De l`intérêt de l`analyse tensorielle
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Vaudon Patrick – Master Recherche Télécommunications Hautes Fréquences et Optiques IRCOM – Université de Limoges 67 VIII - L’écriture tensorielle des équations de MAXWELL Le fait que l’on considère le champ électromagnétique comme une grandeur unique, et non plus comme deux quantités séparées, va éclairer sous un angle nouveau la théorie des équations de MAXWELL. Laissons dire ces choses là à A. SOMMERFELD, avec infiniment plus de poésie : I wish to create the impression in my readers that the true mathematical structure of these entities will appear only now, as in a moutain lanscape when the fog lifts. I ) De la notion de vecteur à la notion de tenseur L’analyse de la transformation de LORENTZ suggéra à MINKOWSKY d’introduire la variable temps sous la forme d’une quatrième dimension associée à l’espace habituel tridimensionnel. Cette généralisation était guidée par la constatation troublante du rôle parfaitement analogue joué par les variables x et ct dans cette transformation : x' x (ct ) y' y z' z (VIII-1) ct' (ct ) x L’espace physique n’est plus alors la juxtaposition d’un espace « métrique » (où l’on mesure des distances) à trois dimensions et d’un espace temps à une dimension, mais un univers insécable à quatre dimensions. Si on souhaite illustrer sur un exemple simple, cette nouvelle manière de regarder la physique, on sera désormais obliger de considérer une charge et un élément de courant comme une grandeur unique et indissociable, représentée par un même vecteur, le quadri-vecteur densité de courant. L’apparence de charge électrostatique ou d’élément de courant dépendra du référentiel considéré. Dans ce nouvel espace à quatre dimensions, considérons la quantité : ds’² = dx’² + dy’² + dz’² - (d(ct’))² (VIII-2) Une substitution des relations qui définissent la transformation de LORENTZ (VIII-1) conduit à remarquer que : ds’² = dx² + dy² + dz² - (d(ct))² = ds² (VIII-3) Il s’agit donc d’une grandeur invariante par changement de référentiel qui généralise la notion de distance à un espace à 4 dimensions : l’espace-temps. L’analyse tensorielle montre que cette quantité permet de caractériser la métrique utilisée. Elle s’écrit d’une manière générale : 68 Vaudon Patrick – Master Recherche Télécommunications Hautes Fréquences et Optiques IRCOM – Université de Limoges ds2 g dx dx (VIII-4) où il est fait usage de la convention d’EINSTEIN qui sous-entend une sommation chaque fois qu’un indice est répété deux fois dans un produit et où g représente le tenseur métrique qui a la forme matricielle suivante dans le cas particulier de la transformation de LORENTZ : g 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 (VIII-5) Le tenseur réciproque s’obtient à l’aide d’une relation tensorielle : g Cofacteur de g Deter min ant (VIII-6) ce qui montre que : g g dans ce cas particulier. Il est possible de faire un autre choix de métrique en rendant la quatrième coordonnées imaginaire et égale à (ict). L’espace-temps est alors un espace orthonormé classique. Chaque choix de métrique a ses avantages et ses inconvénients : - Si on accepte d’utiliser une coordonnées imaginaire, les tenseurs covariants et contravariants seront identiques, et le problème de leur identification ne se posera pas. On ira donc vers une simplification des calculs, mais avec des composantes imaginaires dans les résultats. - Si, en revanche, on fait le choix d’utiliser une coordonnée réelle, il faudra prendre soin d’identifier clairement les tenseurs covariants et contravariants, mais alors, les résultats seront toujours réels. C’est cette dernière position que nous avons adoptée. Il suit de ces considérations que toute théorie devra être élaborée dans un repère à quatre dimensions. Dans un tel repère, un changement linéaire de coordonnées peut s’écrire : X’1 = X1(x1, x2, x3, x4) X’2 = X2(x1, x2, x3, x4) X’3 = X3(x1, x2, x3, x4) X’4 = X4(x1, x2, x3, x4) (VIII-7) un exemple simple étant fourni par la transformation de LORENTZ : X’1 = (x1 - .x4) X’2 = x2 X’3 = x3 X’4 = (x4 - .x1) (VIII-8) Vaudon Patrick – Master Recherche Télécommunications Hautes Fréquences et Optiques IRCOM – Université de Limoges 69 où nous choisissons de poser x4 = ct, afin de conserver des coordonnées réelles. Un changement de coordonnées dans cet espace à quatre dimensions se traduit par la translation dans le temps, à vitesse constante, de deux repères spatiaux tridimensionnels. Qu’en est-il alors de la représentation vectorielle des grandeurs physiques que sont les champs électriques et champs magnétiques? Un exemple simple, déjà évoqué, va nous montrer son insuffisance : Fixons dans un référentiel (R) un observateur et une charge ponctuelle immobile (Figure 1) : Figure 1 : Charge ponctuelle vue par deux observateurs en mouvement relatif Cet observateur perçoit un champ électrostatique E . Pour un second observateur, attaché à un référentiel (R’) en translation uniforme par rapport à R, il apparaît non seulement un champ électrique E' , mais également un champ magnétique B' , puisque la charge q est vue comme un élément de courant J . dl dq. v . La présence de ce vecteur B , qui, suivant le référentiel choisi, apparaît ou disparaît, montre que ce vecteur ne répond plus à la description d’une grandeur physique, car, la quantité qu’il représente dépend du référentiel que l’on considère. On pressent intuitivement que si l’on cherche une représentation correcte du champ électromagnétique, c’est à dire une représentation qui soit indépendante du référentiel dans lequel on l’exprime, la notion de vecteur est devenue insuffisante. C’est en réalité, la combinaison des deux vecteurs E et B qui doit être représentée, et l’outil mathématique nécessaire à cette représentation sera un tenseur d’ordre 2, qu’il sera utile, dans ce cas particulier, d’assimiler aux composantes d’une matrice 4 X 4. II ) Le tenseur de champ électromagnétique Il existe différentes façons de mettre en évidence ce tenseur. Une des plus simples et des plus naturelles consiste sans doute à utiliser l’expression de la force à laquelle est soumise une charge ponctuelle lorsqu’elle est située dans un champ électromagnétique : F q( E vB) (VIII-9) 70 Vaudon Patrick – Master Recherche Télécommunications Hautes Fréquences et Optiques IRCOM – Université de Limoges Si les champs E et B forment une entité unique, il doit être possible d’exprimer cette force en fonction de q, de v, et de cette entité. Dans un espace à quatre dimensions, cela revient à trouver une relation entre le quadrivecteur Force, la charge q qui est invariante, le quadrivecteur vitesse, et une matrice 4 X 4 qui représente le tenseur recherché. On doit donc avoir : (avec x4 = ct) : 1 4 . F1 c. . dx / dx 2 4 . F2 q Matrice c. . dx / dx . F3 4 X 4 c. . dx3 / dx 4 c. . F4 (VIII-10) Après une simplification par évidente, la relation (VIII-10) permet d’écrire les 3 premières lignes de la matrice puisque : F1 = q (E1 + cB3 dx2/dx4 - cB2 dx3/dx4) F2 = q (E2 + cB1 dx3/dx4 - cB3 dx1/dx4) F3 = q (E3 + cB2 dx1/dx4 - cB1 dx2/dx4) (VIII-11) ce qui donne : F1 0 F2 q B3 F3 B2 F4 B3 0 B1 B2 B1 0 1 4 E1 / c c. dx / dx E 2 / c c. dx 2 / dx 4 E 3 / c c. dx3 / dx 4 c (VIII-12) où il reste à expliciter la dernière ligne de la matrice. Pour celà, il nous faut exprimer F4 = dw/dx4 (VIII-13) Pour une charge q, placée dans un champ électromagnétique, seul le champ électrique E fournit un travail lorsque cette charge se déplace, et on a : dw = q ( E1 dx1 + E2 dx2 + E3 dx3 ) (VIII-14) Il s’ensuit que l’énergie potentielle acquise par la charge q soumise à la force F qE s’écrit : dw = - q ( E1 dx1 + E2 dx2 + E3 dx3 ) (VIII-15) ce qui permet d’expliciter la relation (VIII-13) : F4 = - q ( E1 dx1/dx4 + E2 dx2/dx4 + E3 dx3/dx4 ) (VIII-16) Vaudon Patrick – Master Recherche Télécommunications Hautes Fréquences et Optiques IRCOM – Université de Limoges 71 et permet la détermination complète du tenseur , traditionnellement appelé F (Qu’il ne faudra pas confondre avec la composante du vecteur force F ) B3 B2 E1 / c 0 B3 0 B1 E 2 / c F B2 B1 0 E 3 / c 0 E1 / c E 2 / c E 3 / c (VIII-17) On a ainsi établi la relation qui existe entre les composantes du quadrivecteur force, et les composantes du quadrivecteur vitesse : F q. F . v (VIII-18) Le tenseur F est un tenseur covariant d’ordre deux qui est antisymétrique (F = - F ) d’après la matrice (VIII-17). Par construction, ce tenseur possède bien la propriété que l’on attend de lui, à savoir la représentation d’une grandeur physique qui est invariante par changement de repère. En effet, si nous reprenons l’équation (VIII-18), nous voyons que : - Le quadri-vecteur force est un vecteur qui représente une quantité physique indépendante du référentiel. - La même remarque s’applique au quadri-vecteur vitesse. - La charge q est un invariant. Lors d’un changement de référentiel, les composantes du tenseur F vont varier (de la même manière que les composantes d’un vecteur varient), mais la grandeur qu’il représente sera identique. Le tenseur F n’est pas la seule représentation possible du tenseur de champ électromagnétique. Nous pouvons également adopter une forme contravariante, et l’analyse tensorielle nous indique que cette forme s’obtient de la manière suivante : F g g F où g est le tenseur métrique défini en (VIII-5) et (VIII-6). Les produits du tenseur covariant F par les coefficients de la métrique produisent un changement de signe de tous les termes qui comportent l’indice 4 une fois, ce qui donne le tenseur contravariant : F B3 B2 E1 / c 0 B3 0 B1 E 2 / c B2 B1 0 E 3 / c 0 E1 / c E 2 / c E 3 / c (VIII-19) III ) La transformation des champs entre deux référentiel en mouvement de translation uniforme 72 Vaudon Patrick – Master Recherche Télécommunications Hautes Fréquences et Optiques IRCOM – Université de Limoges De la théorie générale des tenseurs, nous écrivons la manière dont se transforme le tenseur covariant F : F' x x F x' x' (VIII-20) où les changements de coordonnées sont fournis par la transformation de LORENTZ : x1 = ( x’1 - x’4 ) x2 = x’2 x3 = x’3 x4 = ( x’4 - x’1 ) (VIII-21) On peut montrer qu’un tenseur antisymétrique dans un système de coordonnées reste antisymétrique dans n’importe quel système de coordonnées. En effet, soit Fpq un tel tenseur : par définition de l’antisymétrie : Fpq = - Fqp , mais alors, après changement de repère : F'pq xi x j x j xi F Fji F'qp ij x'p x'q x'q x'p (VIII-22) Le tenseur transformé F’ possèdera donc, tout comme le tenseur F, six composantes indépendantes qui correspondent aux composantes de champ E’x , E’y , E’z , B’x , B’y , B’z . Leur expression en fonction de Ex , Ey , Ez , Bx , By , Bz définira la transformation des champs entre deux référentiels en translation relative à vitesse constante. Les calculs peuvent être effectués directement: ils sont volumineux, mais simples, comme nous allons le montrer sur l’exemple particulier du terme F’12. x x F 1 2 1 1 x' x' (VIII-23) x x1 x2 x3 x4 F F F F 1 2 1 2 2 2 3 2 4 x' x' x' 1 x' x' (VIII-24) 4 4 F'12 4 F'12 x1 x1 x2 x3 x4 F F F F14 11 12 13 x'1 x'2 x ' 2 x ' 2 x ' 2 x2 x1 x2 x 3 x 4 1 2 F21 2 F22 2 F23 2 F24 x ' x ' x ' x ' x ' F'12 x3 x1 x2 x 3 x 4 1 2 F31 2 F32 2 F33 2 F34 x ' x ' x ' x ' x ' 4 1 2 3 4 x x x x x 1 2 F41 2 F42 2 F43 2 F44 x ' x ' x ' x ' x ' (VIII-25) Vaudon Patrick – Master Recherche Télécommunications Hautes Fréquences et Optiques IRCOM – Université de Limoges 73 F'12 0F11 1F12 0F13 0F14 0 0F21 1F22 0F23 0F24 (VIII-26) 0 0F31 1F32 0F33 0F34 0F41 1F42 0F43 1F44 F'12 F12 F42 (VIII-27) Soit pour conclure : B'3 B3 E2 / c (VIII-27) En renouvelant cette opération pour chaque élément indépendant du tenseur, on aboutit au relations complètes de transformation des champs électromagnétiques : E' x E x E' y ( E y c Bz ) E' z ( E z c By ) (VIII-28) B' x Bx B' y (By E z / c) B' z (Bz E y / c) Ces relations peuvent être obtenues plus rapidement , à condition d’avoir, au préalable, formulé une écriture matricielle de l’équation tensorielle (VIII-20) (Il est à noter que cette écriture matricielle n’est possible que pour des tenseurs de rang <= 2) : F'11 F'21 F'31 F'41 F'12 F'13 F'22 F'32 F'23 F'33 F'42 F'43 F'14 F'24 F'34 F'44 x1 1 x'1 x 2 x'1 x 3 x'1 x x'4 x2 x'1 x2 x'2 x2 x'3 x2 x'4 x3 x'1 x3 x'2 x3 x'3 x3 x'4 x4 x'1 4 F11 x x'2 F21 x4 F31 x'3 F41 x4 x'4 F12 F13 F22 F32 F23 F33 F42 F43 x1 1 x' F14 2 x F24 x'1 F34 x3 1 F44 x'4 x x'1 x1 x'2 x2 x'2 x3 x'2 x4 x'2 x1 x'3 x2 x'3 x3 x'3 x4 x'3 x1 x'4 2 x x'4 x3 x'4 x4 x'4 (VIII-29) d’où, en explicitant chacun des termes des matrices de passages à partir de la transformation de LORENTZ (VIII-8) : F'11 F'21 F'31 F'41 F'12 F'22 F'32 F'13 F'23 F'33 F'42 F'43 F'14 F'24 0 F'34 0 F'44 0 0 F11 1 0 0 F21 0 1 0 F31 0 0 F41 F12 F22 F32 F13 F23 F33 F42 F43 F14 F24 0 F34 0 F44 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 (VIII-30) 74 Vaudon Patrick – Master Recherche Télécommunications Hautes Fréquences et Optiques IRCOM – Université de Limoges Soit encore, en explicitant les composantes du tenseur de champ électromagnétique : B'3 B'2 E'1 / c 0 0 B'1 E'2 / c 0 B'3 B'2 B'1 0 E'3 / c 0 0 E'1 / c E'2 / c E'3 / c 0 0 0 B3 B2 E1 / c 1 0 0 B3 0 B1 E 2 / c 0 0 1 0 B2 B1 0 E 3 / c 0 0 0 E1 / c E 2 / c E 3 / c 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 (VIII-31) d’où on déduit les relations de transformations des champs (VIII-28). IV ) L’écriture tensorielle des équations de MAXWELL Puisque le champ électromagnétique est désormais représenté par une entité unique, le tenseur F, les équations de MAXWELL doivent pouvoir s’exprimer en fonction des dérivées partielles liées à ce tenseur. Pour découvrir cette écriture, il suffit d’expliciter les quatre équations, et de synthétiser la forme qu’elles prennent lorsque on y introduit les composantes tensorielles. IV.1) Les équations de MAXWELL dans le vide Des deux équations suivantes : B E .B 0 t (VIII-32) nous écrivons, en explicitant chaque composante : E z E y B x y z t B E x E z y z x t E y E x B z x y t Bx By Bz 0 x y z (VIII-33) ce qui donne, en fonction des composantes tensorielles de F : F34 x 2 F14 x 3 F24 x1 F23 x1 F42 F23 0 x 3 x 4 F F 431 314 0 x x F F 412 124 0 x x F F 312 123 0 x x (VIII-34) Vaudon Patrick – Master Recherche Télécommunications Hautes Fréquences et Optiques IRCOM – Université de Limoges 75 et conduit aux écritures de plus en plus condensées suivantes, pour chaque triplet (, , ) : F F F 0 x x x ( F ) ( F ) ( F ) 0 (VIII-35) F, F , F , 0 On comprend mieux désormais pourquoi, lorsque l’on essaie de démontrer l’invariance de l’une des équations de MAXWELL ci-dessus (VIII-32), sous la transformation de LORENTZ, l’autre équation apparaît nécessairement dans la démonstration : en fait, ces deux équations constituent deux parties d’une seule et unique équation rattachée à la grandeur physique que représente le tenseur F. Elles sont donc forcément dépendantes. Les deux autres équations se traitent de la même manière: 1 E B c ² t .E 0 (VIII-36) nous écrivons, en explicitant chaque composante : B z B y 1 E x y z c ² t B x B z 1 E y z x c ² t B y B x 1 E z x y c ² t E x E y E z 0 x y z (VIII-37) ce qui donne, en fonction des composantes du tenseur contravariant F : F12 F13 F14 0 x 2 x 3 x 4 F 23 F 21 F 24 0 x 3 x1 x 4 F 31 F 32 F 34 0 x1 x 2 x 4 F 41 F 42 F 43 0 x1 x 2 x 3 et conduit aux écritures de plus en plus condensées suivantes : (VIII-38) 76 Vaudon Patrick – Master Recherche Télécommunications Hautes Fréquences et Optiques IRCOM – Université de Limoges F 0 x ( F ) 0 (VIII-39) F , 0 où les remarques faites précédemment s’appliquent dans leur intégralité. En résumé, les équations de MAXWELL dans le vide, écrites à l’aide du tenseur de champ électromagnétique F, s’expriment de la manière suivante : F , F , F , 0 (VIII-40) F , 0 IV.2) Les équations de MAXWELL en présence de charges et de courant L’introduction de charges et de courants va modifier seulement le deuxième groupe d’équations qui se complète ainsi : 1 E B 0J c² t . E / (VIII-41) D’autre part, charges et courant n’étant que deux aspects différents d’une même grandeur physique, on constate que le quadri-vecteur densité de courant J (J x , J y , J z , c) vient homogénéiser l’ensemble des équations précédentes qui s’écrivent désormais : F , F , F , 0 F , 0 J (VIII-42) Le tenseur J, associé au quadri-vecteur densité de courant est obtenu comme produit d’une quantité invariante (La densité de charge / ) par le quadri-vecteur vitesse. Ce dernier étant un tenseur contravariant d’ordre 1, il s’ensuit que le quadri-vecteur densité de courant est également contravariant, ce qui justifie, à posteriori, l’utilisation de la forme contravariante du tenseur F dans cette expression. V) Les équations de MAXWELL dans les milieux L’introduction d’un milieu de propagation différent du vide perturbe la propagation des ondes électromagnétiques. La présence des champs E et B provoque une excitation des moments dipolaires et des moments magnétiques microscopiques en les alignant de manière privilégiée. Le champ macroscopique résultant du champ appliqué et du champ excité peut s’exprimer simplement lorsque ce dernier est proportionnel au champ appliqué. Pour caractériser ce phénomène, on définit un vecteur excitation électrique ou induction électrique : D 0E P (VII-43) Vaudon Patrick – Master Recherche Télécommunications Hautes Fréquences et Optiques IRCOM – Université de Limoges 77 où P représente la densité volumique de moments dipolaires générée par l’alignement des dipôles élémentaires. Puisqu’on considère uniquement des milieux pour lesquels cette densité est proportionnelle à E , on peut poser : P e 0 E (VIII-44) où e est appelée la susceptibilité du milieu. Pour un diélectrique homogène et isotrope, on obtient donc : D 0 E P 0 1 e E 0 r E (VIII-45) L’alignement des dipôles électriques provoque dans le milieu l’apparition d’un champ électrique de polarisation E p qui est naturellement opposé à E . La distribution de charges qui permettrait de générer le même champ E p s’exprime en fonction du vecteur polarisation P par la relation : p Div(P) (VIII-46) p est ici une densité volumique de charges dites liées car elles ne sont susceptibles d’effectuer que de très faibles déplacements. Le champ E vérifie toujours l’équation : Div(E) / 0 (VIII-47) où L p regroupe l’ensemble de toutes les charges présentes, à la fois libres ( L ) et liées ( p ). On en déduit : L p L Div(P) Div(E) 0 0 0 0 (VIII-48) Soit encore : Div( 0 E P) L Div(D) L (VIII-49) où, rappelons le, L représente la densité volumique de charges libres. De manière analogue, on construit une excitation magnétique : B H M 0 (VIII-50) Vaudon Patrick – Master Recherche Télécommunications Hautes Fréquences et Optiques IRCOM – Université de Limoges 78 où M représente la densité volumique de moments magnétiques générée par l’alignement des dipôles magnétiques élémentaires. Pour un milieu dans lequel cette densité est proportionnelle à B , on peut poser : B M m mH 0 (VIII-51) ce qui conduit, toujours en supposant linéarité et isotropie, à : B H mH 0 (VIII-52) et donc : B 0 (1 m )H 0 r H (VIII-53) L’analogie avec le champ électrique peut être poursuivie. On considère que l’aimantation M est due à des courants fictifs J m . L’équivalence s’écrit alors : Jm (M) (VIII-54) Le courant total dans le milieu, compte tenu de la présence des dipôles électriques et magnétiques, s’écrit alors : P J JL Jm t (VIII-55) où J m et P ont été définis précédemment, et où J L est le courant du aux charges libres. Les champs E et B vérifient alors l’équation de MAXWELL : P 1E B 0 ( JL Jm ) (VIII-56) t c² t Qui devient après réduction : D H JL t (VIII-57) En résumé, les équations de MAXWELL dans un milieu linéaire, homogène et isotrope, prennent la forme suivante : Vaudon Patrick – Master Recherche Télécommunications Hautes Fréquences et Optiques IRCOM – Université de Limoges B E 0 t D H JL t 79 . B 0 . D L (VIII-58) Nous avons déjà donné une écriture tensorielle de la première ligne. Si nous souhaitons faire la même chose pour la seconde, nous sommes amenés à introduire un autre tenseur, appelé G, qui dépend des composantes de H et de D . Pour des raisons énergétiques qui apparaîtront plus tard, ce tenseur est choisi de telle manière que dans le vide nous ayons : G F (VIII-59) 0 L’écriture matricielle du tenseur contravariant G est donc la suivante : G 0 Hz Hy cDx Hz Hy 0 Hx cDy Hx 0 cDz cD x cD y cDz 0 (VIII-60) En reprenant les transformations de la première partie, on constate que la seconde équation s’écrit maintenant : G , J (VIII-61) J représente le quadri-vecteur densité de courant des charges et courants libres (En d’autres termes, ne sont pas inclus dans J les charges qui génèrent la polarisation P et les courants qui génèrent l’aimantation M ). L’écriture tensorielle des équations de MAXWELL dans un milieu linéaire , homogène et isotrope se résume donc en deux relations faisant intervenir les tenseurs F et G : F , F , F , 0 G , J (VIII-62) V) Le tenseur des tensions de MAXWELL FARADAY imagina le premier que l’espace entourant une charge électrostatique devait forcément subir l’influence de cette charge. Pour tenter de modéliser cette action, il était commode de supposer que l’espace était rempli d’un milieu parfaitement élastique appelé l’éther. C’est ce milieu qui transmettait de proche en proche la tension à laquelle il était soumis et qui permettait ainsi l’interaction entre deux charges ponctuelles. 80 Vaudon Patrick – Master Recherche Télécommunications Hautes Fréquences et Optiques IRCOM – Université de Limoges Reprenant les idées de FARADAY, MAXWELL proposa de les mettre en forme de la manière suivante : Soit un élément de surface ds représentant une surface fermée. Pour déformer le volume dv de toutes les manières possibles, trois forces indicées par i=1, 2, 3 sont nécessaires. Chacune de ces forces possède trois composantes que l’on pourra indicer par j=1, 2, 3. Le calcul de la résultante globale nécessite donc la connaissance de 9 termes Tji .Sur un petit volume dv, chaque résultante de force s’obtient en sommant les contributions suivant cette composante: par exemple : dF1 = T11.ds1+ T12.ds2+ T13.ds3 (VIII-63) où, plus généralement : 3 dFj Tjk dsk pour j = 1, 2, 3 (VIII-64) k 1 Pour obtenir la composante de force qui s’applique sur un volume fini V entouré par une surface fermée S, nous sommes amenés à sommer les contributions élémentaires, pour obtenir : 3 Fj dFj Tjk dsk s (VIII-65) s k 1 que l’on peut écrire pour un indice j fixé : Fj Tjk . dsk (VIII-66) s L’application du théorème d’OSTROGRADSKY conduit à la nouvelle formulation : 3 Tk Fj (. Tjk )dv jk dv x v v k 1 (VIII-67) Il ressort que la quantité : 3 Tjk fj k k 1 x (VIII-68) a la dimension d’une densité volumique de force tandis que le tenseur Tjk a lui, la dimension d’une densité volumique d’énergie. Ce tenseur est donc particulièrement important puisqu’il doit à lui seul, nous permettre de quantifier les échanges d’énergie électromagnétique. Son écriture en 3 dimensions ne présente qu’une curiosité historique, avec toutefois une approche intéressante du calcul de l’interaction entre deux charges ponctuelles. Par contre, sa version quadri-dimensionnelle va se révéler un élément majeur de la réflexion d’EINSTEIN sur une théorie nouvelle de la gravitation. Vaudon Patrick – Master Recherche Télécommunications Hautes Fréquences et Optiques IRCOM – Université de Limoges 81 Sa construction s’appuie une nouvelle fois sur la relation donnée par LORENTZ qui exprime la force subie par une charge ponctuelle lorsqu’elle est soumise à un champ électromagnétique : F q(E v B) (VIII-69) où, plus précisément, à la représentation tensorielle de cette relation qui fait intervenir les quadri-vecteurs force et vitesse, ainsi que le tenseur de champ électromagnétique F : ( F ) qF ( v ) (VIII-70) En utilisant la définition de la densité de courant comme étant le produit de la densité volumique de charges par sa vitesse de déplacement, on obtient après simplification par , l’expression de la densité volumique de force : F F J (VIII-71) que nous pouvons écrire, en développant suivant la convention d’EINSTEIN : F1 F11J1 F12 J 2 F13 J 3 F14 J 4 (VIII-72) Dans un milieu linéaire homogène et isotrope, nous savons relier le quadri-vecteur G densité de courant J au tenseur G au moyen de la relation J ce qui conduit à x l’expression : F F G x (VIII-73) qui se développe de la manière suivante : G11 G12 G13 G14 F1 F11 1 x2 x3 x4 x G 21 G 22 G 23 G 24 + F12 1 x2 x3 x4 x G 31 G 32 G 33 G 34 + F13 1 x2 x3 x4 x (VIII-74) G 41 G 42 G 43 G 44 + F14 1 x2 x3 x4 x L’objectif ultime des transformations que nous effectuons est de mettre la composante de force sous la forme d’une quadri-divergence du tenseur impulsion énergie T : c’est la généralisation de la relation classique en mécanique, qui relie l’énergie potentielle à la force extérieure agissante : 82 Vaudon Patrick – Master Recherche Télécommunications Hautes Fréquences et Optiques IRCOM – Université de Limoges F1 T11 T12 T13 T14 x1 x 2 x 3 x 4 (VIII-75) Suivant cet objectif, nous regroupons les tenseurs F et G sous une même variable de dérivation : F G11 F G12 F G13 F G14 1 11 2 11 3 11 4 11 x x x x F G 21 F G 22 F G 23 F12 G 24 1 12 2 12 3 12 x x x x4 F G 31 F G 32 F G 33 F13G 34 1 13 2 13 3 13 x x x x4 F G 41 F G 42 F G 43 F G 44 1 14 2 14 3 14 4 14 x x x x F F F F G11 111 G12 112 G13 113 G14 114 x x x x F F F F G 21 121 G 22 122 G 23 123 G 24 124 x x x x F1 (VIII-76) F F F F G 31 131 G 32 132 G 33 133 G 34 134 x x x x F F F F G 41 141 G 42 142 G 43 143 G 44 144 x x x x La première partie de ce développement est déjà présente sous la forme d’une quadridivergence. La seconde nécessite encore une mise en forme supplémentaire: nous allons regrouper par deux les termes en Gij et Gji, par exemple : G23 F12 F G32 132 3 x x (VIII-77) A cause de l’antisymétrie des tenseurs G et F, nous obtenons : G23 F12 F F F F F G23 132 G23 123 132 G23 123 312 3 x x x x x x (VIII-78) Nous substituons maintenant à l’expression entre parenthèses la dernière équation du groupe (VIII-34), et nous avons finalement : G23 F12 F F F G32 132 G23 231 G32 231 3 x x x x (VIII-79) A la condition que chaque terme du tenseur G puisse être déduit du tenseur F par multiplication par une constante, ce qui se justifie car nous sommes dans un milieu isotrope, Vaudon Patrick – Master Recherche Télécommunications Hautes Fréquences et Optiques IRCOM – Université de Limoges 83 homogène et linéaire, et que la même propriété existe entre les tenseurs covariant et contravariant F, nous pouvons encore condenser l’expression obtenue sous la forme suivante : 23 23 23 F23 1 F F23 1 F F23 1 G F23 23 F23 (VIII-80) G (F ) x1 x1 2 x1 2 x1 2 x1 23 Nous avons donc établi que la somme des deux termes sur lesquels nous travaillons s’exprime ainsi : F12 1 G F23 32 F13 G G x3 x2 2 x1 23 23 (VIII-81) La dernière manipulation à effectuer n’est guère intuitive: elle consiste à substituer à chacun des termes : G23 F12 F , G32 132 3 x x (VIII-82) la moitié de leur somme, soit: 1 G F23 4 x1 23 (VIII-83) Ce faisant, il est clair qu’on modifie chaque terme de la somme, mais on ne modifie pas globalement le résultat, et c’est ce qui importe. Les transformations que nous venons de développer peuvent être reconduites pour les autres termes de l’expression de F1 avec parfois des simplifications importantes (les termes de la diagonale sont tous nuls par exemple), ce qui conduit à une écriture développée de la composante F1 : F G11 F G12 F G13 F G14 1 11 2 11 3 11 4 11 x x x x F G 21 F G 22 F G 23 F G 24 1 12 2 12 3 12 4 12 x x x x F G 31 F G 32 F G 33 F G 34 1 13 2 13 3 13 4 13 x x x x F G 41 F G 42 F G 43 F14 G 44 1 14 2 14 3 14 x x x x4 F1 (VIII-84) 84 Vaudon Patrick – Master Recherche Télécommunications Hautes Fréquences et Optiques IRCOM – Université de Limoges 1 G11F11 G12 F21 G13F31 G14 F41 4 x1 1 G 21F12 G 22 F22 G 23F32 G 24 F42 1 4x 1 G 31F13 G 32 F23 G 33F33 G 34 F43 1 4x 1 G 41F14 G 42 F24 G 43F34 G 44 F44 1 4x L’écriture tensorielle générale des différents calculs que nous avons détaillés est nettement plus condensée. Partant de (VIII-73), la somme (VIII-76) est toute entière contenue dans la formule : F G F F F G G x x x (VIII-85) L’antisymétrie des tenseurs F et G nous a permis de poser : G F F F F F F G G G x x x x x x (VIII-86) Exploitant l’équation de MAXWELL (VIII-34), nous pouvons remplacer l’expression entre parenthèses et écrire que la somme de nos deux termes vaut : G F F G x x (VIII-87) Sous les conditions expressément formulées pour l’équation (VIII-80), nous pouvons effectuer la transformation : G F 1 G F x 2x (VIII-88) Enfin, chaque terme à gauche de l’expression (VIII-86) est remplacé par la demisomme de ces termes, ce qui donne finalement : 1 G F F F G x 4 x (VIII-89) Mettre cette relation sous la forme d’une quadri-divergence suppose encore que l’on rassemble sous une même dérivée l’expression que l’on vient d’obtenir, ce qui peut se faire en introduisant le symbole de KRONEKER qui vaut 1 lorsque ses deux indices sont égaux, et 0 dans le cas contraire. On obtient alors : x x (VIII-90) Vaudon Patrick – Master Recherche Télécommunications Hautes Fréquences et Optiques IRCOM – Université de Limoges 85 Cependant, l’introduction de cette transformation va rendre le terme : x G F (VIII-91) nul pour toute valeur de différente de , ce qui n’était pas le cas dans l’expression précédente (VIII-89). On remédie à cette situation en substituant à un autre indice muet, que l’on peut appeler pour aboutir au résultat final : F 1 F G G F x 4 (VIII-92) La concision de l’écriture tensorielle se paye en lisibilité, et chaque modification doit être analysée avec la plus grande attention, sous peine de passer à côté de certaines subtilités. Nous sommes arrivés au but que nous nous étions fixés, et le tenseur énergétique du champ électromagnétique peut s’exprimer de la manière suivante : 1 T F G G F 4 (VIII-93) Il est intéressant de donner une écriture explicite de ce tenseur, en fonction des composantes de champ. Notons dans un premier temps que la quantité (GF) ne dépend ni de , ni de . Elle se trouve présente et identique chaque fois que est égal à . Elle s’évalue facilement si on se souvient que tous les Gii et Fii sont nuls, et que, en raison de l’antisymétrie des tenseurs F et G, on a FijGij = FjiGji, si bien que : G F 2 G12 F12 G13F13 G14 F14 G 23F23 G 24 F24 G34 F34 2 H z Bz H y By Dx E x H x Bx Dy E y Dz E z 2 H. B E. D (VIII-94) et donc le terme : 1 1 (G F ) H. B E. D Wm We 4 2 (VIII-95) a une valeur constante égale à la différence entre la densité volumique d’énergie magnétique et la densité volumique d’énergie électrique . Le calcul des éléments du tenseur ne présente plus de difficultés : on obtient sur quelques exemples particuliers : 86 Vaudon Patrick – Master Recherche Télécommunications Hautes Fréquences et Optiques IRCOM – Université de Limoges T11 F11G11 F12 G12 F13G13 F14 G14 Wm We 0 Bz H z By H y E x Dx Wm We 2 Wm Bx H x E x Dx Wm We (VIII-96) E x D x Bx H x W où W représente la densité totale d’énergie électromagnétique : W = Wm + We T14 F11G 41 F12 G 42 F13G 43 F14 G 44 0 cBz D y cBy Dz 0 (VIII-97) (H y E z H z E y ) / c Sx / c où Sx représente la densité surfacique de puissance, ou composante du vecteur de POINTING suivant x T44 F41G 41 F42 G 42 F43G 43 F44 G 44 Wm We E x D x E y Dy E z Dz 0 Wm We 2 We Wm We (VIII-98) W Globalement, le tenseur T a la représentation matricielle suivante : H x By Dy E x H x Bz Dz E x -Sx / c H x Bx Dx E x W H y By Dy E y W H y Bz Dz E y -Sy / c H y Bx Dx E y H z Bx Dx E z H z By Dy E z H z Bz Dz E z W -Sz / c Sx / c Sy / c Sz / c W (VIII-99) On peut identifier dans ce tenseur toutes les formes d’énergies électromagnétiques que l’on retrouve dans l’analyse électromagnétique classique : - les composantes T11 à T33 qui sont les composantes du tenseur de FARADAY, et qui traduisent les forces transportées par les ondes et qui s’interprètent en termes de forces exercées sur des particules chargées : il s’agit là d’une énergie mécanique. - les termes Tk4, et T4k, (k=1,2,3) qui sont les composantes du vecteur de POINTING, et qui traduisent l’énergie échangée par rayonnement. - le terme T44 qui représente la densité volumique d’énergie. Dès lors, il est naturel que l’on retrouve dans l’équation tensorielle : F F J T x (VIII-100) Vaudon Patrick – Master Recherche Télécommunications Hautes Fréquences et Optiques IRCOM – Université de Limoges 87 le théorème de POINTING. Ce théorème s’obtient à partir du tenseur impulsion énergie en exprimant la quatrième composante du quadri-vecteur densité volumique de force : T1 T 2 T 3 T 4 F 4 F41 J1 F42 J 2 F43 J 3 F44 J 4 41 42 43 44 x x x x J. E 1 W (. S) c c (ct ) (VIII-101) Soit encore : W J. E (. S) 0 t (VIII-102) Cette relation traduit le fait que la variation de l’énergie électromagnétique contenue dans un volume élémentaire pendant un temps très bref dt est égale à l’énergie qui s’est échappée de ce volume à travers ses parois (Flux du vecteur de POINTING) augmentée de l’énergie qui a été convertie par effet joule. VI) L’équation tensorielle des potentiels. Nous avons déjà établi que les équations de MAXWELL pouvaient être exprimées en termes de deux grandeurs appelées potentiels vecteur et potentiel scalaires : 1 ² A ².A 0 J c² t ² 1 ² ². 0c 2 c² t ² (VIII-103) Les deux potentiels sont donc solutions d’une équation différentielle identique dans sa forme. Seul le second membre est différent, mais après avoir remarqué que ce second membre peut être représenté, pour l’ensemble des 2 relations, à l’aide du quadri-vecteur densité de courant, tout laisse présager une écriture tensorielle globale de ces deux équations. Pour découvrir cette écriture, nous explicitons la relation qui définit le potentiel vecteur : B A à l’aide des composantes du tenseur de champ électromagnétique F : A3 A2 x2 x3 A1 A 3 By F31 x3 x1 A 2 A1 Bz F12 x1 x 2 Bx F23 A ) . : Puis celle qui définit le potentiel scalaire : (E t (VIII-104) 88 Vaudon Patrick – Master Recherche Télécommunications Hautes Fréquences et Optiques IRCOM – Université de Limoges A1 c 1 x x4 A2 cF24 2 c x x4 A3 cF34 3 c x x4 cF14 (VIII-105) D’où il suit, de manière particulièrement intuitive, après avoir posé A4 = - /c : A 4 A1 x1 x 4 A4 A2 F24 x2 x 4 A 4 A3 F34 x3 x 4 F14 (VIII-106) Ce qui conduit à l’écriture de plus en plus condensée suivante : A A x x F (A ) (A ) F (VIII-107) F A , A , où A = (Ax , Ay , Az , -/c ) est un tenseur d’ordre 1 associé au quadri-vecteur potentiel. Nous allons maintenant pouvoir rechercher l’écriture tensorielle des équations de MAXWELL à l’aide de ce quadri-vecteur. Nous reportons l’expression (VIII-107) dans le 1 E second groupe d’équations : B 0J et . E / . Développons par exemple la c² t première composante : Bz By 1 E x 0Jx y z c² t VIII-(108) puis remplaçons chaque composante de champ par son expression en fonction du tenseur contravariant F, ce qui donne pour la première ligne : F12 F13 F14 3 4 0 J1 2 x x x (VIII-109) Les équations (VIII-104)..(VIII-107) sont données avec le tenseur covariant F. Le passage à une forme contravariante implique l’emploi du tenseur métrique donné en (VIII-5) et (VIII-6). Ce tenseur aura pour effet d’affecter un signe moins aux composantes qui ont une fois l’indice 4, soit : Vaudon Patrick – Master Recherche Télécommunications Hautes Fréquences et Optiques IRCOM – Université de Limoges F4 = - F4 et A4 = -A4 89 (VIII-110) Dans ces conditions, en utilisant les relations établies en (VIII-104)..(VIII-107), l’équation précédente peut être développée : A2 A1 A1 A3 A 4 A1 ) ( ) ( ) 0 J1 x x1 x2 x3 x3 x1 x 4 x1 x 4 ( 2 (VIII-111) D’où il vient après réduction : 2 A1 2 A1 2 A1 2 A1 A1 A2 A3 A 4 1 0J x1 x1 x2 x2 x3 x3 x 4 x 4 x1 x1 x2 x3 x 4 (VIII-112) et des relations analogues pour chacune des trois autres composantes. L’expression obtenue peut être condensée en utilisant la généralisation de la notion de laplacien et de divergence à l’espace de MINKOWSKY : ~ ~ ~ . (A ) . A 0 J x (VIII-113) Rappelons alors un résultat d’analyse vectorielle en 3 dimensions : Si A est un champ de vecteur invariant sous un changement de repère effectué par rotation ou translation, alors la divergence, le rotationnel et le laplacien de ce champ de vecteurs sont également invariants. Ces résultats s’étendent à l’espace de MINKOWSKY, dans lequel la transformation de LORENTZ constitue une rotation. Nous avons déjà établi que les équations de MAXWELL étaient invariantes dans leur forme traditionnelle. Analysons maintenant leur invariance, lorsqu’elles sont écrites à l’aide du quadri-vecteur potentiel (VIII-112) et (VIII-113). Les quadri-vecteurs A et J représentent des quantités physiques indépendantes du ~ ~ référentiel. L’opérateur . laisse ces quantités invariantes par changement de repère. Ainsi, ~ dans l’équation (VIII-113), seule la partie . A n’est pas invariante par changement de x référentiel. Elle est donc nécessairement nulle : ~ .A 0 x (VIII-114) C’est la condition générale qui doit être imposée aux potentiels vecteurs et scalaires afin que l’équation (VIII-113) ne dépende pas du référentiel considéré. Elle prend alors la forme simplifiée suivante : ~ ~ . (A ) 0 J (VIII-115) 90 Vaudon Patrick – Master Recherche Télécommunications Hautes Fréquences et Optiques IRCOM – Université de Limoges Le choix de jauge défini par LORENTZ : .A 1 0 c² t (VIII-116) soit encore : ~ .A 0 (VIII-117) est donc un choix de jauge qui conserve l’invariance de l’équation des potentiels par changement de référentiel. C’est la justification absolue de la validité de ce choix de jauge, par rapport à d’autres choix possibles comme la jauge de COULOMB VII) Conclusion L’écriture des équations de MAXWELL sous forme tensorielle n’apporte aucun résultat fondamentalement nouveau par rapport à ce que l’on savait déjà. Elle fournit simplement la preuve que le champ électromagnétique peut être considéré comme une entité unique à partir de laquelle on peut déduire toutes les lois de l’électromagnétisme. Son intérêt apparaît dans la définition de nouvelles grandeurs telles que le tenseur énergie-impulsion électromagnétique. Nous avons montré que ce tenseur définissait, à lui seul, toutes les formes connues d’échange d’énergie électromagnétique. On peut noter également que l’invariance de l’équation des potentiels est probablement une des manières les plus élégantes de justifier la jauge de LORENTZ. L’attrait de la représentation tensorielle se situe dans la concision de l’écriture, qui est définie parfois comme l’esthétisme le plus pur qui existe dans l’écriture des lois de la physique. Elle permet de prendre de la hauteur et de donner une vision plus globale des phénomènes étudiés. Il ne faut cependant pas oublier, que cette représentation ne s’est imposée en électromagnétisme qu’une fois que l’essentiel des résultats a été acquis séparément et validé par l’expérimentation.
