Produit scalaire

Produit scalaire
Exercice 1. Produits scalaires ?
Dire si les applications suivantes sont des produits scalaires :
1) E=R2, ((x, x0)|(y, y0)) = axy +bxy0+cx0y+dx0y0(étudier ((1, t)|(1, t)), t∈R).
2) E=Rn, ((x1, . . . , xn)|(y1, . . . , yn)) = aPixiyi+bPi6=jxiyj(on montrera que (Pxi)26nPx2
i).
3) E=Rn[X], (P|Q) = Pn
i=0 P(i)Q(i).
Exercice 2. Intégrale double
Soit Dle disque unité fermé de R2. On considère l’espace Edes fonctions f:D→Rde classe C1nulles
sur le bord, C, de D.
Pour f, g ∈E, on pose (f|g) = RRD∂f
∂x
∂g
∂x +∂f ∂y
∂g
∂y dxdy. Montrer que c’est un produit scalaire.
Exercice 3. Produit scalaire
Soit E=C([a, b],R) et u: [a, b]→Rune fonction continue par morceaux. On pose pour f, g ∈E:
(f|g) = Rb
t=au(t)f(t)g(t) dt.
1) A quelle condition sur udéfinit-on ainsi un produit scalaire ?
2) Soient u, v deux fonctions convenables. A quelle condition les normes associées sont-elles équiva-
lentes ?
Exercice 4. Produit scalaire ?
Soit E=C([a, b],R) et (an) une suite d’éléments de [a, b].
Pour f, g ∈E, on pose : (f|g) = P∞
n=0 2−nf(an)g(an).
1) A quelle condition sur la suite (an) définit-on un produit scalaire ?
2) Soient a= (an) et b= (bn) deux telles suites telles que les ensembles {an, n ∈N}et {bn, n ∈N}sont
distincts. Montrer que les normes correspondantes sont non équivalentes.
3) Question ouverte : à quelle condition les normes associées à deux suites (an) et (bn) sont-elles équiv-
alentes ?
4) Montrer qu’il n’existe pas de suite (an) pour laquelle Esoit complet.
Exercice 5. Base de Schmidt
Trouver une base orthonormée de R3[X] pour le produit scalaire : (P|Q) = R1
t=−1P(t)Q(t) dt.
Exercice 6. Base de Schmidt
Soit E=R2[X] muni du produit scalaire : (P|Q) = P4
i=0 P(i)Q(i). Chercher une base orthonormée
de E.
Exercice 7. Trouvez le produit scalaire
Soit (Pn)n∈Nune suite de polynômes à coefficients réels de degrés étagés (deg Pn=n). Montrer qu’il
existe un unique produit scalaire sur R[X] pour lequel la famille (Pn) est orthonormée.
Exercice 8. Somme directe orthogonale
Soit Eun espace préhilbertien et F1, . . . , Fndes sev tels que pour i6=j,Fi⊥Fj. Montrer que la somme
F1+. . . +Fnest directe.
Exercice 9. Espace `2
Soit El’ensemble des suites (un)n∈Nà termes réels telles que la série Pu2
nconverge.
Pour u, v ∈E, on pose : (u|v) = P∞
n=0 unvn.
1) Montrer que Eest un espace vectoriel sur R.
2) Montrer que (u|v) existe.
3) Montrer qu’on définit ainsi un produit scalaire sur E.
4) Montrer que E, muni de la norme associée, est complet.
prodscal.tex – mercredi 3 août 2016

Exercice 10. f(x)⊥x⇒f= 0
Soit Eun espace vectoriel préhilbertien complexe et f∈ L(E) tel que pour tout vecteur x∈E, on a
f(x)⊥x.
1) Montrer que pour tous vecteurs x, y ∈E, on a (f(x)|y) = 0.
2) Montrer que f= 0.
3) Comparer avec le cas réel.
Exercice 11. Équation du second degré
Soient Eev euclidien, a∈Eet α, β, γ ∈Ravec α6= 0. Résoudre l’équation α(x|x) + β(x|a) + γ= 0.
Exercice 12. Inégalité de Cauchy-Schwarz
Soit El’ensemble des fonctions : [a, b]→R+∗continues et Φ:E−→ R
f7−→ Rb
af×Rb a1/f.
Montrer que min{Φ(f) tq f∈E}= (b−a)2et chercher les fonctions réalisant le minimum.
Exercice 13. Inversion
Soit Eun ev euclidien. On pose pour x6= 0 : i(x) = x
kxk2.
1) Montrer que iest une involution et conserve les angles non orientés de vecteurs.
2) Vérifier que : ∀x, y ∈E\ {0},ki(x)−i(y)k=kx−yk
kxkkyk.
3) Déterminer l’image par i:
a) d’un hyperplan affine ne passant pas par 0.
b) d’une sphère passant par 0.
c) d’une sphère ne passant pas par 0.
Exercice 14. Inégalité de Ptolémée
Soit Eun espace euclidien.
1) Pour x∈E\ {0}, on pose f(x) = x
kxk2. Montrer que : ∀x, y ∈E\ {0},kf(x)−f(y)k=kx−yk kxkkyk.
2) Soient a, b, c, d ∈E. Montrer que ka−ckkb−dk6ka−bkkc−dk+kb−ckka−dk. Indication : se
ramener au cas a= 0 et utiliser l’application f.
Exercice 15. Calcul de distance
On munit E=Rn[X] du produit scalaire : Pour P=PiaiXiet Q=PibiXi, (P|Q) = Piaibi. Soit
H={P∈Etq P(1) = 0}.
1) Trouver une base orthonormale de H.
2) Calculer d(X, H).
Exercice 16. Calcul de minimums
Calculer le minimum sur R2de f:R2−→ R
(a, b)7−→ Rπ
x=0(sin x−ax2−bx)2dx.
Exercice 17. Calcul de minimums
1) Soit ϕ:Rn→Rdéfinie par ϕ(x1, . . . , xn) = R1
t=0(1 + tx1+. . . +tnxn)2dt. Montrer que ϕadmet un
minimum absolu et le calculer lorsque n= 3.
2) Même question avec ψ(x1, . . . , xn) = R+∞
t=0 e−t(1 + tx1+. . . +tnxn)2dt.
Exercice 18. Expression analytique
Soit Eun espace euclidien de dimension 4, B= (e1, . . . , e4) une base orthonormée de E, et Fle sev
d’équations dans B:
x+y+z+t= 0
x+ 2y+ 3z+ 4t= 0
1) Trouver une base orthonormée de F.
2) Donner la matrice dans Bde la projection orthogonale sur F.
3) Calculer d(e1, F ).
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Exercice 19. Projection sur un hyperplan
On munit Rndu produit scalaire usuel. Soit H={(x1, . . . , xn)∈Rntq a1x1+. . . +anxn= 0}
où a1, . . . , ansont des réels donnés non tous nuls. Chercher la matrice dans la base canonique de la
projection orthogonale sur H.
Exercice 20. Caractérisation des projections orthogonales
Soit Eun ev euclidien et p∈ L(E) une projection. Montrer que :
pest une projection orthogonale ⇔ ∀x, y ∈E, (x|p(y)) = (p(x)|y)⇔ ∀x∈E, kp(x)k6kxk.
Pour la deuxième caractérisation, considérer x∈(Ker p)⊥et faire un dessin.
Exercice 21. Composition de projecteurs
Soient F,Gdeux sev d’un ev euclidien Etels que F⊥⊥G⊥. On note pFet pGles projections orthogonales
sur Fet sur G. Montrer que pF+pG−pF∩G= idEet pF◦pG=pG◦pF=pF∩G.
Exercice 22. Projecteurs commutant
Soit Eun espace vectoriel euclidien et p,qdeux projections orthogonales. Montrer que pet qcommutent
si et seulement si (Im p∩Im q)⊥∩Im pet (Im p∩Im q)⊥∩Im qsont orthogonaux.
Exercice 23. Caractérisation des bases orthonormales
Soit Eun ev euclidien, et e1, . . . , endes vecteurs unitaires tels que : ∀x∈E,kxk2=Pn
i=1(x|ei)2.
1) Démontrer que (e1, . . . , en) est une base orthonormale de E.
2) On remplace l’hypothèse : eiunitaire par : dim E=n.
a) Démontrer que (e1, . . . , en) est une base de E.
b) Démontrer que : ∀x, y ∈E, (x|y) = Pn
i=1(x|ei)(y|ei).
c) On note Gla matrice de Gram de e1, . . . , en. Démontrer que G2=Get conclure.
Exercice 24. Polytechnique MP∗2000
Soit Eun espace euclidien, (yj)j∈Iune famille de vecteurs de Etelle qu’il existe Aet Bstrictement
positifs vérifiant :
∀x∈E, Akxk26X
j∈I
(x|yj)26Bkxk2.
1) Montrer que (yj)j∈Iengendre E.
2) On choisit E=R2. Montrer que y1=0
1,y2=−√3/2 −1/2,y3=y2conviennent.
3) Si A=B= 1 et kyjk= 1 pour tout j, montrer que (yj)j∈Iest une base orthonormale.
4) Si A=B, montrer que pour tout x∈E,x=1
APj∈I(x|yj)yj.
Exercice 25. Déterminant de Gram
Soit Eun espace préhilbertien et u1, . . . , un∈E. On note G= (gij )∈ Mn(K) la matrice de Gram de
ces vecteurs (gij = (ui|uj)).
1) On suppose Ede dimension finie, rapporté à une base orthonormée B= (e1, . . . , ep). Exprimer Gen
fonction de M= MatB(u1, . . . , un).
2) En déduire que det(G) est un réel positif ou nul, et nul si et seulement si les vecteurs uisont liés.
3) Montrer le même résultat sans supposer que Eest de dimension finie.
4) Examiner le cas particulier n= 2.
5) Application : Le tétraèdre ABCD est tel que AB =AC =AD = 1 et (AB, AC)≡π
4, (AB, AD)≡π 3,
(AC, AD)≡π
2. Calculer son volume.
Exercice 26. Angles >2π/3
Soit Eun espace euclidien de dimension supérieure ou égale à 3. Montrer qu’il n’existe pas trois vecteurs
u1, u2, u3unitaires faisant entre eux deux à deux des angles strictement supérieurs à 2π
3.
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Exercice 27. Matrice de Gram
Soient x1, . . . , xndes vecteurs d’un ev euclidien E, et G(x1, . . . , xn) leur matrice de Gram.
1) Montrer que rg G(x1, . . . , xn) = rg(x1, . . . , xn).
2) Montrer que det G(x1, . . . , xn) est inchangé si on remplace xkpar xk−Pi6=kλixi.
3) Soit F= vect(x1, . . . , xn) et x∈E. On note d(x, F ) = min(kx−yk, y ∈F).
Montrer que d(x, F )2=det G(x1, . . . , xn, x)
det G(x1, . . . , xn).
Exercice 28. Congruence des matrices de Gram
Soit Eun ev hermitien et B,B0deux bases quelconques. On note Pla matrice de passage de BàB0, et
G, G0les matrices de Gram de Bet B0. Quelle relation y a-t-il entre P,Get G0?
Exercice 29. Gram(u(ei))
Soit Eun espace vectoriel euclidien, u∈ L(E) et (e1, . . . , en) une base quelconque de E. On note Gle
déterminant de Gram. Montrer que G(u(e1), . . . , u(en)) = (det u)2G(e1, . . . , en).
Exercice 30. Forme quadratique associée à la matrice de Gram
Soit Eun espace euclidien, (e1, . . . , en) une base de E,Gsa matrice de Gram et G−1= (aij ).
Montrer que : ∀x∈E,Pi,j aij (ei|x)(ej|x) = kxk2.
Exercice 31. Vecteur défini par ses produits scalaires
Soient f1, f2, . . . , fn: [0,1] →Rcontinues.
Existe-t-il f: [0,1] →Rcontinue telle que : ∀i,R1
t=0 f(t)fi(t) dt= 1 ?
Exercice 32. Famille duale de 1, X, X2, . . .
1) Montrer qu’il existe des polynômes P0, . . . , Pn∈Rn[X] tels que : ∀i, j 6n,R+∞
t=0 e−ttiPj(t) dt=δij .
2) Montrer qu’il n’existe pas de suite de polynômes (P0, . . . , Pn, . . .) telle que :
∀i, j ∈N,R+∞
t=0 e−ttiPj(t) dt=δij .
Exercice 33. Décomposition QR
1) Soit M∈ Mn(R) inversible. Montrer qu’il existe une matrice orthogonale, P, et une matrice trian-
gulaire supérieure à coefficients diagonaux positifs, T, uniques telles que M=P T .
2) Application : inégalité de Hadamard. Soit Eun espace vectoriel euclidien, (e1, . . . , en) une base
orthonormée, et u1, . . . , undes vecteurs quelconques.
Démontrer que |det(ei)(uj)|6Qjkujk. Étudier les cas d’égalité.
Exercice 34. Coefficients diagonaux dans la méthode de Schmidt
Soit Eun espace euclidien, B= (u1, . . . , un) une base de Eet B0= (e1, . . . , en) la base orthonormée
déduite de Bpar la méthode de Schmidt. On note Pla matrice de passage de BàB0.
Montrer que Pii ×d(ui,vect(u1, . . . , ui−1)) = 1.
Exercice 35. Coordonnées des vecteurs de Schmidt
Soit Eun espace euclidien, B= (u1, . . . , un) une base de Eet B0= (e1, . . . , en) la base orthonormée
déduite de Bpar la méthode de Schmidt.
On note Gnle déterminant de Gram de u1, . . . , un, et ∆i,n le cofacteur de (ui|un) dans Gn.
Montrer que en=1
pGn−1GnPn
i=1 ∆i,nui.
Exercice 36. det(t AA)
Soit A∈ Mn,p(R). Montrer que det(tAA)>0.
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Exercice 37. Polynômes orthogonaux
Soit E=R[X]. On pose (P|Q) = R1
t=0 P(t)Q(t) dt
1) Démontrer que ( |) est un produit scalaire sur E.
2) Démontrer qu’il existe une unique famille (P0, P1, . . . , Pn, . . .) de polynômes vérifiant :
deg Pi=i
le coefficient dominant de Piest strictement positif
la famille (Pi) est orthonormée.
Exercice 38. Polynômes orthogonaux
Soit E=Rn[X] et (P|Q) = R1
t=0 P(t)Q(t) dt.
1) Montrer que E, muni de ( |), est un espace euclidien.
2) Soit K=Rn−1[X]⊥et P∈K\ {0}. Quel est le degré de P?
3) Soit Φ:x7→ R1
t=0 P(t)txdt. Montrer que Φest une fonction rationnelle.
4) Trouver Φà une constante multiplicative près.
5) En déduire les coefficients de P.
6) En déduire une base orthogonale de E.
Exercice 39. Réduction en carrés d’une forme quadratique
Soient f1, . . . , fp,pformes linéaires sur Rntelles que rg(f1, . . . , fp) = n.
En considérant le produit scalaire : (x|y) = Pp
i=1 fi(x)fi(y), démontrer qu’il existe nformes linéaires
g1, . . . , gntelles que :
∀x∈Rn,
p
X
i=1
fi(x)2=
n
X
i=1
gi(x)2.
exemple : réduire x2+ (x+y)2+ (x+ 2y)2
Exercice 40. Famille de vecteurs unitaires équidistants
Soit Eun ev euclidien, et (x1, . . . , xn) une famille libre. Démontrer qu’il existe une famille (u1, . . . , un)
vérifiant :
uiest unitaire,kui−ujk= 1,vect(u1, . . . , ui) = vect(x1, . . . , xi).
Démontrer que toute famille (u1, . . . , un) vérifiant les deux premières propriétés est libre.
Exercice 41. Famille obtusangle
Soit Eun ev euclidien et u1, . . . , unune famille de vecteurs vérifiant : ∀i6=j, (ui|uj)<0.
1) On suppose (u1, . . . , un) libre. Soit (e1, . . . , en) la famille de Schmidt associée et Mla matrice de
passage de (u1, . . . , un)à(e1, . . . , en). Montrer que Mest à coefficients positifs.
2) Dans le cas général, démontrer par récurrence sur nque rg(u1, . . . , un)>n−1.
3) Si rg(u1, . . . , un) = n−1, démontrer que toute famille de n−1 vecteurs extraite de (u1, . . . , un) est
libre, et que les composantes dans cette famille du vecteur retiré sont strictement négatives.
Exercice 42. F+F⊥6=E
Soit E=C([0,1],R) muni du produit scalaire : (f|g) = R1
t=0 fg(t) dt, et F={f∈Etq f(0) = 0}.
Montrer que F⊥={0}.
Exercice 43. Forme linéaire sur R2[X]
On munit R2[X] du produit scalaire : (P|Q) = R1
t=0 P Q(t) dt.
1) Vérifier que c’est effectivement un produit scalaire.
2) Soit ϕ:R2[X]−→ R
P7−→ P(0).Trouver le polynôme Atel que : ∀P∈R2[X], ϕ(P) = (A|P).
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