij pour tout i = 1, . . . , m et tout j = 1, . . . , n Exercice Déterminer x pour que M et N soit ! égales : ! 0 1 0 x2 = 4 1 π x π Réponse Il faut x 2 = 1 et 1 = x 4 . La seule possibilité est x = 1. Matrices Contenu de la section Matrices Introduction Opérations sur les matrices Opérations sur les matrices Matrices Matrices Introduction Opérations sur les matrices Somme Produit par un scalaire Produit Déterminants Opérations sur les matrices Matrices Opérations sur les matrices Définition Si M et N sont deux matrices de même taille, on définit leur somme M + N par (M + N )ij = Mij + Nij . La somme a encore la même taille que M et que N . Exemple ! ! ! 0 1 1 0 1 −1 √ √ + = 1 0 2 π 1+ 2 π Matrices Opérations sur les matrices Matrice nulle Définition Une matrice constituée uniquement de 0 est appelée matrice nulle. On la note parfois 0, ou 0m×n pour indiquer sa taille. Résultat La matrice nulle est neutre dans l’addition matricielle. ! ! ! 1 2 0 0 1 2 + = 3 4 0 0 3 4 Matrices Opérations sur les matrices Résultat La somme matricielle de deux matrices M et N de même taille est donc une opération : + : Mat(m, n) × Mat(m, n) → Mat(m, n) ayant les propriétés : Commutativité M + N = N + M Associativité (M + N ) + P = M + (N + P ) on écrira généralement M + N + P sans parenthèses. Existence d’un neutre M + 0 = 0 + M = M Existence d’un opposé Pour toute matrice M , il existe une matrice −M telle que M + (−M ) = (−M ) + M = 0. Remarque Ces propriétés font que (Mat(m, n), +) (lire : « l’ensemble des matrices de taille m × n muni de l’addition matricielle ») forme un groupe commutatif (ou groupe additif). Matrices Opérations sur les matrices Remarque On connait d’autres groupes commutatifs : (R, +), (Z, +), mais pas (N, +) Autre groupe commutatif : (R0 , ·) : I le neutre s’appelle 1, I « l’opposé » s’appelle alors l’inverse Dans ce cas, on parlera de groupe multiplicatif commutatif. Matrices Matrices Introduction Opérations sur les matrices Somme Produit par un scalaire Produit Déterminants Opérations sur les matrices Matrices Opérations sur les matrices Définition Si λ ∈ R, et M est une matrice, le produit λM est une matrice de même taille dont les coefficients sont : (λM )ij = λMij pour i , j des indices parcourant la matrice. Exemple ! ! 0 1 0 5 5 = −1 3 −5 15 Matrices Matrices Introduction Opérations sur les matrices Somme Produit par un scalaire Produit Déterminants Opérations sur les matrices Matrices Opérations sur les matrices Définition Si M est une matrice de taille m × n et N une matrice de taille n × p, on définit leur produit MN par n X (MN )ik = Mij Njk ∀i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n. j =1 Ce produit est parfois appelé le produit « ligne par colonne ». Matrices Opérations sur les matrices Matrices Opérations sur les matrices Exemple √ ! ! ! 0 1 1 0 π 0 3 √ √ = √ √2 2 π 0 3 2 2 3π 2 2π Matrices Opérations sur les matrices Définition Une matrice carrée de taille n × n possédant des 0 partout, sauf sur la diagonale où il n’y a que des 1 est une matrice identité. On la note généralement I ou In . Exemple Les matrices identité 2 × 2 et 3 × 3sont : ! 1 0 0 1 0 , 0 1 0 0 1 0 0 1 Matrices Opérations sur les matrices Résultat Si M est une matrice de taille m × n, alors : MIn = M = Im M Exemple ! ! ! a b 1 0 a b = 0 1 c d c d Matrices Opérations sur les matrices Résultat Le produit matriciel de deux matrices M et N carrées de même taille est une opération : · : Mat(n, n) × Mat(n, n) → Mat(n, n) ayant les propriétés : Associativité (MN )P = M (NP ) on écrira généralement M + N + P sans parenthèses. Existence d’un neutre MI = IM = M Remarque La structure (Mat(n, n), produit matriciel) n’est pas un groupe commutatif : I le produit n’est pas commutatif I certaines matrices n’ont pas d’inverse. (exercice.) Matrices Matrices Introduction Opérations sur les matrices Somme Produit par un scalaire Produit Déterminants Opérations sur les matrices Matrices Opérations sur les matrices Étant donné une matrice réelle M , on définit det M , un nombre réel : Définition I I Le déterminant d’une matrice 1 × 1 est égal au seul nombre de la matrice ; det M = M11 . Le déterminant d’une matrice quelconque est obtenu de la manière suivante : 1. On choisit une rangée : ligne ou colonne, peu importe laquelle. 2. Pour chaque élément Mij de la rangée, on calcule le déterminant de la matrice obtenue en enlevant la i e ligne et la j e colonne de A . (Cette nouvelle matrice est plus petite !) On note ce nombre temporairement Dij . 3. On somme tous les produits (−1)i +j Mij Dij en parcourant la rangée choisie : det M = n m X X (−1)i +j Mij Dij = (−1)i +j Mij Dij i =1 j =1 Et cela ne dépend pas de la rangée choisie ! Matrices Opérations sur les matrices Définition M11 Le déterminant d’une matrice ... Mk 1 M11 . . . M1n .. .. . .. . . . Mk 1 . . . Mkn . . . M1n .. se note .. . . . . . Mkn Matrices Opérations sur les matrices Exemples Rappel det M = n X i =1 (−1)i +j Mij Dij = m X (−1)i +j Mij Dij j =1 Le signe attribué alterne d’un élément au suivant, il est donc facile à se rappeler par le schéma suivant : + − + · · · − + − + − + .. . . . . Matrices Opérations sur les matrices Exemple Considérons la matrice, et développons selon la première colonne −3 −3 1 −3 = (−1)1+1 1 1 2+1 1 2 +(−1) = 1·4−2·(−3) = 10 2 4 2 2 4 4 De manière générale : Remarque Dans le cas des matrices 2 × 2, on retient la formule une bonne fois pour toute : a b = ad − bc c d « La diagonale descendante moins la diagonale montante ! » Matrices Opérations sur les matrices Remarque En général on va chercher à développer selon les rangées où il y a autant de 0 que possible afin d’éviter des calculs ! Exemple Développons le déterminant 3 × 3 suivant selon la seconde colonne. 3 5 1 3 5 1 2 0 1 = (−1)1+2 3 2 0 1 0 1 −1 0 1 −1 1 1 3 5 3 5 0 1 + (−1)2+2 0 2 0 1 + (−1)3+2 1 2 0 1 −1 0 1 −1 2 1 1 5 + 0 − = −3 0 −1 2 1 = −3(−2 − 0) − (1 − 10) = 6 + 9 = 15
