De l`intérêt de l`analyse tensorielle

Vaudon Patrick – Master Recherche Télécommunications Hautes Fréquences et Optiques
IRCOM – Université de Limoges
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VIII - L’écriture tensorielle des équations de MAXWELL
Le fait que l’on considère le champ électromagnétique comme une grandeur unique, et
non plus comme deux quantités séparées, va éclairer sous un angle nouveau la théorie des
équations de MAXWELL. Laissons dire ces choses là à A. SOMMERFELD, avec infiniment
plus de poésie :
I wish to create the impression in my readers that the true mathematical
structure of these entities will appear only now, as in a moutain lanscape when the fog lifts.
I ) De la notion de vecteur à la notion de tenseur
L’analyse de la transformation de LORENTZ suggéra à MINKOWSKY d’introduire la
variable temps sous la forme d’une quatrième dimension associée à l’espace habituel
tridimensionnel. Cette généralisation était guidée par la constatation troublante du rôle
parfaitement analogue joué par les variables x et ct dans cette transformation :
x x ct
y y
z z
ct ct x
' ( )
'
'
' ( )
(VIII-1)
L’espace physique n’est plus alors la juxtaposition d’un espace « métrique » (où l’on
mesure des distances) à trois dimensions et d’un espace temps à une dimension, mais un
univers insécable à quatre dimensions.
Si on souhaite illustrer sur un exemple simple, cette nouvelle manière de regarder la
physique, on sera désormais obliger de considérer une charge et un élément de courant comme
une grandeur unique et indissociable, représentée par un même vecteur, le quadri-vecteur
densité de courant. L’apparence de charge électrostatique ou d’élément de courant dépendra du
référentiel considéré.
Dans ce nouvel espace à quatre dimensions, considérons la quantité :
ds’² = dx’² + dy’² + dz’² - (d(ct’))² (VIII-2)
Une substitution des relations qui définissent la transformation de LORENTZ (VIII-1)
conduit à remarquer que :
ds’² = dx² + dy² + dz² - (d(ct))² = ds² (VIII-3)
Il s’agit donc d’une grandeur invariante par changement de référentiel qui généralise la
notion de distance à un espace à 4 dimensions : l’espace-temps.
L’analyse tensorielle montre que cette quantité permet de caractériser la métrique
utilisée. Elle s’écrit d’une manière générale :

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ds gdx dx
2
(VIII-4)
où il est fait usage de la convention d’EINSTEIN qui sous-entend une sommation chaque fois
qu’un indice est répété deux fois dans un produit et où
g
représente le tenseur métrique qui a
la forme matricielle suivante dans le cas particulier de la transformation de LORENTZ :
g
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
(VIII-5)
Le tenseur réciproque s’obtient à l’aide d’une relation tensorielle :
gCofacteur de g
Deter ant min
(VIII-6)
ce qui montre que :
g g
dans ce cas particulier.
Il est possible de faire un autre choix de métrique en rendant la quatrième coordonnées
imaginaire et égale à (ict). L’espace-temps est alors un espace orthonormé classique.
Chaque choix de métrique a ses avantages et ses inconvénients :
- Si on accepte d’utiliser une coordonnées imaginaire, les tenseurs covariants et
contravariants seront identiques, et le problème de leur identification ne se posera pas. On ira
donc vers une simplification des calculs, mais avec des composantes imaginaires dans les
résultats.
- Si, en revanche, on fait le choix d’utiliser une coordonnée réelle, il faudra
prendre soin d’identifier clairement les tenseurs covariants et contravariants, mais alors, les
résultats seront toujours réels. C’est cette dernière position que nous avons adoptée.
Il suit de ces considérations que toute théorie devra être élaborée dans un repère à quatre
dimensions. Dans un tel repère, un changement linéaire de coordonnées peut s’écrire :
X’1 = X1(x1, x2, x3, x4)
X’2 = X2(x1, x2, x3, x4)
X’3 = X3(x1, x2, x3, x4) (VIII-7)
X’4 = X4(x1, x2, x3, x4)
un exemple simple étant fourni par la transformation de LORENTZ :
X’1 =  (x1 - .x4)
X’2 = x2 (VIII-8)
X’3 = x3
X’4 =  (x4 - .x1)

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où nous choisissons de poser x4 = ct, afin de conserver des coordonnées réelles.
Un changement de coordonnées dans cet espace à quatre dimensions se traduit par la
translation dans le temps, à vitesse constante, de deux repères spatiaux tridimensionnels.
Qu’en est-il alors de la représentation vectorielle des grandeurs physiques que sont les
champs électriques et champs magnétiques? Un exemple simple, déjà évoqué, va nous montrer
son insuffisance : Fixons dans un référentiel (R) un observateur et une charge ponctuelle
immobile (Figure 1) :
Figure 1 : Charge ponctuelle vue par deux observateurs en mouvement relatif
Cet observateur perçoit un champ électrostatique
E
. Pour un second observateur,
attaché à un référentiel (R’) en translation uniforme par rapport à R, il apparaît non seulement
un champ électrique
E'
, mais également un champ magnétique
B'
, puisque la charge q est vue
comme un élément de courant
Jdl dq v. .
.
La présence de ce vecteur
B
, qui, suivant le référentiel choisi, apparaît ou disparaît,
montre que ce vecteur ne répond plus à la description d’une grandeur physique, car, la quantité
qu’il représente dépend du référentiel que l’on considère.
On pressent intuitivement que si l’on cherche une représentation correcte du champ
électromagnétique, c’est à dire une représentation qui soit indépendante du référentiel dans
lequel on l’exprime, la notion de vecteur est devenue insuffisante. C’est en réalité, la
combinaison des deux vecteurs
E
et
B
qui doit être représentée, et l’outil mathématique
nécessaire à cette représentation sera un tenseur d’ordre 2, qu’il sera utile, dans ce cas
particulier, d’assimiler aux composantes d’une matrice 4 X 4.
II ) Le tenseur de champ électromagnétique
Il existe différentes façons de mettre en évidence ce tenseur. Une des plus simples et des
plus naturelles consiste sans doute à utiliser l’expression de la force à laquelle est soumise une
charge ponctuelle lorsqu’elle est située dans un champ électromagnétique :
F q E v B ( )
(VIII-9)

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Si les champs
E
et
B
forment une entité unique, il doit être possible d’exprimer cette
force en fonction de q, de v, et de cette entité.
Dans un espace à quatre dimensions, cela revient à trouver une relation entre le
quadrivecteur Force, la charge q qui est invariante, le quadrivecteur vitesse, et une matrice 4 X
4 qui représente le tenseur recherché. On doit donc avoir : (avec x4 = ct) :
.
.
.
.
. . /
. . /
. . /
.
F
F
F
F
1
2
3
4
qMatrice
X
cdx dx
cdx dx
cdx dx
c
4 4
1 4
2 4
3 4
(VIII-10)
Après une simplification par  évidente, la relation (VIII-10) permet d’écrire les 3
premières lignes de la matrice puisque :
F1 = q (E1 + cB3 dx2/dx4 - cB2 dx3/dx4)
F2 = q (E2 + cB1 dx3/dx4 - cB3 dx1/dx4) (VIII-11)
F3 = q (E3 + cB2 dx1/dx4 - cB1 dx2/dx4)
ce qui donne :
F
F
F
F
1
2
3
4
q
B B E c
B B E c
B B E c
cdx dx
cdx dx
cdx dx
c
0
0
0
3 2 1
3 1 2
2 1 3
1 4
2 4
3 4
/
/
/
. /
. /
. /
(VIII-12)
où il reste à expliciter la dernière ligne de la matrice. Pour celà, il nous faut exprimer
F4 = dw/dx4 (VIII-13)
Pour une charge q, placée dans un champ électromagnétique, seul le champ électrique
E
fournit un travail lorsque cette charge se déplace, et on a :
dw = q ( E1 dx1 + E2 dx2 + E3 dx3 ) (VIII-14)
Il s’ensuit que l’énergie potentielle acquise par la charge q soumise à la force
F qE
s’écrit :
dw = - q ( E1 dx1 + E2 dx2 + E3 dx3 ) (VIII-15)
ce qui permet d’expliciter la relation (VIII-13) :
F4 = - q ( E1 dx1/dx4 + E2 dx2/dx4 + E3 dx3/dx4 ) (VIII-16)

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et permet la détermination complète du tenseur , traditionnellement appelé F (Qu’il ne faudra
pas confondre avec la composante du vecteur force F )
F
B B E c
B B E c
B B E c
E c E c E c
0
0
0
0
3 2 1
3 1 2
2 1 3
1 2 3
/
/
/
/ / /
(VIII-17)
On a ainsi établi la relation qui existe entre les composantes du quadrivecteur force, et
les composantes du quadrivecteur vitesse :
F q F v. .
(VIII-18)
Le tenseur F est un tenseur covariant d’ordre deux qui est antisymétrique (F = - F )
d’après la matrice (VIII-17).
Par construction, ce tenseur possède bien la propriété que l’on attend de lui, à savoir la
représentation d’une grandeur physique qui est invariante par changement de repère. En effet, si
nous reprenons l’équation (VIII-18), nous voyons que :
- Le quadri-vecteur force est un vecteur qui représente une quantité physique
indépendante du référentiel.
- La même remarque s’applique au quadri-vecteur vitesse.
- La charge q est un invariant.
Lors d’un changement de référentiel, les composantes du tenseur F vont varier (de la
même manière que les composantes d’un vecteur varient), mais la grandeur qu’il représente
sera identique.
Le tenseur F n’est pas la seule représentation possible du tenseur de champ
électromagnétique. Nous pouvons également adopter une forme contravariante, et l’analyse
tensorielle nous indique que cette forme s’obtient de la manière suivante :
F g g F
où g est le tenseur métrique défini en (VIII-5) et (VIII-6). Les produits du tenseur covariant
F
par les coefficients de la métrique produisent un changement de signe de tous les termes qui
comportent l’indice 4 une fois, ce qui donne le tenseur contravariant :
F
B B E c
B B E c
B B E c
E c E c E c
0
0
0
0
3 2 1
3 1 2
2 1 3
1 2 3
/
/
/
/ / /
(VIII-19)
III ) La transformation des champs entre deux référentiel en mouvement de translation
uniforme